专题03 证明重难点专练- 2022-2023学年八年级上册数学专题训练（浙教版）

专题03证明重难点专练（原卷版）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列四个命题中：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；③相等的两个角是对顶角；④垂直于同一条直线的两条直线相互垂直. 真命题有（      ）

A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

2．如图，给出下列推理：①∵∠B＝∠BEF，∴AB∥EF；②∵∠B＝∠CDE，∴AB∥CD；③∵∠B＋∠BEC＝180°，∴AB∥EF；④∵AB∥     CD，CD∥EF，∴AB∥EF，其中正确的推理是(      )

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

3．有下列六个命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；④负数没有平方根；⑤无限小数都是无理数；⑥算术平方根等于它本身的数只有0．其中正确的命题有(   )

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

4．下列推理中，错误的是(  )

A．因为AB⊥EF，EF⊥CD，所以AB⊥CD

B．因为∠α＝∠β，∠β＝∠γ，所以∠α＝∠γ

C．因为a∥b，b∥c，所以a∥c

D．因为AB＝CD，CD＝EF，所以AB＝EF

5．下列推理正确的是(  )

A．∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＋∠3＝90°

B．∵∠1＋∠3＝90°，∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2

C．∵∠1与∠2是对顶角，又∠2＝∠3，∴∠1与∠3是对顶角

D．∵∠1与∠2是同位角，又∠2与∠3是同位角，∴∠1与∠3是同位角

6．利用反证法证明命题“在中，若，则”时，应假设  

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

7．下列几个命题中正确的个数为（    ）

①“掷一枚均匀骰子，朝上点数为负”为必然事件（骰子上各面点数依次为1，2，3，4，5，6）；

②5名同学的语文成绩为90，92，92，98，103，则他们的平均分为95，众数为92；

③射击运动员甲、乙分别射击10次，算得甲击中环数的方差为4，乙击中环数的方差为16，则这一过程中乙较甲更稳定；

④某部门15名员工个人年创利润统计表如下，其中有一栏被污渍弄脏看不清数据，所以对于“该部门员工个人年创利润的中位数为5万元”的说法无法判断对错.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8．小欣在一次游戏活动中，从三角形的一个顶点A 出发，沿三角形的三条边走过各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，则他在行程中所转的各个角的度数和（    ）

A．90° B．180° C．360° D．270°

9．图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词Ai出现在书Bj中时，元素aij＝1，否则aij＝0（i，j为正整数）．例如：当关键词A1出现在书B4中时，a14＝1，否则a14＝0．根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同时有关键词“A2，A5，A6”的书，则下列相关表述错误的是（　　）

A．当a21+a51+a61＝3时，选择B1这本书

B．当a22+a52+a62＜3时，不选择B2这本书

C．当a2j，a5j，a6j全是1时，选择Bj这本书

D．只有当a2j+a5j+a6j＝0时，才不能选择Bj这本书

10．定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

已知：如图，是的外角．

求证：．

下列说法正确的是（    ）

A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整

B．证法1用严谨的推理证明了该定理

C．证法2用特殊到一般法证明了该定理

D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理

二、填空题

11．在△ABC中，AB≠AC，若用反证法证明∠B≠∠C，应先假设 _____

12．如图，EF⊥AB于点F，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，∠1=∠2，则图中互相平行的直线有________对.

13．完成下面的证明过程．

已知：如图，∠1和∠D互余，∠C和∠D互余．求证：AB∥CD．

证明：∵∠1和∠D互余(已知)，

∴∠1＋∠D＝90°(_____________)．

∵∠C和∠D互余(已知)，

　　∴∠C＋∠D＝90°(_____________)，

∴∠1＝∠C(__________________)，

∴AB∥CD(________________________)．

14．如图，现给出下列条件：①，②，③，④，⑤.其中能够得到AB//CD的条件是_______.(只填序号)

15．盒子里有甲、乙、丙三种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗乙粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成第三种粒子，例如一颗甲粒子和一颗乙粒子发生碰撞则变成一颗丙粒子，现有甲粒子6颗，乙粒子4颗，丙粒子5颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩下1颗粒子，给出下列结论：①最后一颗粒子可能是甲粒子；②最后一颗粒子一定不是乙粒子；③最后一颗粒子可能是丙粒子．其中正确结论的序号是：_______．

三、解答题

16．    已知以下基本事实：①对顶角相等；②一条直线截两条平行线所得的同位角相等；③两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行；④经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线．

(1)在利用以上基本事实作为依据来证明命题“两直线平行，内错角相等”时，必须要用的基本事实有____（填入序号即可）；

(2)根据在(1)中的选择，结合所给图形，请你证明命题“两直线平行，内错角相等”，

已知：如图，_____________________________．

求证：________.

