专题04 勾股定理中的实际应用问题-【重难点突破】2022-2023学年八年级数学上册常考题专练（北师大版）

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1．如图，一棵树从处折断了，树顶端离树底端距离，那么这棵树原来的高度是
A．B．C．D．
【解答】解：米，米，，
折断的部分长为，
折断前高度为（米．
故选：．
2．如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部，由此可计算出学校旗杆的高度是
A．B．C．D．
【解答】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，
根据勾股定理可得：，
解得，．
即旗杆的高度为12米．
故选：．
3．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？
A．一定不会B．可能会
C．一定会D．以上答案都不对
【解答】解：
因为房屋是有高度的（并且题中未说明房屋到底多高），大树倒下部分，以为半径，绕点做圆弧形的运动，，10大于9，当房屋超过一定高度的时候，就一定会被砸到，故、、都是错误的．
故选：．
4．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子丈尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为 4.55尺 ．
【解答】解：设折断后的竹子高为尺，则长为尺，根据勾股定理得：
，
即：，
解得：，
故答案为：4.55尺．
题型二 梯子滑落问题
5．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也下滑，则梯子的长度为
A．B．C．D．
【解答】解：设，
由题意得：，，，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：，
，
解得：，
，
即梯子的长为，
故选：．
6．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果将梯子的底端外移，顶端沿着墙壁也下滑吗？
【解答】解：依题意，得，，
在中，根据勾股定理，可得：，
在中，根据勾股定理，可得：，
顶端沿着墙壁下滑了，
答：顶端沿着墙壁没有下滑．
7．如图，一个梯子长25米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角距离为15米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为5米，请回答：
（1）梯子滑动后，梯子的高度是多少米？
（2）梯子顶端下落的长度有多少米？
【解答】解：（1）在中，
米，米，
（米，
在中，
米，（米，
（米，
答：梯子滑动后，梯子的高度是15米；
（2）由（1）知，米，米，
则（米．
答：梯子顶端下落的长度有5米．
8．如图，一架长为5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，梯子底端距离墙有3米．
（1）求梯子顶端与地面的距离的长．
（2）若梯子顶点下滑1米到点，求梯子的底端向右滑到的距离．
【解答】解：（1）米；
（2）米，米．
9．如图，长的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙的底端．
（1）求梯子的顶端到地面的距离；
（2）由于地面有水，梯子底部向右滑动，则梯子顶端向下滑多少米？
【解答】解：（1）如图，在中，，
，，
，
答：梯子的顶端到地面的距离为；
（2）如图，，
，
，
，
答：梯子顶端向下滑1.5米．
题型三 台风问题
10．在某台风登陆期间，市接到台风警报时，在该市正南方向的点处台风中心正以的速度沿方向移动，已知城市到的距离．
（1）台风中心经过多长时间从点移动到点？
（2）如果在距台风中心的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让处于点的人脱离危险．人必须在接到台风警报后的几时内撤离（撤离速度为？
【解答】解：（1）在直角三角形中，根据勾股定理，得．
时；
所以台风中心经过6小时从点移动到点．
（2）根据题意得：游人最好选择沿所在的方向撤离．撤离的时间．
又台风到点的时间是6小时．
即游人必须在接到台风警报后的1小时内撤离．
11．如图，在点正北方的处有一信号接收器，点在点的北偏东的方向，一电子狗从点向点的方向以的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收器接收信号的有效范围为．
（1）求出点到线段的最小距离；
（2）请判断点处是否能接收到信号，并说明理由．若能接收信号，求出可接收信号的时间．
【解答】解：（1）作于．
在中，，，
，
答：点到线段的最小距离为．
（2），
点处能接收到信号．
当时，，
当时，，
，
可接收信号的时间．
答：可接收信号的时间．
12．2020年春季“新冠肺炎”在武汉全面爆发，蔓延全国，危及到人民生命安全，为了积极响应国家防控政策，双流区某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传防控措施，如图，笔直公路的一侧点处有一村庄，村庄到公路的距离为600米，假设宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上沿方向行驶时：
（1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由；
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是200米分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
【解答】解：（1）村庄能听到宣传，
理由：村庄到公路的距离为600米米，
村庄能听到宣传；
（2）如图：假设当宣讲车行驶到点开始影响村庄，行驶点结束对村庄的影响，
则米，米，
（米，
米，
影响村庄的时间为：（分钟），
村庄总共能听到8分钟的宣传．
13．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．
（1）海港受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？
【解答】解：（1）海港受台风影响．
理由：如图，过点作于，
，，，
．
是直角三角形．
以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
海港受到台风影响．
（2）当，时，正好影响港口，
，
台风的速度为，
（小时）
即台风影响该海港持续的时间为5.6小时．
