专题01 勾股定理的基本应用-【重难点突破】2022-2023学年八年级数学上册常考题专练（北师大版）

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题型一 求线段长
1．如图，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC中BC边上的高是（ ）
A．1.6B．1.4C．1.5D．2
第一题第二题
2．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49，②x﹣y＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9．其中说法正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
3．如图，在△ABC中，CE是AB边上的中线，CD⊥AB于D，且AB＝5，BC＝4，AC＝6，则DE的长 ．

第三题第五题
4．直角三角形两直角边的和为17，斜边长为13，则这个直角三角形的面积为 ，斜边上的高为 ．
5．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在△ABC中，BC＝2，∠C＝45°，若D是AC的三等分点（AD＞CD），且AB＝BD，则AB的长为（ ）
A．2B．C．D．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，则AB边上的高CD的长为（ ）
A．4B．C．3D．10
8．在△ABC中，AB＝25，AC＝26，BC边上的高AD＝24，则△ABC的周长为 ．
9．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝，以BC为斜边作等腰Rt△BCD，连接AD，则线段AD的长为 ．
10．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求CD的长．
（2）求AB的长．
11．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AB＝BC．
（1）当AD＝7，CD＝5时，求BC的长；
（2）当AD＝，BC＝时，求BD的长．
12．已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC＝8m，BC＝6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长．
（1）在图1中，当AB＝AD＝10m时，△ABD的周长为 ；
（2）在图2中，当BA＝BD＝10m时，△ABD的周长为 ；
（3）在图3中，当DA＝DB时，求△ABD的周长．
题型二 求面积
13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝4，S3＝16，则S2＝（ ）
A．20B．12C．2D．2
14．观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，a＞b，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（ ）
A．a（a﹣b）＝a2﹣abB．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
15．在直线l上依次摆放着五个正方形（如图所示）．已知斜放置的两个正方形的面积分别是2、3，正放置的三个正方形的面积依次是S1、S2、S3，则S1+2S2+S3＝ ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，△PAB中AB边上的高等于AB的长度，△QBC中BC边上的高等于BC的长度，△HAC中AC边上的高等于AC的长度，且△PAB，△QBC的面积分别是10和8，则△ACH的面积是（ ）
A．2B．4C．6D．9
17．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）
A．16B．25C．144D．169
18．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm，则图中所有正方形的面积的和是（ ）
A．64cm2B．81cm2C．128cm2D．192cm2
19．如图所示的是一种“羊头”形图案，全部由正方形与等腰直角三角形构成，其作法是从正方形①开始，以它的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，再分别以正方形②和②的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，…，若正方形⑤的面积为2cm2，则正方形①的面积为（ ）
A．8cm2B．16cm2C．32cm2D．64ccm2
20．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝2，CD＝4，DA＝2，且∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．4B．1+2C．2+4D．1+
21．已知Rt△ABC中，∠C＝90°．若a+b＝14cm，c＝12cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A．13cm2B．26cm2C．48cm2D．52cm2
22．规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题.；（S1是△OA1A2的面积）；
；（S2是△OA2A3的面积）；
；（S3是△OA3A4的面积）；
…
（1）请用含有n（n为正整数）的等式Sn＝ ；
（2）推算出OA10＝ ；
（3）求出的值．
题型三 利用勾股定理证明平方关系
23．已知长方形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图①所示）时，易证得结论：PA2﹣PB2＝AB2，PD2﹣PC2＝DC2，而AB＝CD，则，请你探究：当点P分别运动到图②、图③中的位置时，又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图②证明你的结论．
答：对图②的探究结论为 ．对图③的探究结论为 ．
证明：如图②：
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，P为BC上任意一点，请用学过的知识说明：AB2﹣AP2＝PB•PC．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC上任意一点，连接AP．
（1）若P为BC上的中点，求证：AB2﹣AP2＝PB•PC；
（2）若P为线段BC上的任意一点，猜想AB、AP、PB、PC之间的数量关系，说明理由；
（3）若P为BC延长线上的任意一点，试说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系．