证明：____________________.

17．如图，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截．在下面三个条件中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．①AB⊥BC，CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1＝∠2.

18．如图，AB∥CD，∠ABE＝∠DCF.求证：∠E＝∠F.

19．如图，CD⊥AB于点D，GF⊥AB于点F，∠B＝∠ADE.请你判断∠1与∠2的关系，并证明你的结论．

20．请阅读，完成证明和填空.

九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：

（1）如图1，正三角形中，在、边上分别取点、，使，连结、，发现，且.

请证明：.

（2）如图2，正方形中，在、边上分别取点、，使，连结、，那么______，且______度.

（3）如图3，正五边形中，在、边上分别取点、，使，连结、，那么______，且______度.

（4）在正边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论.

请大胆猜测，用一句话概括你的发现：________________________________.

21．如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠1＝∠2、∠C＝∠D，试判断∠A与∠F的关系，并说明理由．

22．（1）证明：“三角形内角和是180°”；   

（2）请写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，判断这一逆命题是真命题还是假命题，如果是真命题给出证明，如果是假命题，说明理由．

23．一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b（），若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数，这两个两位数的和能被11整除吗？差能被11整除吗？我们可以验证一下，比如23，对调后所得到的新的两位数是32，而2，.因此我们断定，这两个两位数的和能被11整除，差不能被11整除；请问上述说法正确吗？

24．（1）求证：三角形三个内角的和等于180°． 

（2）阅读材料并回答问题： 

如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD．像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的“外角”，在每个顶点处取这个三角形的一个外角，它们的和叫做这个三角形的“外角和”．补全图形并求△ABC的“外角和”．

25．如图所示，相交于点，连接，①，②，③．以这三个式子中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②③；①③②；②③①．

（1）在构成的三个命题中，真命题有________个；

（2）请选择其中一个真命题加以证明．

26．叙述并证明线段垂直平分线的性质．

27．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，，，因此4，12，20都是“神秘数”

（1）请说明28是否为“神秘数”；

（2）下面是两个同学演算后的发现，请选择一个“发现”，判断真假，并说明理由．

①小能发现：两个连续偶数和（其中取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数．

②小仁发现：2016是“神秘数”．

提示：（2）中两个发现，只需解答其中一个，若两个都做，按“小能发现”的解答计分．

28．观察下列等式，探究其中的规律：①+﹣1＝，②+﹣＝，③+﹣＝，④+﹣＝，…．

（1）按以上规律写出第⑧个等式：_______；

（2）猜想并写出第n个等式：_________；

（3）请证明猜想的正确性．

29．阅读下面的材料：

如果函数满足：对于自变量的取值范围内的任意，，

（1）若，都有，则称是增函数；

（2）若，都有，则称是减函数．

例题：证明函数是减函数．

证明：设，

．

∵，∴，．∴．即．

∴．∴函数（）是减函数．

根据以上材料，解答下面的问题：

己知函数（），

（1）计算：_______，_______；

（2）猜想：函数（）是_______函数（填“增”或“减”）；

（3）请仿照例题证明你的猜想．

30．（1）用“=”、“>”、“<”填空

       ； 6+3      ；        ；7+7        ；

（2）由（1）中各式猜想a+b与的大小，并说明理由．

（3）请利用上述结论解决下面问题：

某同学在做一个面积为1800cm2，对角线互相垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？

31．观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第5个等式：____________________________________________________________；

（2）写出你猜想的第个等式：____________________；（用含的等式表示），并证明.

