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北京市昌平区3年(2020-2022)八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题
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这是一份北京市昌平区3年(2020-2022)八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题,共39页。试卷主要包含了计算,解分式方程,列方程解应用题,如图,在△ABC中,∠C90°等内容,欢迎下载使用。
北京市昌平区3年(2020-2022)八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题
1.(2022·北京昌平·八年级期末)计算:.
2.(2022·北京昌平·八年级期末)计算:.
3.(2022·北京昌平·八年级期末)如图,点B、F、C、E在一条直线上,BF=EC,AC=DF,AC∥DF.求证:∠A=∠D.
4.(2022·北京昌平·八年级期末)计算:
5.(2022·北京昌平·八年级期末)解分式方程:.
6.(2022·北京昌平·八年级期末)列方程解应用题:同学们在计算机课上学打字. 张帆比王凯每分钟多录入20个字,张帆录入300个字与王凯录入200个字的时间相同. 问王凯每分钟录入多少个字.
7.(2022·北京昌平·八年级期末)如图,在△ABC中,∠C90°.
(1)用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法:在边BC上求作一点D,使得点D到AB的距离等于DC的长;
(2)在(1)的条件下,若AC=6,AB=10,求CD的长.
8.(2022·北京昌平·八年级期末)一个三角形三边长分别为a,b,c.
(1)当a=3,b=4时,
① c的取值范围是________;
② 若这个三角形是直角三角形,则c的值是________;
(2)当三边长满足时,
① 若两边长为3和4,则第三边的值是________;
② 在作图区内,尺规作图,保留作图痕迹,不写作法:已知两边长为a,c(a<c),求作长度为b的线段(标注出相关线段的长度).
9.(2022·北京昌平·八年级期末)若关于x的分式方程的解是正数,当m取最大整数时,求的平方根.
10.(2022·北京昌平·八年级期末)在等边三角形ABC中,点D是边AB的中点,过点D作DE∥BC交AC于点E,点F在BC边上,连接DF,EF.
(1)如图1,当DF是∠BDE的平分线时,若AE=2,求EF的长;
(2)如图2,当DF⊥DE时,设AE=a,则EF的长为 (用含a的式子表示).
11.(2022·北京昌平·八年级期末)大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数.因此的小数部分我们不可能全部写出来,于是小燕用来表示的小数部分.理由是:对于正无理数,用本身减去其整数部分,差就是其小数部分.因为的整数部分为1,所以的小数部分为.
参考小燕同学的做法,解答下列问题:
(1)写出的小数部分为________;
(2)已知与的小数部分分别为a和b,求a2+2ab+b2的值;
(3)如果,其中x是整数,0<y<1,那么=________
(4)设无理数(m为正整数)的整数部分为n,那么的小数部分为________(用含m,n的式子表示).
12.(2022·北京昌平·八年级期末)若△ABC和△ADE均为等腰三角形,且AB=AC=AD=AE,当∠ABC和∠ADE互余时,称△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”,△ABC的边BC上的高AH叫做△ADE的“余高”.
(1)如图1,△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”.
①若连接BD,CE,判断△ABD与△ACE是否互为“底余等腰三角形”:_______ (填“是”或“否”) ;
②当∠BAC=90°时,若△ADE的“余高”AH=,则DE=_______;
③当0°<∠BAC<180°时,判断DE与AH之间的数量关系,并证明;
(2)如图2,在四边形ABCD中,∠ABC=60°,DA⊥BA,DC⊥BC,且DA=DC.
①画出△OAB与△OCD,使它们互为“底余等腰三角形”;
②若△OCD的“余高”长为a,则点A到BC的距离为_______(用含a的式子表示).
13.(2021·北京昌平·八年级期末)计算:.
14.(2021·北京昌平·八年级期末)计算:.
15.(2021·北京昌平·八年级期末)解方程:.
