专题3.2勾股定理的逆定理-【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册 题典【苏科版】

【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册 题典【苏科版】

专题3.2勾股定理的逆定理

【名师点睛】

1.勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足么 +=，那么这个三角形就是直角三角形．

说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．

（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．

注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．

2.勾股数：满足么 += 的三个正整数，称为勾股数．

说明：

①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足么 +=，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．

②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．

③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…

【典例剖析】

【考点1】用勾股定理的逆定理判定直角三角形

【例1】（2020秋•福田区校级期末）如图所示，在四边形中，，，，，．

（1）连接，求的长；

（2）判断的形状，并说明理由．

【分析】（1）直接利用勾股定理得出的长；

（2）直接利用勾股定理逆定理进而分析得出答案．

【解析】（1），

；

（2）是直角三角形，

理由：，

，

，

，

是直角三角形．

【点评】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，正确运用勾股定理是解题关键．

【变式1】（2021春•当涂县期末）如图，在中．是边的中点，于点，交于点，且，

（1）试说明：；

（2）若，，求的长．

【分析】（1）连接，依据垂直平分，即可得到，再根据，可得，进而得到是直角三角形；

（2）依据勾股定理可得的长为10，再根据勾股定理即可得到方程，解方程即可得出的长．

【解析】（1）如图所示，连接，

是边的中点，于点，

垂直平分，

，

又，

，

是直角三角形，且；

（2）中，，

，

设，则，而，

中，，

中，，

，

解得，

．

【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，以及线段垂直平分线的性质的运用，关键是掌握：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．

【考点2】用勾股定理的逆定理求面积

【例2】（2021秋•南京期中）如图，在四边形中，，，，，．

求四边形的面积．

【分析】连接，根据勾股定理求出，求出，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式求出即可．

【解析】连接，

在中，，由勾股定理得：，

，，

，

（负数舍去），

，，，

，，

，

是直角三角形，即，

．

【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

【变式2】（2021秋•玄武区期中）如图，四边形中，，，，，．求四边形的面积．

【分析】连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，分别求出和的面积，即可得出答案．

【解析】连接，

在中，，，，

，

，

在中，，，，

，

是直角三角形，

．

四边形的面积．

【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出和的面积，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

【考点3】勾股数问题

【例3】（2022春•清江浦区校级期中）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：

其中、为正整数，且．

（1）观察表格，当，时，此时对应的、、的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．

（2）探究，，与、之间的关系并用含、的代数式表示：　　，　　，　　．

（3）以，，为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．

【分析】（1）计算出、、的值，根据勾股定理的逆定理判断即可；

（2）根据给出的数据总结即可；

（3）分别计算出、、，根据勾股定理的逆定理进行判断．

【解析】（1）当，时，、、，

，

、、的值能为直角三角形三边的长；

（2）观察得，，，；

故答案为：，，；

（3）以，，为边长的三角形一定为直角三角形，

，

，

，

以，，为边长的三角形一定为直角三角形．

【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．

【变式3】（2019秋•新北区期中）法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解，，叫做勾股数，如，4，就是一组勾股数．

（1）在研究勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果表示大于1的整数，，，，那么，以，，为三边的三角形为直角三角形（即，，为勾股数），请你加以证明；

（2）探索规律：观察下列各组数，4，，，12，，，24，，，40，，直接写出第6个数组．

【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，可得答案．

（2）先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．

【解答】（1）证明：

，

即，，为勾股数．

（2）①，，；

②，，；

③，，；

④，，；

⑤，，，

则⑥，，，

第6组勾股数是：，84，．

【点评】本题考查了勾股数，利用了勾股数扩大相同的正整数倍仍然是勾股数．

【满分训练】

一．选择题（共10小题）

1．（2021秋•灌南县期中）在下列条件下不是直角三角形的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断选项，选项；根据三角形的内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项和选项．

【解析】．，

，

即是直角三角形，故本选项不符合题意；

．，

，

即是直角三角形，故本选项不符合题意；

．，，

最大角，

不是直角三角形，故本选项符合题意；

．，

，

又，

，

，

是直角三角形，故本选项不符合题意；

故选：．

【点评】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

2．（2021秋•江阴市期中）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是　　

A．、、 B．、、 

C．、、 D．、、

【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能够构成直角三角形，从而可以判断哪个选项是符合题意的．

【解析】，故选项不符合题意；

，故选项中的三条线段不能构成三角形，故选项不符合题意；

，故选项不符合题意；

，故选项符合题意；

故选：．

【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确勾股定理的逆定理的内容，由勾股定理的逆定理可以判断三角形的形状．

3．（2021秋•江阴市期中）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是　　

A．4，6，8 B．6，8，10 C．6，9，10 D．5，11，13

【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形．

【解析】、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；

、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

故选：．

【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

4．（2021秋•高邮市期中）下列条件中，不能判定为直角三角形的是　　

A． B． 

C． D．，，

【分析】根据勾股定理的逆定理判断和即可；根据三角形的内角和定理判断和即可．

【解析】．，

，

是直角三角形，故本选项不符合题意；

．，，

，

是直角三角形，故本选项不符合题意；

．，，

最大角，

是直角三角形，故本选项不符合题意；

．，

，

以，，为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；

故选：．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容和三角形的内角和定理等于是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两条边、的平方和等于第三边的平方，即，那么这个三角形是直角三角形．

