专题04 实数综合经典解答题（六大题型）-2023-2024学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

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专题04 实数综合经典解答题（六大题型）
重难点题型归纳
【题型1 根据平方根性质求参数】
【题型2 算术平方根和算术平方根的综合运算】
【题型3 实数实际应用】
【题型4 实数的化简求值】
【题型5 二次根式的化简求值】
【题型6 二次根式规律题综合应用】

【题型1 根据平方根性质求参数】
1．（2023春•庄浪县校级期中）若一个正数的平方根分别为3a+1和4﹣2a，求这个正数．
【解答】解：3a+1+4﹣2a＝0，
解得a＝﹣5，
3a+1＝3×（﹣5）+1＝﹣14，
则这个正数为（﹣14）2＝196．
2．（2023春•张湾区期中）已知2a﹣1的平方根是±3，2a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b的平方根．
【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3，
∴2a﹣1＝（±3）2＝9，
∴a＝5．
∵2a+b﹣1的平方根是±4，
∴2a+b﹣1＝（±4）2＝16，
则2×5+b﹣1＝16，
解得b＝7．
∴a+2b＝19，
∵19的平方根为，
∴a+2b的平方根为．
3．（2023春•哈巴河县期中）已知一个正数的两个平方根分别为2a﹣1和﹣a+2，求这个正数．
【解答】解：由一个正数的两个平方根分别为2a﹣1和﹣a+2，得
2a﹣1+（﹣a+2）＝0．解得a＝﹣1，
乘方，得（﹣a+2）2＝（1+2）2＝9．
4．（2023春•富川县期中）已知一个正数的平方根分别是（a﹣6）和（3a﹣2），求这个正数．
【解答】解：∵一个正数的平方根分别是（a﹣6）和（3a﹣2），
∴a﹣6+3a﹣2＝0，
∴a＝2，
∴a﹣6
＝2﹣6
＝﹣4，
∴这个正数是（﹣4）2＝16．
5．（2023春•普兰店区期中）一个正数x的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，求a的值和这个正数x的值．
【解答】解：∵正数x有两个平方根，分别是﹣a+2与2a﹣1，
∴﹣a+2+2a﹣1＝0
解得a＝﹣1．
所以x＝（﹣a+2）2＝（1+2）2＝9．
6．（2022春•鼓楼区期中）一个正数b的两个平方根分别是a﹣2与1﹣2a．
（1）求ab的值；
（2）求关于x的方程2ax2+5＝﹣3的解．
【解答】解：∵一个正数b的两个平方根分别是a﹣2与1﹣2a，
∴a﹣2+1﹣2a＝0，
解得a＝﹣1，
当a＝﹣1时，a﹣2＝﹣3，
∴b＝9，
∴ab＝﹣9，
答：ab的值为﹣9；
（2）当a＝﹣1时，原方程可变为﹣2x2+5＝﹣3，
即x2＝4，
∴x＝＝±2，
答：关于x的方程2ax2+5＝﹣3的解为x＝±2．
7．（2022春•宁晋县期末）一个正数x的两个平方根是2a﹣3与5﹣a，求x的值．
【解答】解：∵一个正数x的两个平方根是2a﹣3与5﹣a，
∴2a﹣3+5﹣a＝0，
解得a＝﹣2，
∴2a﹣3＝2×（﹣2）﹣3＝﹣7，
∴x＝（﹣7）2＝49．
【题型2 算术平方根和算术平方根的综合运算】
8．（2023春•凉州区期中）已知a的平方根为±3，ab的算术平方根为2．
（1）求a，b的值；
（2）求a+2b的平方根．
【解答】解：（1）∵a的平方根为±3，ab的算术平方根为2，
∴a＝9，ab＝4，
∴b＝；

（2）∵a＝9，b＝，
∴a+2b＝9+2×＝9+＝，
∴a+2b的平方根为：±＝±．
9．（2023春•建阳区期中）已知a的平方根为±3，a+b的算术平方根为2，求a﹣b的平方根．
【解答】解：∵a的平方根为±3，
∴a＝9，
∵a+b的算术平方根为2，
∴a+b＝4，
∴b＝﹣5；
当a＝9，b＝﹣5时，a﹣b＝14，
∴a﹣b的平方根为．
【题型3 实数实际应用】
10．（2023春•庆云县期中）如图，用两个边长为cm的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形．
（1）大正方形的边长是 　4　cm；（写出解答过程）
（2）若将此大正方形纸片的局部剪掉，能否剩下一个长宽之比为3：2且面积为12cm2的长方形纸片，若能，求出剩下的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．