16.(2021·北京昌平·八年级期末)已知:如图,点B,D在线段AE上,AD=BE,AC∥EH,∠C=∠H.求证:BC=DH.
17.(2021·北京昌平·八年级期末)已知:,求代数式的值.
18.(2021·北京昌平·八年级期末)在正方形网格中,网格线的交点叫做格点,三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形.
(1)在图1中计算格点三角形的面积是__________;(每个小正方形的边长为1)
(2)是格点三角形.
①在图2中画出一个与全等且有一条公共边的格点三角形;
②在图3中画出一个与全等且有一个公共点A的格点三角形.
19.(2021·北京昌平·八年级期末)已知:如图,为锐角,点A在射线上.
求作:射线,使得.
小静的作图思路如下:
①以点A为圆心,为半径作弧,交射线于点B,连接;
②作的角平分线.
射线即为所求的射线.
(1)使用直尺和圆规,按照小静的作图思路补全图形(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明.
证明:,
(__________).
是的一个外角,
___________________.
.
平分,
.
.
(__________).
20.(2021·北京昌平·八年级期末)列方程解应用题
为了提高学生的身体素质,落实教育部门“在校学生每天体育锻炼时间不少于1小时”的文件精神,某校开展了“阳光体育天天跑活动”,初中男生、女生分别进行1000米和800米的计时跑步.在一次计时跑步中,某班一名女生和一名男生的平均速度相同,且这名女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少56秒,求这名女生跑完800米所用时间是多少秒.
21.(2021·北京昌平·八年级期末)如图,在ABC中,AB=AC,BC=2,∠BAC=120°,AD⊥BC于点D,延长AD至点E,使DE=AD,连接BE和CE.
(1)补全图形;
(2)若点F是AC的中点,请在BC上找一点P使AP+FP的值最小,并求出最小值.
22.(2021·北京昌平·八年级期末)阅读理解
材料1:小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题,在这个计算的过程中,先计算分子中有几个分母求出整数部分,再把剩余的部分写成一个真分数,例如:.
类似的,我们可以将下列的分式写成一个整数与一个新分式的和.
例如:.
.
材料2:为了研究字母x和分式值的变化关系,小明制作了表格,并得到数据如下:
x
0
1
2
3
4
无意义
1
0.5
0.25
请根据上述材料完成下列问题:
(1)把下面的分式写成一个整数与一个新分式的和的形式:
__________________;___________________;
(2)当时,随着x的增大,分式的值___________(增大或减小);
(3)当时,随着x的增大,分式的值无限趋近一个数,请写出这个数,并说明理由.
23.(2021·北京昌平·八年级期末)在中,.
(1)如图1,点在线段上,,求的度数;
(2)点在线段上(不与点重合),,点Q关于直线的对称点为M,连接.
①依题意将图2补全;
②用等式表示线段之间的数量关系,并证明.
24.(2021·北京昌平·八年级期末)定义:点P是内部的一点,若经过点P和中的一个顶点的直线把平分成两个面积相等的图形,则称点P是关于这个顶点的均分点.例如图中,点P是关于顶点A的均分点.
(1)下列图形中,点D一定是关于顶点B的均分点的是________;(填序号)
(2)在中,且,点P是关于顶点A的均分点,且,直接写出的范围;
(3)如图,在中,,点P是关于顶点A的均分点,直线与交于点D,当时,,求的长.
25.(2020·北京昌平·八年级期末)计算:.
26.(2020·北京昌平·八年级期末)解方程:.
27.(2020·北京昌平·八年级期末)计算:
28.(2020·北京昌平·八年级期末)解方程:-=1
29.(2020·北京昌平·八年级期末)已知:如图,E是BC上一点,AB=EC,ABCD,BC=CD.求证:AC=ED.
30.(2020·北京昌平·八年级期末)已知关于的一元二次方程.
(1)当时,求方程的根;
(2)如果方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围.
