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    专题03 勾股定理中的翻折和旋转问题-【重难点突破】2022-2023学年八年级数学上册常考题专练(北师大版)

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    专题03 勾股定理中的翻折和旋转问题-【重难点突破】2022-2023学年八年级数学上册常考题专练(北师大版)

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    这是一份专题03 勾股定理中的翻折和旋转问题-【重难点突破】2022-2023学年八年级数学上册常考题专练(北师大版),文件包含专题03勾股定理中的翻折和旋转问题解析版-重难点突破2022-2023学年八年级数学上册常考题专练北师大版docx、专题03勾股定理中的翻折和旋转问题原卷版-重难点突破2022-2023学年八年级数学上册常考题专练北师大版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共34页, 欢迎下载使用。

    A.1B.C.D.2
    【解答】解:由已知可得,△,
    ,,,
    在△中,可得,.
    则.
    故选:.
    2.如图,矩形中,,,将矩形沿折叠,点落在点处,则重叠部分的面积为 10 .
    【解答】解:易证,

    设,则,
    在中,,
    解之得:,


    故答案为:10.
    3.如图将矩形沿直线折叠,顶点恰好落在边上处,已知,,则 6 .
    【解答】解:由折叠的性质知:,;
    在中,,,由勾股定理可得:,
    若设,则,;
    在中,由勾股定理可得:
    ,解得,
    故.
    故答案为:6.
    4.如图所示,有一块直角三角形纸片,两直角边,,将直角边折叠使它落在斜边上,折痕为,则 3 .
    【解答】解:设点落在上的点处,连接,如图所示,
    为直角三角形,,,
    根据勾股定理得:,
    设,由折叠可知:,,
    可得:,,
    在中,
    根据勾股定理得:,
    解得:,
    则.
    故答案为:3.
    5.如图,四边形是边长为9的正方形纸片,将其沿折叠,使点落在边上的处,点对应点为,且,则的长是
    A.1.5B.2C.2.25D.2.5
    【解答】解:设,
    连接,,
    在中,,
    在中,,


    即,
    解得,
    即,
    故选:.
    6.如图,将边长为的正方形折叠,使点落在边的中点处,点落在处,折痕为,则线段长是
    A.B.C.D.
    【解答】解:设,则,由折叠的性质知,
    而,在中,由勾股定理可知,即,
    整理得,所以.
    故选:.
    7.如图,将矩形的四个角向内翻折后,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形,,,则边的长度等于
    A.B.C.D.
    【解答】解:如图所示:设上两个点分别为、,
    点是点对折过去的,
    为直角,,
    ,,
    同理,


    点也是点对折过去的,


    ,,




    故选:.
    8.已知,如图长方形中,,,将此长方形折叠,使点与点重合,折痕为,则的面积为
    A.B.C.D.
    【解答】解:将此长方形折叠,使点与点重合,.


    根据勾股定理可知.
    解得.
    的面积为.故选:.
    9.如图,的三边分别为,,,将沿折叠,使落在上.
    (1)试判断的形状,并说明理由;
    (2)求折痕的长.
    【解答】解:(1)是直角三角形;(1分)
    ,(2分)

    是直角三角形.(1分)
    (2)设折叠后点与上的点重合.
    设,则,,,;

    在中,,
    解得:,(3分)
    .(3分)
    10.如图,把矩形纸片沿折叠后,使得点与点重合,点落在点的位置上.
    (1)是等腰三角形吗?试说明理由;
    (2)若,,求的长度.
    【解答】解:(1)由翻折的性质得:,
    四边形为矩形,




    是等腰三角形;
    (2)利用勾股定理可得,
    由(1)可得,
    所以.
    11.如图,在长方形纸片中,,,将它沿着对角线对折,使折到,求:
    (1)线段的长度;
    (2)求点到直线的距离.
    【解答】解:(1),

