专题01数形思想之与线段有关的动点问题专练- 2022-2023学年七年级数学专题训练（浙教版）

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专题01数形思想之与线段有关的动点问题专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________



一、填空题
1．（2021·河南）线段，点从点开始向点以每秒1个单位长度的速度运动，点从点开始向点以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，当时，的值为________．
【答案】或6
【分析】
根据时间与速度可以分别表示出AP、BQ，结合分别从相遇前和相遇后，利用线段的和差关系计算出的值．
【详解】
解：此题可分为两种情况进行讨论：
①如图1，

点P、Q相遇前，由题意得AP＝t，BQ＝2t，PQ＝AB－AP－BQ，
当时，t＝2(15－t－2t)，
解得t＝；
②如图2，

点P、Q相遇后，由题意得AP＝t，BQ＝2t，PQ＝AP＋BQ－AB，
当时，t＝2(t＋2t－15)，
解得t＝6．
综上所述：的值为或6．
故答案为：或6．
【点睛】
此题考查了与线段有关的动点问题，正确理解题意，利用线段的和差关系列出方程是解题的关键．
2．（2021·全国）如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB，AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
（1）线段的中点__这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知AB＝15cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t（s），当t＝__s时，Q为A，P的“巧点”．

【答案】是 7.5或
【分析】
（1）根据“巧点”的定义即可求解；
（2）设A点为数轴原点，作数轴，设运动时间为t秒；t最大＝7.5，A：0，P：0+2t＝2t，Q：15﹣t，分①Q为AP中点；②AQ＝2PQ；③PQ＝2AQ；进行讨论求解即可．
【详解】
解：（1）若线段中点为C点，AB＝2AC，所以中点是这条线段“巧点”
（2）设A点为数轴原点，作数轴，设运动时间为t秒；t最大＝7.5，
A：0，P：0+2t＝2t，Q：15﹣t，
①Q为AP中点，，∴t＝7.5；
②AQ＝2PQ，AQ＝15﹣t﹣0＝15﹣t，PQ＝2t﹣（15﹣t）＝3t﹣15，
∵AQ＝2PQ，
∴15﹣t＝2（3t﹣15），
∴；
③PQ＝2AQ，得3t﹣15＝2（15﹣t），
∴t＝97.5（舍去）．
综上所述：t＝7.5或．
故答案为：（1）是；（2）7.5或．
【点睛】
本题主要考查两点间的距离及一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．

二、解答题
3．（2021·江苏七年级期末）（新知理解）
如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“奇点”．
（1）线段的中点______这条线段的“奇点”（填“是”或“不是”）
（初步应用）
（2）如图②，若，点是线段的奇点，则；
（解决问题）
（3）如图③，已知动点从点出发，以速度沿向点匀速移动：点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为，请直接写出为何值时，、、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的奇点？

