专题03数形思想课之一次函数与一元一次不等式综合专练- 2022-2023学年八年级上册数学专题训练（浙教版）

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专题03数形思想课之一次函数与一元一次不等式综合专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．若函数y=kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣3）﹣b＞0的解集为（　　）

A．x＜2 B．x＞2 C．x＜5 D．x＞5
【答案】C
【分析】
根据函数图象知：一次函数过点（2，0）；将此点坐标代入一次函数的解析式中，可求出k、b的关系式；然后将k、b的关系式代入k（x﹣3）﹣b＞0中进行求解即可．
【详解】
解：∵一次函数y=kx﹣b经过点（2，0），
∴2k﹣b=0，b=2k．
函数值y随x的增大而减小，则k＜0；
解关于k（x﹣3）﹣b＞0，
移项得：kx＞3k+b，即kx＞5k；
两边同时除以k，因为k＜0，因而解集是x＜5．
故选C．
【点睛】
本题考查一次函数与一元一次不等式．
2．如图所示，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】A
【分析】
先确定直线y＝nx+4n与x轴的交点坐标为（﹣4，0），再结合函数图象写出﹣x+m＞nx+4n＞0的解集为﹣4＜x＜﹣2，然后找出其整数解即可．
【详解】
解：当y＝0时，nx+4n＝0，解得x＝﹣4，则直线y＝nx+4n与x轴的交点坐标为（﹣4，0），
∵直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，
∴当﹣4＜x＜﹣2时，﹣x+m＞nx+4n＞0，
即﹣x+m＞nx+4n＞0的解集为﹣4＜x＜﹣2，
∴﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解为﹣3．
故选：A．
【点评】
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
3．如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（4，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集为（　　）

A．x＞2 B．0＜x＜4 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞4
【答案】C
【分析】
看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．
【详解】
解：∵直线y1＝kx+b与直线y2＝mx+n分别交x轴于点A(﹣1，0)，B(4，0)，
∴不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集为﹣1＜x＜4，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变；
4．如图，直线y＝kx+b与直线y＝3x﹣2相交于点（，﹣），则不等式3x﹣2＜kx+b的解为（　　）

A．x＞ B．x＜ C．x＞﹣ D．x＜﹣
【答案】B
【分析】
结合函数图象，写出直线y＝kx+b在直线y＝3x﹣2上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
解：∵直线y＝kx+b与直线y＝3x﹣2相交于点（，﹣），
∴观察图像得出：当x＜时，3x﹣2＜kx+b，
∴不等式3x﹣2＜kx+b的解集为x＜．
故选：B．
【点睛】
本题考查的知识点是一次函数与一元一次不等式，结合一次函数的图像可以很容易的得出一元一次不等式的解集.
5．已知一次函数y1＝kx+1（k＜0）的图象与正比例函数y2＝mx（m＞0）的图象交于点（，），则不等式组的解集为（　　）
A． B． C． D．0＜x＜2
【答案】A
【分析】
将点代入y1＝kx+1，得出，即m＝k+2，再把m＝k+2代入不等式组，得到，解此不等式组即可．
【详解】
解：∵一次函数（k＜0）的图象过点，
∴，
∴m＝k+2，
∴不等式组，即为，
解得＜x＜2．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了不等式与函数的结合，准确计算是解题的关键．


二、填空题
6．如图，函数y=2x和y=ax+5的图象相交于A（m，3），则不等式2x＜ax+5的解集为______．

【答案】x＜．
【分析】
先把点A（m，3）代入函数y=2x求出m的值，再根据函数图象即可直接得出结论．
【详解】
∵点A（m，3）在函数y=2x的图象上，
∴3=2m，解得m=，
∴A（，3），
由函数图象可知，当x＜时，函数y=2x的图象在函数y=ax+5图象的下方，
∴不等式2x＜ax+5的解集为：x＜．
7．设一次函数y=kx+2k-3(k≠0),对于任意两个k的值k1,k2,分别对应两个一次函数值y1,y2,若k1k2<0,当x=m时,取相应y1,y2,中的较小值p,则p的最大值是________.
【答案】-3
【分析】
整理一次函数解析式求出不论k取任何值时一次函数经过的定点,再根据k1k2<0,可知两直线一条经过第一、三象限,一条经过第二、四象限，结合图象，当m=-2，相应的y1，y2中的较小值p，p最大值为-3．
【详解】
解：如图，∵y=kx+2k+3=k（x+2）-3，
∴不论k取何值，当x=-2时，y=-3，
∴一次函数y=kx+2k-3经过定点（-2，-3），
又∵对于任意两个k的值k1、k2，k1k2＜0，
∴两个一次函数y1，y2，一个函数图象经过第一、三象限，一个经过第二、四象限，
∴当m=-2，相应的y1，y2中的较小值p，p最大值为-3．