【解答】解：（1）两个正方形面积之和为：2×（）2＝16（cm2），
∴拼成的大正方形的面积是16cm2，
∴大正方形的边长是4cm；
故答案为：4；
（2）设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm，
则3x•2x＝12，
解得：x＝，
3x＝3＞4，
所以不能使剩下的长方形纸片的长宽之比为3：2，且面积为12cm2．
11．（2023春•孝义市期中）母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为225cm2的正方形贺卡，小宇自制了一个长宽之比为3：2，面积为420cm2的长方形信封．小旭自制的贺卡能放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断（贺卡不可折叠和弯曲）．

【解答】解：能．
∵小旭正方形贺卡的面积为225cm2
∴正方形的边长为cm
设小宇的长方形信封的长为3acm，宽为2acm，
依题得3a•2a＝420，
∴6a2＝420，
∴a2＝70
∵a＞0，
∴a＝，
2a＝2，
∵cm＞15cm
∴能将这张贺卡不折叠地放入此信封中．
12．（2023春•海珠区期中）如图，有一个面积为400cm2的正方形．
（1）正方形的边长是多少？
（2）若沿此正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为360cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长与宽；若不能，试说明．

【解答】解：（1）∵正方形的面积为400cm2，
∴正方形的边长是＝20（cm）；
（2）设长方形纸片的长为5xcm，宽为4xcm，
则5x•4x＝360，
解得：x＝3，
则5x＝15＞20，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为360cm2．
13．（2023春•焦作期末）小梅用两张同样大小的长方形硬纸片拼接成一个面积为900cm2的正方形，如图所示，按要求完成下列各小题．
（1）求长方形硬纸片的宽；
（2）小梅想用该正方形硬纸片制作一个体积512cm3的正方体的无盖笔筒，请你判断该硬纸片是否够用？若够用，求剩余的硬纸片的面积；若不够用，求缺少的硬纸片的面积．

【解答】解：（1）设长方形的长为xcm，宽为ycm，
∴x＝2y，且x2＝900
∴x＝30，
∴y＝15，
（2）该正方体的棱长为：＝8cm，
共需要5个边长为8cm的面，总面积为：5×82＝320，
∴剩余的纸片面积为：900﹣320＝580cm2，
14．（2023春•东莞市校级期中）列方程解答下面问题．
小丽手中有块长方形的硬纸片，其中长BC比宽AB多10cm，长方形的周长是100cm．
（1）求长方形的长和宽；
（2）现小丽想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为5：4，面积为520cm2的新纸片作为他用．试判断小丽能否成功，并说明理由．

【解答】解：（1）设AB＝xcm，则BC＝（10+x）cm，
依题意有：2[x+（10+x）]＝100，
∴x＝20，
答：长方形的长为30cm，宽为20cm．
（2）设新长方形的长为5acm，宽为4acm，
则5a×4a＝520，
∴，
即新长方形的长为cm，宽为cm，
∵26＞25，
∴＞5即＞20，
故小丽不能成功．
答：小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片．
15．（2022秋•裕华区期末）某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来400m2的正方形场地改建成315m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3．
（1）求原来正方形场地的周长；
（2）如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由．
【解答】解：（1）＝20（m），4×20＝80（m），
答：原来正方形场地的周长为80m．
（2）设这个长方形场地宽为3am，则长为5am．
由题意有：3a×5a＝315，
解得：a＝，
∵3a表示长度，
∴a＞0，
∴a＝，
∴这个长方形场地的周长为 2（3a+5a）＝16a＝16（m），
∵80＝16×5＝16×＞16，
∴这些铁栅栏够用．
答：这些铁栅栏够用．
16．（2022秋•禅城区校级期中）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为16cm2的大正方形纸片如图（2）．

