初中数学青岛版八年级上册2.5 角平分线的性质优秀课后测评

2022-2023年青岛版数学八年级上册2.5

《角平分线的性质》课时练习

一              、选择题

1.点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是(　　)

A.PQ＞5        B.PQ≥5         C.PQ＜5       D.PQ≤5

2.如图,OP为∠AOB的角平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C、D,则下列结论错误的是（      ）

A.PC=PD       B.∠CPD=∠DOP       C.∠CPO=∠DPO    D.OC=OD

3.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（         ）

A．10              B．7                C．5              D．4

4.如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（      ）

A.1：1：1                      B.1：2：3                    C.2：3：4                        D.3：4：5

5.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（    ）

A.线段CD的中点

B.OA与OB的角平分线的交点

C.OA与CD的垂直平分线的交点

D.CD与∠AOB的平分线的交点

6.如图,AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P，且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是（      ）

  A.8              B.6             C.4            D.2

7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若BC=7，则AE的长为（　　）

A.4                          B.5                             C.6                            D.7

8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，S△ABC=15，DE=3，AB=6，则AC长是(    )

A.7        B.6        C.5        D.4

9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角的平分线交于E点，连接AE，则∠AEB的度数是（    ）

A.50°     B.45°       C.40°       D.35°

10.数学课上，小明进行了如下的尺规作图（如图所示）：

（1）在△AOB（OA＜OB）边OA、OB上分别截取OD、OE，使得OD=OE；

（2）分别以点D、E为圆心，以大于0.5DE为半径作弧，两弧交于△AOB内的一点C；

（3）作射线OC交AB边于点P.

那么小明所求作的线段OP是△AOB的（　　）

A.一条中线   B.一条高         C.一条角平分线     D.不确定

二              、填空题

11.Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC于E，若BC=8，DE=3，则CD的长度是        ．

12.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC与∠BCA的平分线AD、CD交于点D，若∠BAC=80°，则∠ADC=     ．

13.如图，已知射线OC上的任意一点到∠AOB的两边的距离都相等，点D、E、F分别为边OC、OA、OB上，如果要想证得OE=OF，只需要添加以下四个条件中的某一个即可，请写出所有可能的条件的序号       ．

①∠ODE=∠ODF；②∠OED=∠OFD；③ED=FD；④EF⊥OC．

14.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是　　．

15.如图，在△ABC中，已知AD是角平分线,DE⊥AC于E，AC=4,S△ADC=6,则点D到AB的距离是________．

16.如图，DE⊥AB于E，DF⊥A于F，若BD=CD，BE=CF.

则下列结论：

①DE=DF；②AD平分∠BAC；③AE=AD；④AB+AC=2AE中.

正确的是         .

三              、解答题

17.已知：△ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC.

求证：AB=AC.

18.如图，BE⊥AC、CF⊥AB于点E、F，BE与CF交于点D，AD平分∠BAC，

求证：AB=AC.

19.如图，已知：CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，且BD=CE，BE交CD于点O．

求证：AO平分∠BAC．

20.如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F,若BD=CD、BE=CF，

(1)求证：AD平分∠BAC；

(2)已知AC=20， BE=4，求AB的长.

21.如图,已知在△ABC中,∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线PQ相交于点P,过点P分别作PN垂直于AB于点N,PM垂直于AC于点M,BN和CM有什么数量关系？请说明理由．

22.已知射线AP是△ABC的外角平分线，连结PB、PC.

（1）如图1，若BP平分∠ABC，且∠ACB=30°，直接写出∠APB=　  .

（2）如图1，若P与A不重合，求证：AB+AC＜PB+PC.

参考答案

1.B

2.B

3.C

4.C

5.D

6.D

7.D.

8.D.

9.B

10.C.

11.答案为：5．

12.答案为：115°．

13.答案为：①②④．

14.答案为：15．

15.答案为：3;

16.答案为：①②④；

17.证明：在Rt△BOF和Rt△COE中，

，

∴Rt△BOF≌Rt△COE，

∴∠FBO=∠ECO，

∵OB=OC，

∴∠CBO=∠BCO，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC.

18.证明：∵BE⊥AC、CF⊥AB于点E、F，

∴∠BEA=∠CFA=90°.

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAE=∠DAF.

在△ADE和△ADF中，

，

∴△ADE≌△ADF（AAS），

∴AE=AF.

在Rt△ABE和Rt△ACF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△ACF（ASA），

∴AB=AC.

19.证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC

∴∠BDO=∠CEO=90°，

又∵∠BOD=∠COE，BD=CE，

∴△BOD≌△COE

∴OD=OE

又由已知条件得△AOD和△AOE都是Rt△，且OD=OE，OA=OA，

∴Rt△AOD≌Rt△AOE．

∴∠DAO=∠EAO，

即AO平分∠BAC．

20.（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠E=∠DFC=90°，

∴在Rt△BED和Rt△CFD中

BD=CD,BE=CF.

∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），

∴DE=DF，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴AD平分∠BAC；

（2）解：∵Rt△BED≌Rt△CFD，

∴AE=AF，CF=BE=4，

∵AC=20，

∴AE=AF=20﹣4=16，

∴AB=AE﹣BE=16﹣4=12.

21.证明：如图，连接PB，PC，

∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，

∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，

∵P在BC的垂直平分线上，

∴PC=PB，

在Rt△PMC和Rt△PNB中，

，

∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），

∴BN=CM．

22.解：（1）∵∠DAC=∠ABC+∠ACB，∠1=∠2+∠APB，

∵AE平分∠DAC，PB平分∠ABC，

∴∠1=DAC，∠2=∠ABC，

∴∠APB=∠1﹣∠2=DAC﹣ABC=∠ACB=15°，

故答案为：15°；

（2）在射线AD上取一点H，是的AH=AC，连接PH.则△APH≌△APC，

∴PC=PD，

在△BPH中，PB+PH＞BH，

∴PB+PC＞AB+AC.