数学选择性必修 第二册4.2 等差数列课前预习课件ppt

这是一份数学选择性必修 第二册4.2 等差数列课前预习课件ppt，共49页。PPT课件主要包含了2等差数列，素养目标·定方向，必备知识·探新知，从第2项，它的前一项，同一个常数，an＋1－an，a1＋n－1d，－22，关键能力·攻重难等内容，欢迎下载使用。

4.2.1　等差数列的概念
第1课时　等差数列的概念
一般地，如果一个数列__________起，每一项与_____________的差都等于_____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_______，公差通常用字母d表示．
想一想：对等差数列的理解，有哪些问题需要注意？提示：1．“从第2项起”因为首项没有“前一项”；2．一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，注意不要漏掉这一条件．3．求公差d时，可以用d＝an－an－1(n≥2)来求，也可以用d＝an＋1－an来求．注意公差是每一项与其前一项的差，且用d＝an－an－1求公差时，要求n≥2，n∈N*.
练一练：判断下列数列是否为等差数列，如果不是，请说明理由．(1)1，3，5，7，9，…；(2)2，－2，2，－2，2，－2，…；(3)1，1，1，1，…；(4)6，5，3，1，－1，－3，….
[解析]　(1)该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数2，所以是等差数列．(2)－2－2＝－4，2－(－2)＝4，相邻两项的差不是同一个常数，所以该数列不是等差数列．(3)该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数0，所以是等差数列．(4)因为5－6＝－1，而从第3项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数－2，所以该数列不是等差数列，但可以说从第2项起是等差数列．
想一想：“数列{an}是等差数列”与“2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N＋)”之间是什么关系？提示：等价关系．练一练：已知实数a＝2，b＝8，则a，b的等差中项为____．
想一想：等差数列的通项公式有怎样的内涵？提示：(1)由等差数列的通项公式可知，等差数列中的任一项均可用首项和公差表示出来，因此，要确定等差数列的通项公式，只需确定该数列的首项和公差即可，因此我们把等差数列的首项和公差称为等差数列的基本量．(2)等差数列的通项公式中涉及an，a1，d，n四个量，知道其中三个量可以求出第四个量．
练一练：已知{an}是等差数列，首项a1＝－1，公差d＝－3，则a8＝_______．
由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，所以当d≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．
等差数列与一次函数的关系
想一想：等差数列与一次函数有怎样的联系与区别？提示：
练一练：已知点(1，5)，(2，3)是等差数列{an}图象上的两点，则数列{an}为(　　)A．递增数列　　B．递减数列C．常数列　　D．无法确定
　(1)2 020是等差数列4，6，8，…的(　　)A．第1 008项　　B．第1 009项C．第1 010项　　D．第1 011项(2)已知等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式及第20项．[分析]　(1)4，6，8⇒公差⇒通项公式⇒解方程得n.(2)首项1与第二项－3⇒公差⇒通项公式⇒第20项．
[解析]　(1)数列4，6，8，…的通项公式为an＝2n＋2.则2n＋2＝2 020.解得n＝1 009.(2)由题意可知a1＝1，a2＝－3，所以公差d＝a2－a1＝－4.所以an＝a1＋(n－1)d＝1－4(n－1)＝5－4n.所以a20＝5－4×20＝－75.即该数列的通项公式为an＝5－4n，第20项为－75.
[规律方法]　等差数列通项公式的四个主要应用(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，求出第四个量．(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项．(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求得所要求的项．(4)若数列{an}的通项公式是关于n的一次函数或常数函数，则可判断数列{an}是等差数列．
【对点训练】❶(1)在等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝(　　)A．8　　　　　　　　　B．12C．16　　D．24(2)等差数列{an}中，①已知a3＝－2，d＝3，求an的值；②若a5＝11，an＝1，d＝－2，求n的值．
[解析]　(1)设公差为d，首项为a1，∴a9＝a1＋8d＝16.
(2)①由a3＝a1＋(3－1)d，得a1＝a3－2d＝－8，an＝－8＋(n－1)×3＝3n－11.②an＝a1＋(n－1)d，所以a5＝a1＋4d，所以11＝a1－4×2，所以a1＝19，所以an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21，令－2n＋21＝1，得n＝10.
[分析]　(1)求a，b的等差中项⇒等差中项的定义⇒等式⇒计算．(2)先根据已知求出x的值，再求出数列的第四项．
(2)由题意得2(3x＋3)＝x＋(6x＋6)，所以x＝0.所以等差数列的前三项为0，3，6，公差为3，所以等差数列的第四项为9.故选B．
[规律方法]　1．等差中项的应用策略(1)涉及等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解．(2)在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)；实际上，等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项，即2an＝an－m＋an＋m(m，n∈N*，m　(1)判断下列数列是否为等差数列？①an＝3n＋2；②an＝n2＋n.
[解析]　(1)①an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(常数)，n为任意正整数，所以此数列为等差数列．②因为an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2(不是常数)，所以此数列不是等差数列．
[规律方法]　证明一个数列是等差数列常用的方法有：(1)利用定义法，即证an＋1－an＝常数．(2)利用等差中项的概念来进行判定，即证2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
【对点训练】❸(1)若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg 2n(n∈N*)，求证：数列{an}为等差数列；
[解析]　(1)因为an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2，所以an＋1＝10＋(n＋1)lg 2.所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg 2]－(10＋nlg 2)＝lg 2(n∈N*)．所以数列{an}为等差数列．
求等差数列的公差时因考虑不周致误　首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是(　　)
[误区警示]　该等差数列的首项为负数，从第10项起开始为正数，说明公差为正数，且第9项为非正数，第10项为正数，解决此类问题时容易忽视第9项的要求．
1．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列(　　)A．是公差为2的等差数列B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列D．是公差为n的等差数列[解析]　∵an＝2n＋5，∴an－1＝2n＋3(n≥2)，∴an－an－1＝2n＋5－2n－3＝2(n≥2)，∴数列{an}是公差为2的等差数列．
2．等差数列－3，1，5，…的第15项的值是(　　)A．40　　B．53　　　C．63　　　　　D．76[解析]　设这个等差数列为{an}，其中a1＝－3，d＝4，∴a15＝a1＋14d＝－3＋4×14＝53.
3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数为(　　)A．92　　　　　B．47　　　C．46　　　　　D．45[解析]　a1＝1，d＝－1－1＝－2，∴an＝1＋(n－1)·(－2)＝－2n＋3，由－89＝－2n＋3，得n＝46.
4．以下选项中构不成等差数列的是(　　)A．2，2，2，2B．3m，3m＋a，3m＋2a，3m＋3aC．cs 0，cs 1，cs 2，cs 3D．a－1，a＋1，a＋3[解析]　C项不满足等差数列的定义．