31.(2020·北京昌平·八年级期末)(1)在如下6×6的正方形网格中(每个小正方形边长均为1),画出一个面积为17的正方形;
(2)在如图所示的数轴上找到表示的点A(保留画图痕迹).
32.(2020·北京昌平·八年级期末)先化简,再从﹣2、﹣1、0、1、2中选择一个合适的数代入求值.
33.(2020·北京昌平·八年级期末)如图,已知线段a和∠EAF,点B在射线AE上.在∠EAF中画出△ABC,使点C在射线AF上,且BC=a.
(1)依题意将图补充完整;
(2)如果∠A=45°,AB=4,BC=5,求△ABC的面积.
34.(2020·北京昌平·八年级期末)“四书五经”是中国的“圣经”,“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》和《孟子》(四书)及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》(五经)的总称,这是一部被中国人读了几千年的教科书,包含了中国古代的政治理想和治国之道,是我们了解中国古代社会的一把钥匙 . 某学校计划分阶段引导学生读这些书,先购买《论语》和《孟子》供学生阅读 . 已知用500元购买《孟子》的数量和用800元购买《论语》的数量相同,《孟子》的单价比《论语》的单价少15元 . 求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元?
35.(2020·北京昌平·八年级期末)如图,将△ABC分别沿AB,AC翻折得到△ABD 和△AEC,线段BD与AE交于点 F,连接BE .
(1)如果∠ABC=16º,∠ACB=30°,求∠DAE的度数;
(2)如果BD⊥CE,求∠CAB 的度数.
36.(2020·北京昌平·八年级期末)在同一平面内,若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形,则称点P是△ABC的巧妙点.
(1)如图1,求作△ABC的巧妙点P(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
(2)如图2,在△ABC中,∠A=80°,AB=AC,求作△ABC的所有巧妙点P (尺规作图,不写作法,保留作图痕迹),并直接写出∠BPC的度数是 .
(3)等边三角形的巧妙点的个数有( )
A.2 B.6 C.10 D.12
参考答案:
1..
【分析】先计算二次根式的乘除法,再计算有理数的减法即可得.
【详解】解:原式
.
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法,熟练掌握运算法则是解题关键.
2.
【分析】把各根式化成最简根式再合并同类根式即可.
【详解】解:
故答案为:.
【点睛】本题考察了根式的加减.解题的关键与难点在于把各根式化成最简根式.
3.证明见解析
【分析】先由平行线的性质得 ∠ACB=∠DFE,再证 BC = EF ,然后由 SAS 证△ABC≌△DEF ,即可得出结论.
【详解】证明:∵AC∥DF,
∴∠ACB=∠DFE,
又∵BF=EC,
∴BF+FC=EC+FC,
即BC=EF,
在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴∠A=∠D.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
4.
【分析】由题意根据相反数的性质把分母化为一致,进而根据同分母分式的减法进行计算即可.
【详解】解:
【点睛】本题考查分式的加减运算,熟练掌握当分母互为相反数是可以提取负号将分母变成一致进行化简.
5.
【详解】试题分析:方程两边同时乘以,化为整式方程,解整式方程后进行检验即可得.
试题解析:方程两边同时乘以,得
,
整理得: ,
得: ,
经检验:是原方程的解 ,
原方程的解为 .
6.王凯每分钟录入10个字
【分析】由题意得出等量关系:张帆录入300个字=王凯录入200个字的时间,根据等量关系列出方程,解方程即可得出答案.
【详解】解:设王凯每分钟录入x个字,由题意得:
解得:
经检验,是方程的解.
答:王凯每分钟录入10个字.
【点睛】本题考察了列分式方程解决实际问题的应用,找出等量关系列出方程,解方程得出答案,需要注意解分式方程需检验.
7.(1)图见详解;(2)3.