32．在小学四年级我们学过三角形的内角和等于180°；科学实验又证明，平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．利用上述知识进行下面的探究活动：

（一）探究：

（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被平面镜b反射．若被平面镜b反射出的光线n平行于m，且∠1＝50°，则∠2＝________，∠3＝________．

（2）在（1）中，若∠1＝40°，则∠3＝________；若∠1＝55°，则∠3＝________．

（二）猜想：

（3）由（1）（2），请你猜想：当∠3＝________时，任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a和b的两次反射后，入射光线m与反射光线n总是平行的．

（三）（4）证明：请证明你的上述猜想．

33．对于正数x，规定：．

例如：，，．

（1）填空：________；_______；_________；

（2）猜想：_________，并证明你的结论；

（3）求值：．

34．如何将用数轴上的点表示？关键是画出长为的线段．方法1：因为，所以我们可以通过画两条直角边分别为1、2的直角三角形来解决，我们把此法称为“和法”；方法2：因为，所以我们可以通过画直角边为2，斜边为3的直角三角形来解决，我们把此法称为“差法”．

（1）用“差法”将用数轴上的点表示（注：需用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）

（2）对于正整数n，猜想当n是什么数时，我们都能通过“差法”，将用数轴上的点表示，并证明你的猜想．

35．对于任意正实数，， ，， ，只有时，等号成立．结论：在 (，均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值．根据上述内容，回答下列问题：

（1）初步探究：若，只有当 时，有最小值      ；

（2）深入思考：下面一组图是由4个全等的矩形围成的大正方形，中空部分是小正方形，矩形的长和宽分别为，，试利用大正方形与四个矩形的面积的大小关系，验证，并指出等号成立时的条件；

（3）拓展延伸：如图，已知，，点是第一象限内的一个动点，过点向坐标轴作垂线，分别交轴和轴于，两点，矩形的面积始终为48，求四边形面积的最小值以及此时点的坐标．

36．数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．

猜想发现：由；；；；；

猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）．

猜想证明：∵

∴①当且仅当，即时，，∴；

②当，即时，，∴．

综合上述可得：若，，则成立（当日仅当时等号成立）．

猜想运用：（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？

变式探究：（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？

拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？

37．平行线问题的探索：

（1）问题一：已知：如图，于点交于点，当时，求的度数

甲、乙．丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图1：

甲同学辅助线的做法和分析思路如下：辅助线：过点作，分析思路：

a.欲求的度数，由图可知只需转化为求和的度数；

b.可知，又由已知的度数可得的度数；

c.由推出由此可推出；

d.由已知可得所以可得的度数；

f.从而可求的度数

①请你根据乙同学所画的图形，描述乙同学辅助线的做法．辅助线：                _；

②请你根据丙同学所画的图形，且不再添加其他辅助线，求的度数．

（2）问题二： 如图2，在平面直角坐标系中，点为轴负半轴上一点，点为轴正半轴上一点，其中满足关系式：．

①              ，                 ；

②根据已知点的坐标判断与的位置关系是                

38．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图②中都有．设镜子与的夹角．

（1）如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由．

（2）如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索与的数量关系，并说明理由．

（3）如图③，若，设镜子与的夹角为钝角，入射光线与镜面的夹角．已知入射光线从镜面开始反射，经过为正整数，且）次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数（可用含的代数式表示）．

39．已知，在计算：的过程中，如果存在正整数，使得各个数位均不产生进位，那么称这样的正整数为“本位数”．例如：2和30都是“本位数”，因为没有进位，没有进位；15和91都不是“本位数”，因为，个位产生进位，，十位产生进位．则根据上面给出的材料：

（1）下列数中，如果是“本位数”请在后面的括号内打“√”，如果不是“本位数”请在后面的括号内画“×”．

106（　 　）；111（　 　）；400（　 　）；2015（　 　）．

（2）在所有的四位数中，最大的“本位数”是　 　，最小的“本位数”是　 　．

（3）在所有三位数中，“本位数”一共有多少个？

40．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.

原题：如图1，在平行四边形中，点是边上的中点，点是线段上一点，的延长线交射线于点，若，求的值.

（1）尝试探究

在图1中，过点作交于点，则和的数量关系是______，和的数量关系是______，的值是______；

（2）类比延伸

如图2，在原题的条件下，当时，参照问题（1）的研究结论，请你猜想的值（用含的代数式表示），并证明你的猜想；

（3）拓展迁移

如图3，梯形中，，点是延长线上一点，和相交于点，当，时，请你求出的值（用含、的代数式表示）.