    由折叠的性质可知,,


    在中,,即,
    解得,;
    (2)设点到直线的距离为,

    由三角形的面积可知,,
    则.
    12.如图,将矩形沿直线折叠,顶点恰好落在边上点处,已知,,求图中阴影部分的面积.
    【解答】解:由折叠可知和关于成轴对称,
    故,.
    所以,
    设,则.
    在中,由勾股定理,得.
    解得,故.
    所以阴影部分的面积为:.
    13.如图,将边长为的正方形折叠,使点落在边的中点处,点落在处,折痕为.
    (1)求线段长.
    (2)连接,并求的长.
    【解答】解:(1)设,则.由翻折的性质可知:.
    在中,由勾股定理可知:,,
    解得:,即.
    (2)如图所示,连接.
    在三角形中,.
    由翻折的性质可知.
    14.如图,折叠矩形的一边,使点落在边上的点处,已知,,
    (1)求长度;
    (2)求的长度.
    【解答】解:(1)设,,
    在中,,
    (2).
    在中,,即,
    解得.
    故的长为.
    15.如图,,,,将边沿翻折,使点落在上的点处;再将边沿翻折,使点落在的延长线上的点处,两条折痕与斜边分别交于点、,则线段的长为
    A.B.C.D.
    【解答】解:中,,,,
    由勾股定理可得,
    将边沿翻折,使点落在上的点处,
    ,,



    在中,,
    将边沿翻折,使点落在的延长线上的点处,
    ,,


    又,




    故选:.
    16.如图,已知正方形的边长为12,,将正方形的边沿折叠到,延长交于,连接.现有如下3个结论:①;②;③五边形的周长是44,其中正确的个数为
    A.0B.1C.2D.3
    【解答】解:由折叠可知:
    ,,,

    在和中,



    ,故①正确;


    由折叠可得,,
    ,故②正确;
    正方形边长是12,

    设,则,,
    由勾股定理得:,
    即:,
    解得:,
    ,,,
    五边形的周长是:,故③正确.
    故选:.
    17.如图的实线部分是由经过两次折叠得到的.首先将沿高折叠,使点落在斜边上的点处,再沿折叠,使点落在的延长线上的点处.若图中,,,则的长为 .
    【解答】解:,,,




    在中,,
    由折叠得,,,,,

    是等腰直角三角形,


    故答案为:.
    18.如图所示,为边长为1的正方形,为边的中点,沿折叠使点落在上的处,连接并延长交于点,则的长为
    A.B.C.D.
    【解答】解:连接.
    四边形是正方形,
    ,,


    由翻折不变性可知:,

    ,,,

    ,设,则,
    在中,,


    故选:.
    19.矩形中,,,点在线段上.点在线段上
    (1)沿折叠,使落在边上的处(如图),若,求的长;求的长;
    (2)若按折叠后,点落在矩形的边上,请直接写出的范围.
    【解答】解:(1)设,则,
    在中,
    解得,所以
    过作于,设,
    则.在中,
    ,解得,
    (2)若沿翻折后,点落在矩形的边上,观察图像可知的最大值为6,
    与重合时,最小,,
    综上所述:.
    20.如图所示,在矩形中,,,
    (1)如图①,、分别为、边上的点,将矩形沿翻折,使点与点重合,设,则 (用含的代数式表示),,在△中,利用勾股定理列方程,可求得 .
    (2)如图②,将沿翻折至△,若交于点,求此时的长;
    (3)如图③,为边上的一点,将沿翻折至△,、分别交边于、,且,请直接写出此时的长.
    【解答】解:(1)如图①中,连接.
    根据对称性可知,设,则,
    在中,,