【答案】（1）是；（2）6或9或12；（3）或或或或或6
【分析】
（1）根据“奇点”的定义即可求解；
（2）分当N为中点时, 当N为CD的三等分点，且N靠近C点时，当N为CD的三等分点，且N靠近D点时，进行讨论求解即可；
（3）分由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除；当P为A、Q的巧点时；当Q为A、P的巧点时；进行讨论求解即可．
【详解】
（1）一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称这个点为该线段的“奇点”，
线段的中点是这条线段的“奇点”，
（2），点N是线段CD的奇点，
可分三种情况，
当N为中点时，,
当N为CD的三等分点，且N靠近C点时，,
当N为CD的三等分点，且N靠近D点时，
（3）,
秒后，，
由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除；
当P为A、Q的巧点时，有三种情况；
1）点P为AQ中点时，则，即，解得：
2）点P为AQ三等分点，且点P靠近点A时，则,即，解得：
3）点P为AQ三等分点，且点P靠近点Q时,则，即，解得：
当Q为A、P的巧点时，有三种情况；
1）点Q为AP中点时，则，即，解得：
2）点Q为AP三等分点，且点Q靠近点A时，则,即，解得：
3）点Q为AP三等分点，且点Q靠近点P时,则，即，解得：
【点睛】
考查了两点间的距离,一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
4．（2021·河南七年级期末）（背景知识）数轴上A、B两点在对应的数为a，b，则A、B两点之间的距离定义为：．
（问题情境）已知点A、B、O在数轴上表示的数分别为-4、10和0，点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，设运动的时间为t秒（）．
（1）填空：
① ；
②用含t的式子表示： ； ；
（2）当t为何值时，恰好有；
（3）求的最小值．
【答案】（1）①4，10；②，；（2）或；（3）14
【分析】
（1）①由题意可直接进行求解；
②由题意可得点M在数轴表示的数为-t，点N在数轴表示的数为10-3t，然后根据数轴上的两点距离可求解；
（2）由（1）可分点M在点A的右边、点M在点A的左边和点M、N都在点A的左边，然后列方程求解即可；
（3）由可看作是到和4的距离，进而可分当时，当时和当时，然后进行求解比较即可．
【详解】
解：（1）①由点A、B、O在数轴上表示的数分别为-4、10和0，可得：
，
故答案为4，10；
②由点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，设运动的时间为t秒，可得点M、N的运动路程分别为：t，3t；
∴点M在数轴表示的数为-t，点N在数轴表示的数为10-3t，
∴，
故答案为，；
（2）由（1）可得：当点N追上点M时，则有，解得：，
∴①当点M在点A的右边时，即，则有，解得：（不符合题意，舍去）；
②当点M在点A的左边时，即，则有，＞4，符合题意；
③当点N追上点M后，即，点M、N都在点A的左边，则有，解得：＞5，符合题意；
综上所述：当时，或；
（3）由可看作是到和4的距离，则有：
当时，无最小值；
当时，，
当时，，无最小值，
综上所述：当当时，有最小值，最小值为14．
【点睛】
本题主要考查数轴上的两点距离、一元一次方程的解法及线段的和差关系，熟练掌握数轴上的两点距离、一元一次方程的解法及线段的和差关系是解题的关键．
5．（2021·湖南七年级期末）如图，直线上有A，B两点，AB=18cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB．

（1）OA= _______cm，OB=________cm．
（2）若点C是线段AB上一点（点C不与A，B重合），且AC=CO+CB，求CO的长；
（3）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为3cm/s，点Q的速度为2cm/s，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．设运动时间为t(s)，求当t为何值时，2OP－OQ=6(cm)？
【答案】（1）12，6；（2）2cm；（3）1.5s或9s
【分析】
（1）由于AB＝18cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB，则OA＋OB＝3OB＝AB＝18cm，依此即可求解；
（2）根据点C是线段AB上一点（点C不与A，B重合），分两种情况：①点C在线段OA上时；②点C在线段OB上时，根据AC＝CO＋CB即可求解；
（3）根据题意分三种情况讨论：①点P在AO之间时，即0≤＜4时，②点P在OB之间时，即4≤＜6时，③点P在AB延长线上时，即6≤≤18时，分情况讨论求解即可．
【详解】
解（1）∵AB=18， OA=2OB
∴2OB+OB=18，
∴OB=6，OA=12
故答案为：12，6；
（2）分两种情况讨论：
①如图，

点C在线段OA上时，
∵AC=CO+CB，
∴AC= CO+（CO+OB），
∴AO－CO= CO+（CO+OB）
∴3CO=AO－OB，
OC=；
②如图，

点C在线段OB上时，
∵AC=CO+CB，
∴AC= CO+（OB － CO），
即AO+CO= CO+（OB － CO）
∴CO= OB－AO=－6不符合题意，舍掉，
综上所述，CO的长是2；
（3）由题意分三种情况讨论：
①点P在AO之间时，即0≤＜4时，
得，解得=1.5；
②点P在OB之间时，即4≤＜6时，
得，解得=9（舍去）
③点P在AB延长线上时，即6≤≤18时，
得，解得=9．
综上所述，当为1.5s或者9s时，2OP－OQ=6(cm)．
【点睛】
本题考查了线段和差的计算，一元一次方程的应用，直线上的动点问题，解题的关键是找出等量关系列出方程，注意分情况讨论．
6．（2021·湖北七年级期末）已知：如图，在数轴上点表示数，点表示数，表示点和点之间的距离，且，满足．
（1）求，两点之间的距离；
（2）若在数轴上存在一点，且，求点表示的数；
（3）一小球甲在数轴上从点处以1个单位/秒的速度向右运动，同时另一小球乙从点处以7个单位/秒的速度向左运动，当甲乙两小球开始运动时，立即在点和点处各放一块挡板，其中点所表示的数为，当球在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），问：为何值时，甲、乙两小球之间的距离为4．