【分析】(1)根据题意作∠BAC的平分线交BC于D,根据角平分线的性质得到点D满足条件;
(2)根据题意作DE⊥AB于E,先根据勾股定理计算出BC=8,再根据角平分线性质得到DC=DE,通过证明Rt△ACD≌Rt△AED得到AE=AC=6,则EB=4,设CD=x,则BD=8-x,在Rt△BED中,利用勾股定理得到x2+42=(8-x)2,解方程求出即可.
【详解】解:(1)如图,点D即为所作;
(2)作DE⊥AB于E,如上图,
在Rt△ABC中,BC==8,
∵AD为角平分线,
∴DC=DE,
在Rt△ACD和Rt△AED中
,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),
∴AE=AC=6,
∴EB=AB-AE=10-6=4
设CD=x,则DE=x,则BD=8-x,
在Rt△BED中,x2+42=(8-x)2,解得x=3,
∴CD=3.
【点睛】本题考查作图-复杂作图以及全等三角形判定和角平分线定理、勾股定理,注意掌握复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.
8.(1)①;②或5;(2)①2或或5;②图见解析.
【分析】(1)①根据三角形的三边关系定理即可得;
②分斜边长为和斜边长为两种情况,分别利用勾股定理即可得;
(2)①先根据已知等式得出,再分中有一个为3,;中有一个为4,;中有一个为3,另一个为4三种情况,分别代入求解即可得;
②先画出射线,再在射线上作线段,然后在射线上作线段,最后作线段的垂直平分线,交于点即可得.
【详解】解:(1)①由三角形的三边关系定理得:,即,
故答案为:;
②当斜边长为时,,
当斜边长为时,,
综上,的值为或5,
故答案为:或5;
(2)①由得:,
因此,分以下三种情况:
当中有一个为3,时,不妨设,则,
将代入得:,解得,符合题设,
当中有一个为4,时,不妨设,则,
将代入得:,解得,符合题设,
当中有一个为3,另一个为4时,不妨设,则,
将代入得:,解得,符合题设,
综上,第三边的值是2或或5,
故答案为:2或或5;
②由得:,
如图,线段即为所求.
【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的三边关系定理、作线段和线段垂直平分线(尺规作图)等知识点,较难的是题(2)①,正确分三种情况讨论是解题关键.
9.±6
【分析】通过解分式方程解出分式方程的解,再确定符合条件的m可取的最大整数解,再计算出此题最后结果即可.
【详解】解:解分式方程,得
x=6-m,
∵
∴,即
∵
∵分式方程的解是正数,
∴6-m>0,
∴m0 时,随着x的增大,分式的值减小;
(3)2
理由如下:
,
随着x的值的增大,的值逐渐减小并趋于0,
∴随着x的值的增大,的值无限趋近于2.
【点睛】本题考查分式运算的规律探索,根据材料得到一定规律并灵活运用于所给问题的解决是解题关键.
23.(1);(2)①见解析;②,证明见解析
【分析】(1)根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质可以得解;
(2)①根据轴对称的意义和性质可以作出图形;
②连结MC,然后根据轴对称的性质和直角等腰三角形的性质以及三角形全等的判定和性质可以得到解答.
【详解】解:(1)∵在中,,
.
是的一个外角,
.
,
.
,
.
(2)①如图,由题意可得补全图如下:
②,理由如下:
如上图,连接.
,
.
,
.
.
.
.
∵点Q关于直线的对称点为M,
.
,
∴△ABP≌△ACM,
∴BP=CM,
.
在中,,
.
,
.
在中,,
,
.
【点睛】本题考查直角三角形的综合应用,熟练掌握直角等腰三角形和三角形的性质、轴对称的意义和性质、三角形全等的判定和性质以及勾股定理的应用是解题关键.
24.(1)④;(2);(3)
【分析】(1)根据题意所给的均分点的定义逐项判断即可.
(2)根据均分点的定义结合勾股定理,分别计算出和时,的大小即可.
(3)过C点作,交直线于点E.根据均分点的定义可知,.根据勾股定理即可求出PD.又根据题意易证,推出,.再利用勾股定理即可求出CP长.
