高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算学案设计

7.2.2  复数的乘、除运算

【学习目标】

【自主学习】

一．复数乘法的运算法则和运算律

1.复数乘法的运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝                  ．

2.复数乘法的运算律

对任意复数z1，z2，z3∈C，有

推论：

(1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)．

(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．

(3)(1±i)2＝±2i.　

二．复数除法的运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)(a，b，c，d∈R)，则＝＝           (c＋di≠0)．

【小试牛刀】

1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)两个复数的积与商一定是虚数．(　　)

(2)两个共轭复数的和与积是实数．(　　)

(3)若z为复数，则z 2=|z|2．(　　)

(4)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．(　　)

2.(1＋i)(2－i)＝(　　)

A．－3－i　　　　　B．－3＋i    C．3－i      D．3＋i

【经典例题】

题型一 复数的乘法运算

点拨：1.复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行运算，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)．

2.多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．

例1　计算下列各题．

(1)(1－2i)(3＋4i) (－2＋i)；(2)(2－3i)(2＋3i)；(3)（1+i）2 .

【跟踪训练】1 已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　)

A．5－4i       B．5＋4i         C．3－4i    D．3＋4i

题型二 复数的除法运算

点拨：1.实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．

2.代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．

例2 计算(1＋2i)÷(3－4i).

【跟踪训练】2 计算：

(1)＋；(2).

题型三 在复数范围内解方程

点拨：在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法

1.求根公式法

①当Δ≥0时，x＝.    ②当Δ<0时，x＝.

2.利用复数相等的定义求解

设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．　

例3 解方程（1）

（2）

【跟踪训练】3 在复数范围内，方程x2＋6x＋10＝0的根为x＝________．

【当堂达标】

1．计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝ (　　)

A．2－13i　　　　B．13＋2i     C．13－13i    D．－13－2i

2.复数＝(　　)

A．－－i　　　 B．－＋i     C.－i     D.＋i

3.若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)

A．－1－i       B．－1＋I       C．1－i      D．1＋i

4.已知复数z满足z＝(－1＋3i)·(1－i)－4，复数z的共轭复数             .

5.已知z1＝1－i，z2＝2＋2i.

(1)求z1·z2；

(2)若＝＋，求z.

6.已知3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．

【参考答案】

【自主学习】

 (ac－bd)＋(ad＋bc)i  z2z1  z1(z2z3)   z1z2＋z1z3   ＋i

【小试牛刀】

1.(1)×　(2)√  (3) ×　(3)√

2.D

【经典例题】

例1　解析 (1)原式=(11－2i)(-2＋i)＝－20＋15i.

(2)原式=(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝4－9i2＝4+9＝13.

(3)原式＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i.

【跟踪训练】1 D 因为a－i与2＋bi互为共轭复数，所以a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.

例2 解析　

【跟踪训练】2 解：(1)＋＝＋＝i－i＝0.

(2)＝＝＝＝＝－1＋i.

例3

【跟踪训练】3  －3±i   解析：因为b2－4ac＝62－4×1×10＝－4<0，所以

x＝＝＝＝－3±i.

【当堂达标】

1.D 解析  (1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.

2.C 解析：因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以＝＝＝－i.

3.D 解析：由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.

4. －2－4i 解析： z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，所以复数z的共轭复数为－2－4i.

5.解：(1)因为z1＝1－i，z2＝2＋2i，所以z1·z2＝(1－i)(2＋2i)＝4.

(2)由＝＋，得z＝，所以z＝＝＝＝－i.

6.解：因为3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的根，

所以2(3＋2i)2＋p(3＋2i)＋q＝0，即2(9＋12i－4)＋(3p＋2pi)＋q＝0，

整理得(10＋3p＋q)＋(24＋2p)i＝0，所以解得