【答案】（1）8；（2）点C表示的数为或14；（3）t为s或时，甲、乙两小球之间的距离为4．
【分析】
（1）由可得，进而问题可求解；
（2）由题意易得点C在点A的右侧，可分当点C在线段AB上和在线段AB外，进而根据线段的和差关系可进行列方程求解；
（3）由题意得：个单位/秒，个单位/秒，则有它们相遇的时间为1s，进而可分①当它们未碰到挡板P，即，②当它们碰到挡板P后，即，然后根据题意列方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴A、B两点之间的距离为，
（2）由得点C在点A的右侧，设点C表示的数为x，即AC=x+2，则有：
①当点C在线段AB上，则BC=6-x，
∴，解得：，
②当点C在线段AB外，则BC=x-6，
∴，解得：，
综上所述：当时，点C表示的数为或14；
（3）由题意得：个单位/秒，个单位/秒，
∴它们相遇的时间为：，解得：，
∴它们同时碰到挡板P，
当它们之间的距离为4时，则有：
①当它们未碰到挡板P，即，
∴，解得：，
②当它们碰到挡板P后，即，
∴，解得：，
综上所述：当t为s或时，甲、乙两小球之间的距离为4．
【点睛】
本题主要考查数轴上两点的距离、一元一次方程的应用及线段的和差关系，熟练掌握数轴上两点的距离、一元一次方程的应用及线段的和差关系是解题的关键．
7．（2021·河南七年级期末）如图1，，是直线上的两个点，且．线段（在的左侧）可以在直线上左右移动．已知，点是的中点．

（1）如图2，当与重合时， ， ；

（2）在图2的基础上，将线段沿直线向左移动个单位长度得到图3．

①若，求和的长；
②若，则的值是 ．
（3）在图2的基础上，将线段沿直线向右移动个单位长度．请直接写出与之间的数量关系 ．
【答案】（1）5，2.5；（2）①=2，=1；②1；（3）AM=2BC．
【分析】
（1）当与重合时，AM=MN-NA=5,由点是的中点．由，可得AC=BC=；
（2）①由线段沿直线向左移动个单位长度,可得BN=可求=MN-AN =2，由点是的中点．NC=AC=，可求；②由，解方程即可；
（3）又线段沿直线向由移动个单位长度,BN=，可得AN= 5-b，可求=MN-AN=5+b，由点是的中点．可求NC=AC=，可求=CN+BN=即可．
【详解】
解：（1）当与重合时，AM=MN-NA=MN-BA=10-5=5，
∵点是的中点．
∴点是的中点，
∵，
∴AC=BC=，
故答案为：5，2.5；

（2）①∵线段沿直线向左移动个单位长度，
∵，
∴BN=，
∴AN=AB+BN=5+=8，
∴=MN-AN=MN-（AB+BN）=10-（5+3）=2，
∵点是的中点．
∴NC=AC=，
=CN-BN=4-3=1；
②∵，
，
即，
，
=1，
故答案为：１；

（3）∵线段沿直线向由移动个单位长度，
∴BN=，
∴AN=AB-BN=5-b，
∴=MN-AN= 10-（5-b）=5+b，
∵点是的中点．
∴NC=AC=，
∴=CN+BN=，
∴AM=2BC．
故答案为：AM=2BC．

【点睛】
本题考查与线段有关的动点与动线问题，掌握线段的中点定义，会根据线段和差列方程，理解线段和差是解题关键．
8．（2021·贵州）如图，在数轴上点，点，点表示的数分别为


（1）线段的长度为 个单位长度，线段的长度为 个单位长度．
（2）点是数轴上的一个动点，从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿数轴的正方向运动，运动时间为秒． 用含的代数式表示：点在数轴上表示的数为 线段的长为 个单位长度；
（3）点，点都是数轴上的动点，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动．设点同时出发，运动时间为秒当点两点间的距离为个单位长度时，求的值，并直接写出此时点在数轴上表示的数．
【答案】（1）3；8；（2）2+t；（3t）或（t3）；（3）10．
【分析】
（1）根据两点间的距离公式可求线段AB的长度，线段AC的长度；
（2）由题意，先求出点P表示的数，再根据路程=速度×时间求出点P运动的路程，再分点P在点B的左边和右边两种情况求解；
（3）根据等量关系点M、N两点间的距离为3个单位长度列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）线段AB的长度为1-（-2）=3个单位长度，
线段AC的长度为6-（-2）=8个单位长度；
（2）根据题意，
点P在数轴上表示的数为：2+t；
线段BP的长为：
当t≤3时，BP=3t；
当t＞3时，BP=t3，
（3）依题意有：
4x+3x8=13，
解得：x=3．
此时点M在数轴上表示的数是：2+4×3=10．
故答案为：（1）3；8；（2）2+t；（3t）或（t3）．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，数轴，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
9．（2021·广东七年级期末）如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和6
（1）求线段AB的长；
（2）已知点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点．请你画出图形，并探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由．

