2020-2021学年第四章 数列4.2 等差数列集体备课ppt课件

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(3)若{an}是公差为d的等差数列，则①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
[典例1]　(1)设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝(　　)A．0 B．37C．100 D．－37(2)已知数列{an}是等差数列，且a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，则a3＋a15＝_____.[解析]　(1)设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0.∴c37＝100，即a37＋b37＝100.
(2)∵在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，∴a1＋a17＝a5＋a13.由条件等式，得a9＝117.∴a3＋a15＝2a9＝2×117＝234.[答案]　(1)C　(2)234
本例(1)应用了等差数列的性质：若{an}，{bn}是等差数列，则{an＋bn}也是等差数列．本例(2)求解主要用到了等差数列的性质：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立．例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1＋a21＝2a11.灵活运用等差数列的某些性质，可以提高我们分析、解决数列综合问题的能力，应注意加强这方面的锻炼．　　
[对点练清]1．已知{an}为等差数列，a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5的值为(　　)A．10 B．－10 C．15 D．－15解析：法一：设等差数列{an}的公差为d，则30＝(a1＋3d)＋(a1＋6d)＋(a1＋9d)＝3a1＋18d，即a1＋6d＝10.故a3－2a5＝(a1＋2d)－2(a1＋4d)＝－a1－6d＝－10.法二：由等差数列的性质知30＝a4＋a7＋a10＝3a7，则a7＝10.故a3－2a5＝a3－(a3＋a7)＝－a7＝－10.答案：B　
2．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.解析：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，∴(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450，解得a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180.答案：180
题型二　灵活设元求解等差数列 [学透用活][典例2]　(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
常见的设元技巧(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a－d，a＋d，公差为2d；(2)三个数成等差数列且知其和，常设这三个数为：a－d，a，a＋d，公差为d；(3)四个数成等差数列且知其和，常设这四个数为：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d.　　
[对点练清]已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式．
题型三　等差数列的实际应用 [学透用活][典例3]　某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，那么从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？[解]　设从第1年起，第n年的利润为an，则a1＝200，an－an－1＝－20(n≥2，n∈N＋)，∴每年的利润an可构成一个等差数列{an}，且公差d＝－20，∴an＝a1＋(n－1)·d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.若an＜0，则该公司经销这种产品将亏损，由an＝220－20n＜0，得n＞11，故从第12年起，该公司经销此产品将亏损．
解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少，则这组数成等差数列．合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键．在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．　　
[对点练清]某县2018年12月末人口总数为57万，若人口总数每月按相同数目增加，到2019年12月末人口总数为57.24万，则2019年10月末的人口总数为(　　)A．57.1万 B．57.2万C．57.22万 D．57.23万解析：由题意知，人口总数可以看成是一个以57为首项，d为公差的等差数列{an}，则a1＝57，a13＝57.24，则由a13＝a1＋12d，得57.24＝57＋12d，解得d＝0.02，于是2019年10月末的人口总数是a11＝a1＋10d＝57＋0.2＝57.2(万)，故选B.答案：B　
[课堂思维激活]　一、综合性——强调融会贯通1．在两个等差数列2,5,8，…，197与2,7,12，…，197中，求它们的公共项从小到大依次排列构成的数列的通项公式及公共项的个数．解：设两数列的公共项从小到大依次排列构成的数列为{cp}，则c1＝2.∵两数列为等差数列，且易知它们的公差分别为3,5，∴数列{cp}仍为等差数列，且公差d＝15.∴cp＝c1＋(p－1)d＝2＋(p－1)×15＝15p－13.令2≤15p－13≤197，知1≤p≤14.∴两数列共有14个公共项．
二、应用性——强调学以致用2.如图所示，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数列，且AD＝21 cm，这三个正方形的面积之和是179 cm2.(1)求AB，BC，CD的长；(2)以AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？
三、创新性——强调创新意识和创新思维3．对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan，对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”．(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；(2)若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列．
证明：(1)因为{an}是等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，从而，当n≥4时，an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1,2,3，所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an，因此等差数列{an}是“P(3)数列”．(2)数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，当n≥3时，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，①当n≥4时，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an.②