14．台风是一种自然灾害， 它以台风中心为圆心， 在周围数十千米范围内形气旋风暴， 有极强的破坏力， 此时某台风中心在海域处， 在沿海城市的正南方向 240 千米， 其中心风力为 12 级， 每远离台风中心 25 千米， 台风就会减弱一级， 如图所示， 该台风中心正以 20 千米时的速度沿方向移动 ． 已知且，且台风中心的风力不变， 若城市所受风力达到或超过 4 级， 则称受台风影响 ． 试问：
（1）城市是否会受到台风影响？请说明理由 ．
（2） 若会受到台风影响， 那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3） 该城市受到台风影响的最大风力为几级？
【解答】解：（1） 该城市会受到这次台风的影响 ．
理由是： 如图， 在中，
，千米，
千米，
城市受到的风力达到或超过四级， 则称受台风影响，
受台风影响范围的半径为千米 ．
，
该城市会受到这次台风的影响 ．
（2） 如图以为圆心， 200 为半径作交于、．
则．
台风影响该市持续的路程为：．
台风影响该市的持续时间（小 时） ．
（3）距台风中心最近，
该城市受到这次台风最大风力为：（级．
题型四 “玄图”的应用
15．在数学实践活动中，伍伍利用四个全等的直角三角形纸片拼成了一个“伍伍弦图”．如图，连接小正方形的一条对角线，并把部分区域涂上颜色，大直角三角形的两条直角边的长分别是6和8．则图中阴影部分的面积是
A．36B．64C．100D．50
【解答】解：由题知，阴影部分的面积刚好为大正方形面积的一半，
大正方形的边长为大直角三角形的斜边，
阴影部分的面积，
故选：．
16．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，则斜边的长是
A．B．C．D．
【解答】解：设，则，
，
，
，
，
，
，
故选：．
17．勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周牌算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长均为1的小正方形和构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．将图1按图2所示“嵌入”长方形，则该长方形的面积为
A．120B．110C．100D．90
【解答】解：延长交于点，延长交于点，如图所示：
则四边形是矩形．
，
，
又中，，
，
在和中，
，
，
，
同理：，
，
，
矩形是正方形，边长，
，，
长方形的面积为．
故选：．
18．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用、分别表示直角三角形的两直角边长，则下列四个说法：①：②；③；④．其中正确的是
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【解答】解：①为直角三角形，
根据勾股定理：，
故本选项正确；
②由图可知，，
故本选项正确；
③由可得，
故本选项正确；
④，
整理得，，
，
故本选项错误；
正确结论有①②③．
故选：．
题型五 其它问题
19．如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿 北偏东 方向航行．
【解答】解：由题意可知：，，，
，
是直角三角形，
，
由题意知，
，
即乙船沿北偏东方向航行，
故答案为：北偏东．
20．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路旁选取一点，在公路上确定点、，使得，米，．这时，一辆轿车在公路上由向匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为3秒，并测得．求的距离和此车的速度．（参考数据，
【解答】解：，，
是等腰直角三角形，
米，
，
（米，
米，
（米秒），
答：的距离为73米，此车的速度约为24米秒．
21．如图，一条笔直的公路经过树湘纪念馆和何宝珍故里两个红色文化景区，我县准备进一步开发月岩景区，经测量景区位于的北偏东方向上，位于的北偏东的方向上，且，
（1）求何宝珍故里与月岩景区的距离；
（2）为了方便游客到月岩景区游玩，景区管委会准备由景区向公路修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）
【解答】解：（1）根据题意得：，，
，
，
．
答：何宝珍故里到月岩景区的距离为；
（2）过点作，垂足为，则的长是这条最短公路的长．
，
，
，
，
在中，，，，
，
．
答：这条最短公路的长为．
22．《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是 12 尺．
【解答】解：依题意画出图形，
设芦苇长尺，
则水深尺，
尺，
尺，
在△中，
，
解得，
即芦苇长13尺，水深为12尺，
故答案为：12．
23．如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点处绕着点经过最低点．最终荡到最高点处，若，点与点的高度差米，水平距离米，则点与点的高度差为 4.5 米．
【解答】解：作于，于，
，
，
，
在与中，
，
，
米，
设米，
在中，，即，
解得．
则（米．
故答案为：4.5．
24．如图，铁路上、两点相距，、为两村庄，于，于，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得、两村到站的距离相等，则：
（1）站应建在距站多少千米处？
（2）和垂直吗？说明理由．
【解答】解：（1）使得，两村到站的距离相等．
，
于，于，
，
，，
，
设，则，
，，
，
解得：，
．
．
（2）和垂直，理由如下：
在与中，
，
，
，，
，
，
，
即．
25．如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽为，在入口的一侧安装了停止杆，其中为支架．当停止杆仰起并与地面成角时，停止杆的端点恰好与地面接触．此时为．在此状态下，若一辆货车高，宽，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过计算说明．（参考数据：
【解答】解：不能通过．
如图，在之间找一点，使，过点作交于点，
，，，
，
，
，
，
这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口内通过．
26．如图，，，，一机器人在点处看见一个小球从点出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程是 13 ．
【解答】解：设，则，，
由勾股定理得，，
即，
解得．
答：机器人行走的路程是．
故答案为：13