【答案】（1）8；（2）见解析；MN的长度不会发生改变，线段MN＝4．
【分析】
（1）数轴上两点之间的距离等于较大数与较小数的差；
（2）根据中点的意义，利用线段的和差可得出答案．
【详解】
解：（1）AB＝|﹣2﹣6|＝8，
答：AB的长为8；
（2）MN的长度不会发生改变，线段MN＝4，理由如下：

如图，因为M为PA的中点，N为PB的中点，
所以MA＝MP＝PA，NP＝NB＝PB，
所以MN＝NP﹣MP
＝PB﹣PA
＝（PB﹣PA）
＝AB
＝×8
＝4．
【点睛】
本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上线段中点的意义，熟练掌握两点间距离计算方法，灵活运用中点的意义是解题的关键．
10．（2021·全国）如图，射线OM上有A、B、C三点，满足OA＝40cm，AB＝30cm，BC＝20cm．点P从点O出发，沿OM方向以2cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．
（1）当点P与点Q都同时运动到线段AB的中点时，求点Q的运动速度；
（2）当PA＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点Q的运动速度；
（3）自点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求的值．

【答案】（1）点Q的运动速度为cm/s；（2）点Q的运动速度为cm/s或cm/s；（3）2
【分析】
（1）设经过ts，点P与点Q都同时运动到线段AB的中点，根据线段中点的定义得到BQ＝15cm，求得CQ＝35cm，于是得到结论；
（2）设Q的速度为v，经过ts后，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，点O对应数轴上的0，点A对应数轴上的40，点B对应数轴上的70，点C对应数轴上的90，点P对应数轴上的2t，点Q对应数轴上的90﹣vt，根据题意列出方程即可求出v的值；
（3）设经过ts时，点P在AB之间，点O对应数轴上的0，点A对应数轴上的40，点B对应数轴上的70，点C对应数轴上的90，点P对应数轴上的2t，由于OP和AB的中点E，F，所以点E对应数轴上的t，点F对应数轴上的55，从而可知EF＝55﹣t，AP＝2t﹣40，OB＝70，代入原式即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵AB＝30cm，
，
∴CQ＝BC+BQ＝35cm，
设经过ts，点P与点Q都同时运动到线段AB的中点，
∴OP＝OA+PA＝40+15＝55（cm），
∴t＝（s），
∴点Q的运动速度＝35÷＝（cm/s）；
答：点Q的运动速度为cm/s；
（2）设Q的速度为v，经过ts后，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，点O对应数轴上的0，点A对应数轴上的40，点B对应数轴上的70，点C对应数轴上的90，
∴点P对应数轴上的2t，点Q对应数轴上的90﹣vt，
∵点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，
∴＝90﹣vt，
∴vt＝55，
∵2PB＝PA，
∴2|2t﹣70|＝|2t﹣40|，
∴解得：t＝50或t＝30，
当t＝50s时，
此时v＝，
而点Q到达O点所需要时间为s50s，
当t＝30时，
此时v＝，
而点Q到达O点所需要的时间为30s，
综上所述，当v＝或v＝cm/s；
（3）设经过ts时，点P在AB之间，
点O对应数轴上的0，点A对应数轴上的40，点B对应数轴上的70，点C对应数轴上的90，
∴点P对应数轴上的2t，
∵OP和AB的中点E，F，
∴点E对应数轴上的t，点F对应数轴上的55，
∴EF＝55﹣t，AP＝2t﹣40，OB＝70，
∴原式＝＝2．
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用，数形结合列出方程是解题的关键．
11．（2021·全国七年级专题练习）A，B两地相距a千米，C地在AB的延长线上，且千米，D是A、C两地的中点．