（1）原小正方形的边长为 　2　cm；
（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽之比为2：1，且面积为12cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．
（3）如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）∴小正方形的面积是大正方形面积的一半，
∴小正方形的面积为16÷2＝8（cm2），
设小正方形的边长为a，
则a2＝8，
∴a＝±（舍去负值），
∴a＝2．
∴小正方形的边长为cm，
故答案为：2．
（2）不能剪出符合要求的长方形纸片，理由如下：
设剪出来的长方形长为2xcm，宽为xcm，
依题意得2x•x＝12，
∴x＝或x＝﹣（舍去），
∴长为2＞4，
∴不能剪出符合要求的长方形纸片；
（3）∵一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为，
画出示意图如图，


【题型4 实数的化简求值】
17．（2023春•东城区期末）计算：（﹣1）2﹣+﹣（﹣7）．
【解答】解：（﹣1）2﹣+﹣（﹣7）．
＝1﹣3+4+7
＝9．
27．（2023春•瓦房店市期末）计算：．
【解答】解：
＝2+2﹣﹣3
＝1﹣．
18．（2023春•临潼区期末）计算：|﹣3|+×（﹣1）﹣．
【解答】解：|﹣3|+×（﹣1）﹣
＝3+﹣1×﹣2
＝3+2﹣﹣2
＝3﹣．
19．（2023•茅箭区一模）计算：．
【解答】解：
＝﹣1+3+1﹣（2﹣）
＝﹣1+3+1﹣2+
＝4﹣2．
20．（2023春•金安区校级期末）计算：．
【解答】解：原式＝
＝．
21．（2023春•盘龙区期末）计算：．
【解答】解：原式＝2﹣5+2﹣+
＝﹣1．
22．（2023春•长沙期末）计算：．
【解答】解：
＝﹣1﹣4+3﹣﹣（﹣2）
＝﹣1﹣4+3﹣+2
＝﹣．
23．（2023春•淮滨县期末）计算：．
【解答】解：原式＝2+3﹣2+2﹣﹣1
＝+2．
24．（2023春•北京期末）计算：++|1﹣|﹣．
【解答】解：原式＝7﹣3+﹣1﹣
＝3．
25．（2023春•东莞市期中）计算：．
【解答】解：原式＝2+（﹣4）﹣3﹣+1
＝﹣4﹣．
26．（2023春•南陵县期末）计算：．
【解答】解：
＝
＝
＝．
27．（2023春•泸县校级期末）计算：．
【解答】解：原式＝﹣1+4﹣4×3
＝﹣1+4﹣12
＝﹣9
【题型5 二次根式的化简求值】
28．（2023春•大观区校级期末）已知，，求下列代数式的值．
（1）a2+b2+2ab；
（2）a2﹣b2．
【解答】解：（1）∵a＝+2，b＝﹣2，
∴a+b＝（+2）+（﹣2）＝2，
∴a2+b2+2ab
＝（a+b）2
＝（2）2
＝28；
（2）∵a＝+2，b＝﹣2，
∴a﹣b＝（+2）﹣（﹣2）＝4，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×4＝8．
29．（2023春•米东区期末）已知，求下列各式的值．
（1）x2+xy+y2；
（2）x2﹣y2．
【解答】解：∵，
∴x+y＝，x﹣y＝2，xy＝1，
∴（1）x2+xy+y2
＝（x+y）2﹣xy
＝（2）2﹣1
＝8﹣1
＝7；
（2）x2﹣y2
＝（x﹣y）（x+y）
＝2×2
＝4．
30．（2022秋•祁阳县期末）已知，，分别求下列代数式的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2﹣2ab+b2．
【解答】解：（1）∵a＝3+2，b＝3﹣2，
∴a+b＝（3+2）+（3﹣2）＝6，a﹣b＝（3+2）﹣（3﹣2）＝4，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×4＝24；
（2）a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝（4）2＝32．
31．（2023春•乌鲁木齐期末）已知a＝+2，b＝﹣2，求下列代数式的值：（1）a2b+b2a；（2）a2﹣b2．
【解答】解：∵a+b＝+2+﹣2＝2，
a﹣b＝+2﹣+2＝4，
ab＝（+2）（﹣2）
＝（）2﹣22
＝3．
（1）a2b+b2a
＝ab（a+b）
＝3×2
＝6；
（2）a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝2×4
＝8．
32．（2023春•水磨沟区期末）已知：a＝+2，b＝﹣2．
（1）求ab．
（2）求a2+b2﹣ab．
【解答】解：（1）ab＝（+2）（﹣2）＝（）2﹣22＝5﹣4＝1；
（2）∵a＝+2，b＝﹣2，
∴a+b＝（+2）+（﹣2）＝2，