【详解】(1)①D点在直线AE上,故D点不是关于顶点B的均分点.
②D点在直线AE上,故D点不是关于顶点B的均分点.
③,不能推出AE=EC,即不能说明,故不能证明D点是关于顶点B的均分点.
④由AE=EC,可知,所以D点是关于顶点B的均分点.
综上,选④.
(2)如图,当时,
∵AB=AC,P点是均分点,
∴BD=DC=1,.
∴在中,,
∴BD=DC=DP=1,
∴,
∴.
如图,当时,
同理可求出,
∴.
综上,.
(3)过C点作,交直线于点E,
∵点P是关于顶点A的均分点,,
∴,
在中,,
,
,
,
,
.,
,
在中,.
【点睛】本题考查新定义“均分点”,勾股定理,三角形全等的判定和性质等知识.根据题意充分理解均分点的定义是解答本题的关键.
25.
【分析】先把各个二次根式化简,计算立方根,绝对值化简,最后计算即可.
【详解】解:原式==.
【点睛】本题主要考查二次根式的加减法,涉及了立方根、二次根式的化简、绝对值的化简等运算,属于基础题.
26.,
【分析】通过观察方程形式,利用二次三项式的因式分解法解方程比较简单.
【详解】解:原方程变形为
∴,.
【点睛】此题考查因式分解法解一元二次方程,解题关键在于掌握运算法则.
27.
【分析】原式变形后,利用同分母分式的减法法则计算,约分即可得到结果.
【详解】=
=
=
=.
【点睛】此题主要考查了同分母分式的加减法运算,熟练掌握运算法则是解题的关键.
28.
【详解】【分析】先去分母,把分式方程化为一元一次方程,解一元一次方程,再验根.
【详解】解:去分母得:
解得:
检验:把代入
所以:方程的解为
【点睛】本题考核知识点:解方式方程. 解题关键点:去分母,得到一元一次方程,.验根是要点.
29.见解析
【分析】已知AB∥CD,根据两直线平行,内错角相等可得∠B=∠ECD,再根据SAS证明△ABC≌△ECD全,由全等三角形对应边相等即可得AC=ED.
【详解】解:∵ABCD,
∴∠B=∠DCE.
在△ABC和△ECD中
,
∴△ABC≌△ECD(SAS),
∴AC=ED.
30.(1);(2).
【分析】(1)将代入方程中,再解方程即可;
(2)根据方程根的情况可得到方程根的判别式的取值范围,即m的取值范围.
【详解】解:(1)把m=0代入方程中,得:
∴ 原方程的根为.
(2)∵方程有两个不相等的实数根,
∴.
∴.
∴.
∴m的取值范围为.
【点睛】此题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
也考查了一元二次方程的解法.
31.(1)见解析;(2)见解析.
【分析】(1)利用勾股定理画出长度为的线段,然后利用旋转画出边长为 的正方形即可;
(2)先在数轴的负半轴上画出边长分别为1、2的矩形,然后在负半轴上截取矩形的对角线得到表示 的点.
【详解】解:(1)如图所示:
(2)如图所示:
【点睛】本题考查了作图-复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.
32.2x-3,1.
【分析】先算括号内的加法,同时把除法变成乘法,再根据分式的乘法进行计算,最后代入求出即可.
【详解】解:原式
.
∵由题意,x不能取1,-2,0
∴当x=2时,原式=2×2-3=1.
(或当x=-1时,原式=2×(-1)-3=-5.)
【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值,能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键.
33.(1)图见解析;(2)2或14.
【分析】(1)以点为圆心,长为半径画弧,交于点即可得;
(2)过点作于点,先根据等腰直角三角形的判定与性质可得,再利用勾股定理可得,从而可得,然后利用三角形的面积公式即可得.
【详解】解:(1)如图,和即为所求;
(2)如图,过点作于点,
,
是等腰直角三角形,
,
,
,
解得(负值已舍),
,
,,
,,
的面积为,
的面积为,
综上,的面积为2或14.