故答案为-3
【点睛】
本题考核知识点：一次函数图象的交点.解题关键点：找出固定点，结合图象分析问题．
8．如图，一次函数y=﹣x﹣2与y=2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组的解集为_____．

【答案】﹣2＜x＜2
【分析】
先将点P（n，﹣4）代入y=﹣x﹣2，求出n的值，再找出直线y=2x+m落在y=﹣x
﹣2的下方且都在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【详解】
∵一次函数y=﹣x﹣2的图象过点P（n，﹣4），
∴﹣4=﹣n﹣2，解得n=2，
∴P（2，﹣4），
又∵y=﹣x﹣2与x轴的交点是（﹣2，0），
∴关于x的不等式组的解集为
故答案为
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出
n的值，是解答本题的关键．
9．已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx-b>0的解集为_____.

【答案】x<2
【分析】
由题意可得-6k+b=0，k<0，继而把b=6k代入关于x的不等式3kx-b>0中进行求解即可.
【详解】
由题意知y=kx+b过点(-6，0)，y随着x的增大而减小，
所以-6k+b=0，k<0，
所以b=6k，
解关于x的不等式3kx-b>0，则有3kx-6k>0，
解得：x<2，
故答案为x<2.
【点睛】
本题考查了一次函数与不等式，正确得出k、b间的关系是解题的关键.
10．如图，直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P（3，5），则关于x的不等式kx＋6＞x＋b的解集是_____．

【答案】x＜3
【分析】
观察函数图象得到当x＜3时，函数y=kx+6的图象都在y=x+b的图象上方，所以关于x的不等式kx+6＞x+b的解集为x＜3．
【详解】
由图象可知，当x＜3时，有kx＋6＞x＋b，
当x＞3时，有kx＋6＜x＋b，
所以，填x＜3
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
11．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为__________．

【答案】
【分析】
由图象可以知道，当x=-1时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式的解集．
【详解】
解：两条直线的交点坐标为（-1，1），
当x＜-1时，
直线y=ax+4在直线y=kx的下方，
当x＞-1时，
直线y=ax+4在直线y=kx的上方，
故不等式kx＜ax+4的解集为x>-1．
故答案为：x>-1．
【点睛】
本题考查了一次函数和一元一次不等式的知识点，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
12．如图，直线经过和两点，则关于x的不等式组的解是____________．

【答案】
【分析】
用待定系数法求出k、b的值，然后将它们代入不等式组中进行求解即可．
【详解】
解：将 A(− 1，-2) 和 B(− 3，0) 代入 y=kx+b 中得：


解得：，
∴y=-x-3，
则 x+1<-x-3<0 ，
解得： −3 故答案为：−3 【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及不等式的解法，难度不大．
13．在平面直角坐标系中，有直线：和直线：，直线的有一个点，当点到直线的距离小于，则点的横坐标取值范围是________．
【答案】.
【分析】
利用点到直线的距离公式，得到M的坐标之间的关系式，与直线联立，解方程组即可得到界点值，根据题目要求，写出符合题意的范围即可.
【详解】
设点M(m，n)，直线与坐标轴的交点为E，A，与坐标轴的交点为E，F，
过点A作AB⊥EF，垂足为B，过点M作MC⊥EA，垂足为C，过点M作MD⊥y轴，垂足为D，
根据题意，得
OE=5，OA=，OF=15，AF=OF-OA=，
∴EF==，
AE==，
∴，
∴，
∴AB=，
∴sin∠AEB=
==，
∴∠AEB=45°，
∴MC=CE，
∴ME=，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，