    解得,
    ,,
    故答案为,.
    (2)如图②中,
    四边形是矩形,




    ,设,
    在中,,
    解得,

    (3)设.
    ,,,
    △,
    ,,

    ,,,
    在中,,
    解得,

    题型二 勾股定理中的旋转问题
    21.(1)(操作发现)
    如图1,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,的三个顶点均在格点上.请按要求画图:将绕点按顺时针方向旋转,点的对应点为,点的对应点为,连接,则 .
    (2)(问题解决)
    如图2,在等边三角形内有一点,且,,,求的度数和等边三角形的边长;
    (3)(灵活运用)
    如图3,在正方形内有一点,且,,,求的度数.
    【解答】解:(1)如图1所示,连接,将绕点按顺时针方向旋转,
    ,,

    故答案为:;
    (2)是等边三角形,

    将绕点顺时针旋转得出,如图2,
    ,,,,


    是等边三角形,
    ,,
    ,,

    ,则△是 直角三角形;

    过点作,交的延长线于点,
    ,,
    由勾股定理得:,

    由勾股定理得:.
    (3)如图3,将绕点逆时针旋转得到,
    与(1)类似:可得:,,,,


    由勾股定理得:,
    ,,,



    22.定义:如图1,点,把线段分割成,和,若以,,为边的三角形是一个直角三角形,则称点,是线段的勾股分割点.
    (1)已知点,是线段的勾股分割点,若,,求的长.
    (2)如图2,在等腰直角中,,,点,为边上两点满足,求证:点,是线段的勾股分割点;阳阳同学在解决第(2)小题时遇到了困难,陈老师对阳阳说:要证明勾股分割点,则需设法构造直角三角形,你可以把绕点逆时针旋转试一试.请根据陈老师的提示完成第(2)小题的证明过程.
    【解答】(1)解:当最长时,;
    当最长时,,
    综合以上可得的长为或;
    (2)证明:如图,把绕点逆时针旋转,得到,连接,
    △,
    ,,,



    △,

    ,,



    在△中,,

    点,是线段的勾股分割点.
    23.在中,,,为上一点,连接,将绕点逆时针旋转至,连接,过作交于,连接.
    (1)求证:;
    (2)求线段、、之间的数量关系.
    (3)若,,求.
    【解答】(1)证明:将绕点逆时针旋转至,可得是等腰直角三角形,
    ,,

    在和中,



    (2)解:;
    理由:如图,连接,
    ,是等腰直角三角形,
    是的垂直平分线,

    又,,


    在中,,

    (3)解:,是等腰直角三角形,

    ,,


    设,则,,
    在中,,
    解得,

    24.(1)问题:如图①,在中,,为边上一点(不与点,重合),将线段绕点逆时针旋转得到,连接,则线段,,之间满足的等量关系式为 ;
    (2)探索:如图②,在与中,,,将绕点旋转,使点落在边上,试探索线段,,之间满足的等量关系,并证明结论;
    (3)应用:如图3,在四边形中,.若,,求的长.
    【解答】解:(1),
    理由如下:,
    ,即,
    在和中,




    故答案为:;
    (2),
    理由如下:如图②,连接,

    ,即,
    在和中,


    ,,


    在中,,
    又,

    (3)如图③,作,使,连接,,


    在与中,



    ,,


    ,,

    25.【问题提出】如图1,在等边三角形内部有一点,,,.求的度数.
    【数学思考】当图形中有一组邻边相等时,通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题.
    【尝试解决】(1)将绕点逆时针旋转,得到△,连接,则为等边三角形.
    ,,,

    为 直角 三角形,
    的度数为 .
    【类比探究】(2)如图2,在等边三角形外部有一点,若,求证:.
    【联想拓展】(3)如图3,在中,,.点在直线上方且,,求的长.
    【解答】(1)解:如图1,将绕点逆时针旋转,得到△,连接,则为等边三角形.
    ,,,

    为直角三角形.
    的度数为.
    故答案为:直角;.
    (2)证明:如图2中,将绕点逆时针旋转得到,连接.
    ,,
    是等边三角形,
    ,,
    由旋转的性质可知:,
    ,,


    ,,

    (3)解:过点作于,连接,设交于.
    ,,

    ,,
    ,,




    设,则,


    解得或(舍弃),


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