（1）求AD长（结果用含a的代数式表示）．
（2）若千米，求a的值．
（3）甲、乙两车分别从A、D两地同时出发，都沿着直线AC匀速去C地，经4小时甲追上乙．当甲追上乙后甲马上原路返回，甲返回行驶1小时时发现甲车距D地50千米，已知千米，求乙车行驶的平均速度
【答案】（1）千米；（2）千米；（3）乙车平均速度为50km/h或km/h
【分析】
（1）由题意易得千米，进而根据点D是A、C的中点可求解；
（2）由（1）千米，则有千米，然后由BD=90千米可求解；
（3）由题意易得km，km，进而可得1小时内甲比乙多行驶100km，设乙速度为xkm/h，则甲速度为（x＋100）km/h，然后可得甲距离A为km，则可分①甲在D地左50km，②甲在D地右50km，最后列方程进行求解即可．
【详解】
解：（1）千米，千米，
千米，
D是A、C两地的中点，
千米；
（2）由（1）千米，
，
千米，
千米，


（3），
km，km，
由题甲、乙之间相距400km，4小时后甲追上乙，
1小时内甲比乙多行驶100km，
设乙速度为xkm/h，则甲速度为（x＋100）km/h，
由题知，甲返回行驶了1h，
甲距离A为km，
甲车距D地50km，
甲可能在D地左50km或右50km，
①甲在D地左50km，此时甲距离A为，
，
解得：，
②甲在D地右50km，此时甲距离A为，
，
解得：，
综上所述：乙车平均速度为50km/h或km/h．
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用及线段的和差关系，熟练掌握一元一次方程的应用及线段的和差关系是解题的关键．
12．（2021·石家庄市第二十八中学）已知A，B是数轴上两点，点A在原点左侧且距原点20个单位，点B在原点右侧且距原点100个单位．

（1）点A表示的数是：　 　；点B表示的数是：　 　．
（2）A，B两点间的距离是　 个单位，线段AB中点表示的数是　 　．
（3）现有一只电子蚂蚁P从点B出发以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发以4个单位/秒的速度向右运动．设两只电子蚂蚁在数轴上的点C处相遇，求点C表示的数．
【答案】（1）-20，100．（2）120，40；（3）28．
【分析】
（1）根据点的位置确定符号和值即可；
（2）用两个点表示的数相减即可，求出中点到A的距离，再求中点表示的数；
（3）求出相遇的时间，再求出C点与A的距离，即可求出C点表示的数．
【详解】
解：（1）∵点A在原点左侧且距原点20个单位，点B在原点右侧且距原点100个单位，
∴点A表示的数是：-20；点B表示的数是：100．
故答案为：-20，100．
（2）A，B两点间的距离是100-（-20）=120；
线段AB中点到A的距离是120÷2=60，
线段AB中点表示的数为-20+60=40；
故答案为：120，40；
（3）两只电子蚂蚁在数轴上相遇的时间为120÷（4+6）=12（秒）
点C距A的距离为12×4=48，
点C表示的数为-20+48=28．
【点睛】
本题考查了数轴上的动点问题，解题关键是理解数轴上点表示的数的意义，会求两点间的距离．
13．（2021·江苏七年级期末）如图1，线段AB＝20cm．
（1）点P沿线段AB自A点向B点以2cm/s的速度运动，同时点Q沿线段BA自B点向A点以3cm/s的速度运动，几秒后，P，Q两点相遇？
（2）如图2，AO＝PO＝2cm，∠POQ＝60°，现点P绕着点O以30°/s的速度顺时针旋转一周后停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，若点P，Q两点也能相遇，求点Q运动的速度．

【答案】（1）4秒；（2）8cm/s或cm/s
【分析】
（1）根据点P，Q的运动路程之和为20建立方程求解即可得出结论；
（2）要点P，Q相遇，只能点P运动到线段AB上，判断出点P旋转的角度，进而求出点P的运动时间，即可得出结论．
【详解】
解：（1）设t秒后，P，Q两点相遇，
根据题意知，（2+3）t＝20，
解得，t＝4秒，
答：4秒后，P，Q两点相遇．
（2）∵∠POQ＝60°，
∴点P绕着点O旋转60°或240°刚好在线段AB，
当点P绕着点O旋转60°时，点P和点Q相遇，
∴点P的旋转了60°÷30°＝2秒，
则（20﹣4）÷2＝8cm/s，
当点P绕着点O旋转240°时，点P和点Q相遇，
∴点P的旋转了240°÷30°＝8秒，
则20÷8＝cm/s，
即：点Q的速度为8cm/s或cm/s．
【点睛】
本题主要考查角的和差关系及一元一次方程的应用，熟练掌握角的和差关系及一元一次方程的应用是解题的关键．
14．（2021·陕西七年级期末）如图，已知线段，动点从出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，运动时间为秒（），点为的中点．