∴a2+b2﹣ab
＝a2+2ab+b2﹣3ab
＝（a+b）2﹣3ab
＝（2）2﹣3×1
＝17．
33．（2023春•东莞市校级期中）已知a＝+1，b＝﹣1，求下列各式的值：
（1）a2+2ab+b2；
（2）a2﹣b2．
【解答】解：（1）a2+2ab+b2
＝（a+b）2
＝（+1+﹣1）2
＝12；
（2）a2﹣b2．
＝（a+b）（a﹣b）
＝（+1+﹣1）[（+1）﹣（﹣1）]
＝2×2
＝4．
34．（2023春•广信区期中）若a＝，b＝，求下列代数式的值．
（1）a2b+ab2；
（2）a2﹣ab+b2．
【解答】解：∵a＝，b＝，
∴ab＝（）（）＝4，
a+b＝（）+（）＝2，
（1）a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝4×2
＝8；
（2）a2﹣ab+b2
＝（a+b）2﹣3ab
＝（2）2﹣12
＝20﹣12
＝8．
35．（2023春•公安县期中）已知，，，求下列格式的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2b﹣ab2．
【解答】解：（1）∵，
∴a+b＝4，a﹣b＝2，
∴a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝
＝；
（2））∵，
∴a﹣b＝2，ab＝10，
a2b﹣ab2
＝ab（a﹣b）
＝10×2
＝20．
【题型6 二次根式规律题综合应用】
36．（2023春•呈贡区期末）阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
例如：，．
解答下列问题：
（1）的有理化因式是 　　，的有理化因式是 　　
（2）观察下面的变形规律，请你猜想：＝　　．
，，…
（3）利用上面的方法，请化简：
．
【解答】解：（1）的有理化因式是，的有理化因式是，
故答案为：；；
（2）∵，，，…，
∴＝，
故答案为：；
（3）
＝+…+
＝．
37．（2023•蜀山区校级一模）观察下列等式：
①；
②；
③；
…
（1）写出④x4＝　　；
（2）猜想：xn＝　　；
（3）由以上规律，计算x1+x2+x3+……+x2022﹣2023的值．
【解答】解：（1）观察可知：
x4＝．
故答案为：．
（2）观察等式规律可得：
xn＝＝＝1+．
故答案为：＝＝1+．
（3）由（2）可得xn＝1+＝1+，
x1+x2+x3+…+x2022﹣2023
＝（1+﹣）+（1+﹣）+（1+﹣）+…+（1+﹣）+（1+﹣）﹣2023
＝（1+1+…+1+1）+（﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）﹣2023
＝2022+1﹣﹣2023
＝﹣．
39．（2023春•麻章区期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：

OA1＝1；；；；；；；
（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：＝　n　，Sn＝　　．
（2）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？
（3）求出的值．
【解答】解：（1）因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：
OA1＝，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，
所以OAn2＝n．Sn＝•1•＝，
故答案为：n，；
（2）当Sn＝2时，有：2＝，
解之得：n＝32，
即：说明它是第32个三角形；
（3）+++…+
＝++…+
＝
＝11.25．
即：+++…+的值为11.25．
40．（2023春•百色期末）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1：﹣1，
例2：＝，，，…
（1）＝　　，＝　　；
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；
（3）利用上面的结论，求下列式子的值．
．
【解答】解：（1）＝；＝

（2）

（3）
＝，
＝
＝10﹣1
＝9．
41．（2022秋•平度市期末）观察下列一组等式，然后解答问题：
，
，
，
……
（1）观察以上规律，请写出第n个等式：　　（n为正整数）；
（2）利用上面的规律，计算：；
（3）请利用上面的规律，比较与的大小．
【解答】解：（1）由题可得，第n个等式为：（）（）＝1．
故答案为：（）（）＝1；
（2）
＝++…+
＝﹣1+﹣+……+﹣
＝﹣1+；
（3）由题可得，＝，＝．
∵＞，
∴＜，
∴＜．