【点睛】本题主要考查学生一个作图能力和分类讨论思想,涉及的知识点有等腰直角三角形和勾股定理,解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理的运用,以及分类讨论的数学思想.
34.40元和25元
【分析】根据题意可设《孟子》这种书的单价为x元,则《论语》这种书的单价为,已知已知用500元购买《孟子》的数量和用800元购买《论语》的数量相同,所以可得等量关系式:,代入数据计算即可.
【详解】解:. 设《孟子》这种书的单价为x元,则《论语》这种书的单价为,
根据题意,得:.
解得:,经检验,是所列方程的解,且符合题意.
∴.
答:《论语》和《孟子》这两种书的单价分别为40元和25元.
【点睛】本题是关于分式方程的实际问题,解题的关键在于能从题目中找到等量关系式,并能用合适的未知数来表示各个量,(注意:解得到的答案需要检验).
35.(1) ∠DAE=42°;(2)∠CAB =135°.
【分析】(1)已知,,可由三角形的内角和求出的度数,已知△ABC分别沿AB,AC翻折得到△ABD 和△AEC,所以可得 ,,从而可求出;
(2)当时,,已知△ABC分别沿AB,AC翻折得到△ABD 和△AEC,所以可得,,所以,最后由三角形内角和求出即可.
【详解】解:(1)∵△ABC沿AC、AB翻折得到△AEC和△ABD,
∴.
∴.
.
∵,
∴.
∴.
(2)∵,
∴.
∴.
∵,
∴.
∴.
在△ABC中,
【点睛】本题主要考查三角形全等的性质,折叠,旋转,平移必有全等,解题的关键是通过折叠找到全等的三角形,再利用全等三角形的性质:对应角相等找到各个角之间的关系,联立等式求解即可.
36.(1)见解析;(2) 40°,160° ,140° ,80°;(3)C.
【分析】(1)根据题意可知,巧妙点必在某条边的垂直平分线上,所以只需要作出两边的垂直平分线即可找到巧妙点;
(2)根据题意分别以A、C为圆心,AC为半径画圆,交BC边的垂直平分线的点即为点P,连接两圆的交点与BC边的垂直平分线的交点也为点P,最后分类讨论即可求∠BPC的度数;
(3)分别以等边三角形的三条边作其垂直平分线,再分别以等边三角形的三个顶点为圆心,等边三角形的边长为半径画圆,分别与三条边的垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点.
【详解】解:(1)作BC边的垂直平分线:分别以B、C为圆心,大于的长为半径画弧,连接其圆弧的交点;
同理作AB边的垂直平分线:分别以A、B为圆心,大于的长为半径,连接其圆弧的交点;
AB边的垂直平分线与BC边的垂直平分线的交点即为巧妙点P.
∴点P为所求.
(2)作BC边上的垂直平分线,再分别以A、C为圆心,AC为半径画圆,交BC边的垂直平分线的交点从上至下依次为 ,连接两圆的交点,交CB边的垂直平分线的交点为, 即为所求.
①接,
∵,
∴,
∵
∴;
②连接,
∵是AC、BC边的垂直平分线的交点,
∴
∴,
即:
③接 ,
∵,为BC边上的垂直平分线,
∴
∵,
∴
∴;
④连接,
∵,,为BC边上的垂直平分线,
∴,
∴,;
综上所述的度数可能为.
(3)分别以等边三角形的三条边作其对应边的垂直平分线,再分别以等边三角形的三个顶点为圆心,等边三角形的边长为半径画圆,分别与三条边的垂直平分线的交点和三条垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点.如下图:巧妙点P有10个,故选C.
【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质,解题的关键是在理解题意的前提下明白巧妙点就是三角形两条边的垂直平分线的交点,以及构建等腰三角形的作法:定顶点,定圆心;定腰,定半径;以及等边三角形的性质等.
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