（1）当时，求线段的长度；
（2）当为何值时，点恰好是的中点？
（3）当为何值时，？
【答案】（1）当时，；（2）当；点P恰好是MB的中点；（3）或，．
【分析】
（1）如图：当t=3时，先求出AP,然后再求出AM,最后根据MB=AB-AM求解即可；
（2）先求出AM=MP=t，再说明，然后由即可求得t；
（3）分P在线段上和P在线段延长线上两种情况解答即可．
【详解】
解：（1）当时，.
∵点为的中点，

∴，
∴.
（2）∵点为的中点，
∴.
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴；
（3）当点在线段上时，，

，
∴，
解得.
当在线段的延长线上时，，

，
∴，
解得.
∴或．
【点睛】
本题属于直线上的动点问题，主要考查了中点的定义、线段的和差等知识点，正确画出图形并表示出相应线段的长以及掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．
15．（2021·福建七年级期末）（1）如图：若点C在线段AB上，线段AC＝10cm，BC＝6cm，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；
（2）若点C在线段BA的延长线上，点M，N分别是AC，BC的中点，设BC﹣AC＝a，请根据题意画出图形，并求MN的长度（用含a的式子表示）；
（3）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，CP：CQ＝1：2？

【答案】（1）线段MN的长度是8cm；（2）MN＝a，理由见解析；（3）当运动或时，CP：CQ＝1：2
【分析】
（1）根据题意结合图形得出MN＝（AC+BC），即可得出答案；
（2）直接根据题意画出图形，进而利用MN＝NC﹣MC＝求出即可；
（3）根据动点P、Q的运动方向和速度用含t的式子表示出CP和CQ，再列方程可得结论．
【详解】
解：（1）∵线段AC＝10cm，BC＝6cm，点M、N分别是AC、BC的中点，
∴，，
∴MN
＝（AC+BC）＝×16＝8（cm）；
答：线段MN的长度是8cm；
（2）如图：

MN＝a．理由如下：
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC＝AC，NC＝BC，
∵BC﹣AC＝a，
∴MN＝NC﹣MC＝BC﹣AC＝＝a．
（3）∵点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，
而AC＝10cm，BC＝6cm，CP：CQ＝1：2
∴ ，
可分为三种情况讨论：
当点C在点P右侧，点Q的左侧时，有 ，此时 ， ,
则 ，解得： ；
当点C在点P、Q的左侧时，有 ，此时，，
则，解得： ；
当点C在点P的左侧，Q的右侧时，有 ，此时，，
则，解得：，舍去，
综上所述，当运动 或 时，CP：CQ＝1：2．
【点睛】
本题考查线段的计算，中点的定义，利用两点之间的距离和中点的定义分情况讨论列出一元一次方程是解题的关键．
16．（2021·天津七年级期末）如图，直线l上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．
（1）则OA＝　　cm，OB＝　　cm；
（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点A、B重合），且满足AC＝CO+CB，求CO的长；
（3）若动点P从点A出发，动点Q从点B同时出发，都向右运动，点P的速度为2cm/s．点Q的速度为1cm/s，设运动时间为t（s）（其中t≥0）．
①若把直线l看作以O为原点，向右为正方向的一条数轴，则t（s）后，P点所到的点表示的数为　　；此时，Q点所到的点表示的数为　　．（用含t的代数式表示）
②求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）．