∵点到直线的距离小于，
∴点的横坐标取值范围是.
故答案为.
【点睛】
本题考查了交点坐标的确定，图形的面积，三角函数的定义，不等式解集的确定，熟记坐标与线段的关系，三角函数的定义是解题的关键.
14．已知直线y1＝kx＋1(k＜0)与直线y2＝nx(n＞0)的交点坐标为(，)，则不等式组nx－3＜kx＋1＜nx的解集为______．
【答案】
【分析】
由函数都经过(，)可求得k=n-3，代入不等式组即可解答.
【详解】
解：把(，）代入y1=kx+1，可得，
解得k=n-3，
代入不等式得nx－3＜nx-3x＋1＜nx，
解得：
∴不等式组mx-2＜kx+1＜mx的解集为
，
故答案为，．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式和一元一次不等式组的解法．根据函数交点求出k和n的关系是解题的关键.

三、解答题
15．已知直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集．

【答案】（1）y＝﹣x+5；（2）点C（3，2）；（3）x＞3
【分析】
（1）利用待定系数法把点A（5，0），B（1，4）代入y＝kx+b可得关于k、b得方程组，再解方程组即可；
（2）联立两个函数解析式，再解方程组即可；
（3）根据C点坐标可直接得到答案．
【详解】
解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+5；
（2）∵若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，
∴．
解得，
∴点C（3，2）；
（3）根据图象可知，当x＞3时，直线y＝2x﹣4位于直线y＝kx+b的上方，
∴不等式2x﹣4＞kx+b的解集为x＞3．
【点睛】
本题考查待定系数法求一次函数解析式、两直线的交点问题、解二元一次方程组、一次函数与一元一次不等式，熟练掌握待定系数法求解函数解析式，会运用图像法求解不等式的解集是解答的关键．
16．平面直角坐标系xOy中，一次函数＝－x＋6的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．坐标系内有点P（m，m－3）.
（1）问：点P是否一定在一次函数＝－x＋6的图象上？说明理由
（2）若点P在△AOB的内部（不含边界），求m的取值范围
（3）若＝kx－6k（k>0），请比较，的大小
【答案】（1）点P不一定在函数的图像上，理由详见解析；（2）；（3）详见解析.
【分析】
（1）要判断点P（m，m−3）是否在函数图象上，只要把这个点的坐标代入函数解析式，观察等式是否成立即可；
（2）由题意可得0＜m＜6，0＜m−3＜6，m−3＜−m＋6，解不等式即可求出m的取值范围；
（3）求出过点（6，0），然后根据k＞0，利用一次函数的性质分段比较，的大小即可．
【详解】
解：(1)不一定，
∵当时，，
∴只有当时，，
∴点P不一定在函数的图像上；
(2)∵函数的图像与x轴，y轴分别交于A，B，
易得，
∵点P在的内部，
∴，
∴；
(3)∵＝kx－6k＝k(x-6)，
∴当x=6时，，
∴＝kx－6k的图像经过点（6，0），即过A点坐标，
∵k＞0，
∴当x＞6时，y2＞y1，
当x=6时，y2=y1，
当x＜6时，y2＜y1.
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质以及一次函数与不等式，熟知函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题关键．
17．在平面直角坐标系中，一次函数（k，b都是常数，且），的图象经过点（1，0）和（0，3）．
（1）求此函数的表达式．
（2）已知点在该函数的图象上，且．
①求点P的坐标．
②若函数（a是常数，且）的图象与函数的图象相交于点P，写出不等式的解集．
【答案】（1）y=-3x+3；（2）①P（，）；②．
【分析】
（1）利用待定系数法求一次函数解析式得出即可；
（2）①根据题意得出n=﹣3m+3，联立方程，解方程即可求得；
②画出图象，观察即可得出结论．
【详解】
（1）设解析式为：y=kx+b，
将（1，0），（0，3）代入得：，
解得：，∴这个函数的解析式为：y=﹣3x+3；
（2）①∵点P（m，n）在该函数的图象上，∴n=﹣3m+3．
∵m+n=4，∴m+（﹣3m+3）=4，
解得：m=，n=，∴点P的坐标为（，）．
②如图，由图像可知：不等式的解集为．

