数学必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算导学案

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 《7.2.1复数的加减运算及其几何意义》

导学案

地 位：

本节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）

第七章 复数

7.2  复数的四则运算

学习目标：

 1.通过对定义复数加法法则的背景的分析，体会规定复数加法法则的合理性.

2.明确复数加法法则和减法法则的具体内容，经历应用法则解决复数加、减运算问题的过程，提升数学运算的核心素养.

3.经历复数代数形式的减法定义和复数加、减法几何意义的形成过程，培养直观想象的核心素养。

学习重难点：

1.重点：熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则；

2.难点：理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题

自主预习：

1. 本节所处教材的第     页.
2. 复习——

①　复数的几何意义：                                     

②　向量的加减运算：                                     

3. 预习——

      复数的加减运算：                                                  

复数的加减运算的几何意义：                                        

新课导学 

学习探究

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

乘飞机从上海到香港约2.5小时，从香港到台北约4小时，因此从上海经香港转航到台北约6.5小时.在两岸同胞的共同努力下，现在实现两岸直航，上海到台北只需约1.5小时，比直航前节省约5小时，有关航行节时的多少，体现了实数集内的代数运算.

想一想  复数集内可进行复数的四则运算吗？

2.探索交流，解决问题

【问题1】设向量，分别与复数a＋bi，c＋di对应，那么＋的坐标如何呢？

【问题2】向量＋对应的复数是什么？

【问题3】按照平面向量减法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？

 （二）复数的加减运算

1. 加、减法的运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，

则z1＋z2＝                ，z1－z2＝           ．

2.加法运算律

对任意z1，z2，z3∈C，有

①交换律：z1＋z2＝z2＋z1．

②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

【做一做】（1）(6－2i)－(3i＋1)＝(　　)

A．3－3i　　B．5－5i     C．7＋i   D．5＋5i

（2）若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(　　)

A．－2     B．4       C．3   D．－4

3.复数加、减法的几何意义

如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应的向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是        ，与z1－z2对应的向量是       .

【辩一辩】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个虚数的和或差可能是实数．(　　)

(2)若复数z1，z2满足z1－z2＞0，则z1＞z2.(　　)

(3)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．(　　)

(4)复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形．(　　)

(5)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．(　　)

（三）典型例题

1.复数的加减运算

例1.计算：

(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；

(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；

(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i (a，b∈R)．

【类题通法】复数代数形式的加、减法运算技巧

两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．

复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．

【巩固练习1】复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在(　　)

A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

2.复数的加减运算的几何意义

例2. 已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.

(1)求表示的复数；

(2)求表示的复数．

【变式探究1】若本例条件不变，求点B所对应的复数．

【变式探究2】若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数．

【类题通法】复数加、减法几何意义的应用技巧

(1)复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算．

(2)复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．　

【巩固练习2】在复平面内，A，B，C，三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i.

(1)求，，对应的复数；

(2)判断△ABC的形状．

3.复数加、减法运算与模的综合应用

例3. 设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.

【类题通法】1.利用复数加、减运算及模的几何意义，应用数形结合的思想，可以直观简便地解决复数模的问题．2.在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB满足：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形.

【巩固练习3】 已知复数z1＝cos θ＋i，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为(　　)

A.         B.            C．6      D.

（四）操作演练  素养提升

1．(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)的结果为(　　)

A．5－3i　　　B．3＋5i      C．7－8i   D．7－2i

2．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a的值为____________．

3.若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在(　　)

A．实轴上     B．虚轴上      C．第一象限       D．第二象限

4.复数z与它的模的和为5＋i，求这个复数z.

课堂小结

1. 通过这节课，你学到了什么知识？

2.  在解决问题时，用到了哪些数学思想？

学习评价

【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（  ）

A.很好          B.较好          C.一般           D.较差

【导学案评价】 本节导学案难度如何（  ）

A.很好          B.较好          C.一般           D.较差

【建议】 你对本节导学案的建议：                                  

课后作业

完成教材：第77页  练习     第1，2，3,4题

          第80页   习题7.2  第1,2,5题