【答案】（1）8，4；（2）cm；（3）①﹣8+2t，4+t；②1.6或8．
【分析】
（1）由于AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB，则OA+OB＝3OB＝AB＝12cm，依此即可求解；
（2）根据图形可知，点C是线段AO上的一点，可设C点所表示的实数为x，分两种情况：①点C在线段OA上时；②点C在线段OB上时，根据AC＝CO+CB，列出方程求解即可；
（3）①根据路程＝速度×时间即可求解；
②分两种情况：0＜t＜4（P在O的左侧）；4≤t≤12（P在O的右侧）；进行讨论求解即可．
【详解】
解：（1）∵AB＝12cm，OA＝2OB，
∴OA+OB＝3OB＝AB＝12（cm），
解得OB＝4，
OA＝2OB＝8（cm）．
故答案为：8，4；
（2）设C点所表示的实数为x，
分两种情况：①点C在线段OA上时，
∵AC＝CO+CB，
∴8+x＝﹣x+4﹣x，
3x＝﹣4，
解得x＝﹣；
②点C在线段OB上时，
∵AC＝CO+CB，
∴8+x＝4，
解得x＝﹣4（不符合题意，舍）．
故CO的长是cm；
（3）①t（s）后，P点所到的点表示的数为﹣8+2t；此时，Q点所到的点表示的数为4+t．
故答案为：﹣8+2t，4+t；
②0＜t＜4（P在O的左侧），
OP＝0﹣（﹣8+2t）＝8﹣2t，OQ＝4+t，2OP﹣OQ＝4，则
2（8﹣2t）﹣（4+t）＝4，
解得t＝1.6；
4≤t≤12（P在O的右侧），
OP＝﹣8+2t﹣0＝﹣8+2t，OQ＝4+t，2OP﹣OQ＝4，则
2（2t﹣8）﹣（4+t）＝4，
解得t＝8．
综上所述，t＝1.6或8时，2OP﹣OQ＝4cm．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点的距离，数轴上点的表示，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．
17．（2021·辽宁七年级期末）如图，数轴上点A在原点左侧，点B在原点右侧，且，动点P､Q分别从A､B两点同时出发，都向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．设运动时间为t秒．


（1）若点A表示的数为，则点B表示的数为________，线段中点表示的数为___________；
（2）在（1）的条件下，若，求t的值；
（3）当点P在线段上运动时，若，请探究线段与线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）6；-3；（2）或13；（3）或，见解析
【分析】
（1）由点A表示的数为，AO＝2OB可知，可求出OB，AB长，从而得出结论；
（2）分两种情况：点P在原点的左侧和右侧时，OP表示的代数式不同，OQ＝6+t，分别代入2OP﹣OQ＝9列式即可求出t的值；
（3））设线段的长为b，则 ，分两种情况去绝对值，求出t的值，即可解决问题．
【详解】
（1）∵点A表示的数为，AO＝2OB，
∴AO＝12，OB＝6，
∴AB＝18，
∴线段中点表示的数为3．
故答案是：6；﹣3；
（2）当P､Q相遇时，（秒），
∴．当点P在上时，，
∵，
∴，，符合；
当点P在原点O右侧时，，
∵，，
，符合．
综上所述，若，t的值为或13.
（3）设线段的长为b，则．
∵点P在线段上运动，
∴．．
若，则，
∴，
∴，
解得．
∴，
又∵，
∴；
若，则，
∴，
∴，
解得．
∴．
∵．
∴．
综上所述，线段与线段之间的数量关系为或．
【点睛】
本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．
18．（2021·安徽七年级期末）如图，点在数轴上分别表示有理数，且满足．

（1）点表示的数是___________，点表示的数是____________．
（2）若动点从点出发以每秒3个单位长度向右运动，动点从点出发以每秒1个单位长度向点运动，到达点即停止运动两点同时出发，且点停止运动时，也随之停止运动，求经过多少秒时，第一次相距3个单位长度？
（3）在（2）的条件下整个运动过程中，设运动时间为秒，若的中点为的中点为，当为何值时，？
【答案】（1）﹣2，5；（2）1秒；（3）1秒或秒．
【分析】
（1）由非负数的性质得a+2＝0，且b﹣5＝0，得出a＝﹣2，b＝5；
（2）求出AB＝7，设经过x秒时，P、Q第一次相距3个单位长度，则AP＝3x，BQ＝x，可列方程 7﹣3x﹣x＝3，解方程即可；
（3）由题意得t秒后，AP＝3t，BQ＝t，由中点的定义得AM＝AP＝t，BN＝BQ＝t，对P、M、B三点的位置分类讨论，用含t的式子表示BM、PB、AN长，由题意得出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）∵满足，
∴a+2＝0， b﹣5＝0，
∴a＝﹣2，b＝5，
即点A所对应的数是﹣2，点B所对应的数是5；
故答案为：﹣2，5；
（2）AB＝5﹣（﹣2）＝7，
设经过x秒时，P、Q第一次相距3个单位长度，
则AP＝3x，BQ＝x，PQ＝AB﹣AP﹣BQ，
列方程得，7﹣3x﹣x＝3，
解得：x＝1，
答：经过1秒时，P、Q第一次相距3个单位长度；
（3）由题意得：t秒后，AP＝3t，BQ＝t，
∵AP的中点为M，BQ的中点为N，
∴AM＝AP＝t，BN＝BQ＝t，
如图1，当点P、M都在点B的左侧时，