【点睛】
本题考查了一次函数与不等式、待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，求得解析式是解题的关键．
18．已知：直线和（且）交于点．
（1）若点的横坐标为2，求的值．
（2）若直线经过第四象限，求直线所经过的象限．
（3）点在直线上，点在直线上，当时，始终有，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）当时，直线经过第一、二、四象限；当时，直线经过第一、二、三象限；（3）且
【分析】
（1）把点A的横分别代入和（且），即可得解；
（2）先根据经过第四象限，求出k的范围，再分两种情况讨论即可；
（3）根据，而时，始终有，可得出，进而得出结果．
【详解】
解：（1）∵两条直线交于点，且点的横坐标为2，
∴，得．
（2）∵直线经过第四象限，
∴．
∴当时，直线经过第一、二、四象限；
当时，直线经过第一、二、三象限．
（3）由题意，得：，，
∴．
∵时，总有，
∴，得，
∴且．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，灵活运用一次函数的性质解决问题是本题的关键．
19．如图所示，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（，b）．

（1）求出a，b的值；
（2）根据图象直接写出，当x为何值时，函数y＝ax+4的值大于函数y＝2x的值．
【答案】（1）a＝﹣，b＝3；（2）
【分析】
（1）把点A（，b）代入y＝2x即可求得b＝3，然后代入y＝ax+4即可求得a；
（2）根据函数的图象即可写出不等式的解集．
【详解】
解：（1）当x＝时，b＝，
∴A（，3），
代入y＝ax+4得，，
∴；
（2）观察图象，当x＜时，函数y＝ax+4的值大于函数y＝2x的值．
【点睛】
本题主要考查待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象与不等式的关系，解决本题的关键是要熟练掌握待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象与不等式的关系.
20．一次函数 =ax-a+1（a为常数，且a¹0）．
（1）若点(-1，3)在一次函数=ax-a+1的图象上，求a的值；
（2）当-1£x£2时，函数有最大值5，求出此时一次函数的表达式；
（3）对于一次函数=kx+2k-4(k¹0)，若对任意实数x，> 都成立，求k的取值范围．
【答案】（1）a= -1；（2）y=4x-3或y= -2x+3；（3）k＜0或0＜k＜．
【分析】
（1）把点的坐标代入函数的解析式，转化为关于a的一元一次方程求解即可；
（2）分a＞0和a＜0两种情形，结合一次函数的性质，确定最值点，分别代入解析式求解即可；
（3）根据题意，两直线应该平行，同时满足-a+1＞2k-4，只需分k为正和为负两种情形求解即可．
【详解】
（1）∵点(-1，3)在一次函数=ax-a+1的图象上，
∴3= -a-a+1，
解得a= -1；
（2）当a＞0时，∵y随x的增大而增大，且-1£x£2，
∴当x=2时，函数有最大值5，
把（2，5）代入解析式=ax-a+1，得
5=2a-a+1，
解得a= 4，
∴一次函数的表达式为=4x-3；
当a＜0时，
∵y随x的增大而减小，且-1£x£2，
∴当x= -1时，函数有最大值5，
把（-1，5）代入解析式=ax-a+1，得
5= -a-a+1，
解得a= -2，
∴一次函数的表达式为= -2x+3；
综上所述，一次函数的解析式为=4x-3或= -2x+3；
（3）∵对任意实数x，> 都成立，
∴当k=a＞0时，只需满足-a+1＞2k-4，
∴-k+1＞2k-4，
∴k=a＜，
∴0＜k=a＜；
∴当k=a＜0时，只需满足-a+1＞2k-4，
∴-k+1＞2k-4，
∴k=a＜，
∴k=a＜0，
综上所述，k的取值范围为 k＜0或0＜k＜．
【点睛】
本题考查了一次函数的解析式与点的关系，分类法确定一次函数的最值，一次函数解析式的确定，一次函数与不等式解集关系，熟练掌握一次函数的性质，灵活运用分类思想，数形结合思想，不等式思想是解题的关键．