BM＝AB﹣AM＝7﹣t，PB＝AB﹣AP＝7﹣3t，AN＝AB﹣BN＝7﹣t，
∵BM+AN＝3PB，
∴7﹣t +7﹣t＝3（7﹣3t），
解得：t＝1；
如图2，当点M在点B的左侧，点P在点B的右侧时，

BM＝AB﹣AM＝7﹣t，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣t，
∵BM+AN＝3PB，
∴7﹣t +7﹣t＝3（3t﹣7），
解得：t＝；
③如图3，当点P、M都在点B的右侧时，

BM＝AM﹣AB＝t﹣7，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣t，
∵BM+AN＝3PB，
∴t﹣7+7﹣t＝3（3t﹣7），
解得：t＝（舍去）；
综上所述，当t为1秒或秒时，BM+AN＝3PB．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用、数轴、两点的距离、非负数的性质以及分类讨论等知识；关键是数形结合，正确列出一元一次方程．
19．（2021·陕西）如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为．

（1）______．
（2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长．
（3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长．
【答案】（1）12；（2）4cm；（3）或
【分析】
（1）由两点间的距离，即可求解；
（2）由线段的和差关系可求解；
（3）由题设画出图示，分两种情况根据：当点在线段上时，由AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，从而求得PQ与AB的关系，当点在的延长线上时，可得．
【详解】
解：（1）∵A、B两点对应的数分别为-5，7，
∴线段AB的长度为：7-（-5）=12；
故答案为：12
（2）根据点，的运动速度知．
因为，所以，即，
所以．
（3）分两种情况：
如图，当点在线段上时，

因为，所以．
又因为，
所以，所以；
如图，当点在的延长线上时，
，
综上所述，的长为或．
【点睛】
本题考查了数轴的运用和绝对值的运用，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
20．（2021·浙江七年级期末）数轴上有，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”.例如数轴上点，，所表示的数分别为1, 3，4，此时点是点，的“关联点”.

（1）若点表示数-2，点表示数1，下列各数-1, 2, 4, 6所对应的点分别是,，，，其中是点，的“关联点”的是
（2）点表示数-10，点表示数15，为数轴上一个动点：
①若点在点的左侧，且点是点，的“关联点”，求此时点表示的数；
②若点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点表示的数.
【答案】（1）C1或；（2）①-35或或；②40、、65．
【分析】
（1）根据题意由两个点的“关联点”的定义，求得CA与BC的关系，得到答案；
（2）①由题意设点P表示的数为x，根据PA，PB成2倍关系列方程求解；
②分当P为A、B关联点、A为P、B关联点、B为A、P关联点、B为P、A关联点四种可能列方程解答．
【详解】
解：（1）C1A=1，C1B=2，C1B=2C1A，故C1符合题意；
C2A=4，C2B=1，故C2不符合题意；
C3A=6，C3B=3，C3A=2C3B，故C3符合题意；
C4A=8，C4B=5，故C4不符合题意.
故答案为：C1或．
（2）①设点P表示的数为x，
当P点在点A左侧时，有PB=2PA，则 15-x=2（-10-x），解得 x=-35．所以点P表示的数为-35；
当P点在AB之间时，分别有PB=2PA和PA=2PB，列方程分别解得P点表示的数为和；
综上所述，当点P在点B的左侧时，点P表示的数为-35或或.
②点在点的右侧时，分三种情况：
当P为A、B关联点时，设点P表示的数为x，
∵PA=2PB，
∴x+10=2（x-15），
解得x=40，
即此时点P表示的数40；
当B为A、P关联点时：设点P表示的数为x，
∵AB=2PB，
∴25=2（x-15），
解得x=，
即此时点P表示的数；
当B为P、A关联点时：设点P表示的数为x，
∵PB=2AB，
∴x-15=50，
解得x=65，
即此时点P表示的数65，
故答案为：40、、65．
【点睛】
本题考查线段上的动点问题，设动点为x，根据题意建立方程进行求解即可，注意分类讨论.