5．（2018秋•丹阳市期中）如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为　　

A．47 B．62 C．79 D．98

【分析】依据每列数的规律，即可得到，，，进而得出的值．

【解析】由题可得，，，，

，，，

当时，，

，，

，

故选：．

【点评】本题主要考查了勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数．

6．（2021秋•徐州期中）在下列各组数中，是勾股数的是　　

A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6

【分析】判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．

【解析】、，不是勾股数，故本选项不符合题意．

、，不是勾股数，故本选项不符合题意．

、，是勾股数，故本选项符合题意．

、，不是勾股数，故本选项不符合题意．

故选：．

【点评】本题考查了勾股数的知识，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．

7．（2020秋•上海期末）在中，、、的对应边分别是、、，下列条件中不能说明是直角三角形的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．

【解析】、，即，符合勾股定理的逆定理，能够判定为直角三角形，不符合题意；

、，此时是直角，能够判定是直角三角形，不符合题意；

、，那么、、，不是直角三角形，符合题意；

、，符合勾股定理的逆定理，能够判定为直角三角形，不符合题意．

故选：．

【点评】此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长符合勾股定理的逆定理或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形．

8．（2021春•饶平县校级期末）的三边为，，且，则该三角形是　　

A．锐角三角形 B．以为斜边的直角三角形 

C．以为斜边的直角三角形 D．以为斜边的直角三角形

【分析】由题意可知：，此三角形三边关系符合勾股定理的逆定理．

【解析】由题意，，

，

此三角形三边关系符合勾股定理的逆定理，

所以此三角形是以为斜边的直角三角形．

故选：．

【点评】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．

9．（2021春•商河县校级期末）已知，，分别为的三边长，则符合下列条件的中，直角三角形有　　

（1），，；（2）；（3）；（4），，； （5），，．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理进行逐项分析解答即可．

【解析】（1）由，，可得，，故不是直角三角形；

（2）由可得，，故是直角三角形；

（3）由可得，，故不是直角三角形；

（4）由，，可得，，故为直角三角形；

（5）由，，可得，，故不能构成三角形．

故选：．

【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，关键在于熟练运用勾股定理的逆定理逐个进行分析．

10．（2021秋•溧阳市期中）以下四组代数式作为的三边，能使为直角三角形的有　　

①，，为正整数）；

②，，为正整数）；

③，，，为正整数）；

④，，，，为正整数）．

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．

【解析】①，，为正整数），，能构成直角三角形；

②，，为正整数），，不能构成直角三角形；

③，，，为正整数），，能构成直角三角形；

④，，，，为正整数），，能构成直角三角形．

故选：．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

二．填空题（共8小题）

11．（2017秋•东海县校级期中）已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为 　24　．

【分析】根据三角形三边长，利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形，然后即可求得面积．

【解析】，

此三角形为直角三角形，

此三角形的面积为：．

故答案为：24．

【点评】此题主要考查学生对勾股定理逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形．

12．（2022春•清江浦区校级期中）如图，点、、分别是正方体展开图的小正方形的顶点，则的大小为 　　．

【分析】分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数．

【解析】连接，

根据勾股定理可以得到：，，

，即，

是等腰直角三角形．

．

故答案为：．

【点评】本题考查了几何体的展开图与勾股定理，判断是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．

13．（2021秋•靖江市期中）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．请你根据上述的规律写出下一组勾股数：　11、60、61　；

【分析】分析所给四组的勾股数：第一个数是连续的奇数，第二个数为，第三个数比第二个数大1，由此可得答案．

【解析】第一组：3，，；

第二组：5，，；

，

最后一组为：11，，61．

故答案为：11，60，61．

【点评】本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、计算即可．

14．（2021秋•赣榆区期中）如图，在中，若，，，则边上的高的长为 　7.2　．

【分析】设，则，根据高的定义得出，根据勾股定理得出，求出，再求出高即可．

【解析】设，则，

是高，

，

由勾股定理得：，

，，，，

，

解得：，

即，

，

故答案为：7.2．

【点评】本题考查了勾股定理，能熟记勾股定理是解此题的关键．

15．（2021秋•阜宁县期中）三角形的三边长分别为13，12，5，那么最长边上的中线长等于 　6.5　．

【分析】根据勾股定理的逆定理先判断三角形的形状为直角三角形，再根最长边为斜边，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到最长边上的中线长．

【解析】三角形的三边长分别为13，12，5，，

该三角形是直角三角形，

最长边上的中线长等于6.5，

故答案为：6.5．

【点评】本题考查勾股定理的逆定理、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．

16．（2021秋•梁溪区校级期中）已知直角三角形的三条边长分别为3，4，5，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 　6　条．

【分析】首先根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根据等腰三角形的性质分别利用、为腰以及，、为底得出符合题意的图形即可．

【解析】如图所示：，，，

，

是直角三角形，．

当，，，，，都能得到符合题意的等腰三角形．

故答案为：6．

【点评】此题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论是解题关键．

17．（2021秋•邳州市期中）观察下列各组勾股数：

（1）3，4，5；

（2）5，12，13；

（3）7，24，25；

（4）9，40，41；

照此规律，将第组勾股数按从小到大的顺序排列，排在中间的数，用含的代数式可表示为 　　．

【分析】依据各组勾股数中数字的变换规律，即可得到第组勾股数中，当最小的数为时，排在中间的数为，再进行化简即可．

【解析】（1）3，4，5中，；

（2）5，12，13中，；

（3）7，24，25中，；

（4）9，40，41中，；

以此类推，第组勾股数中，当最小的数为时，排在中间的数为，即，

故答案为：．

【点评】本题主要考查了勾股数，满足 的三个正整数，称为勾股数．一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．

18．（2021春•娄星区校级期中）中，，，所对的边分别为，，，下列条件中能判断出是直角三角形的有　（2）（3）（4）（5）　．

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．

【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断（2）（3），根据三角形内角和定理即可判断（1）（4）（5）．

【解析】（1），，

最大角，

不是直角三角形；

（2），

，

，

是直角三角形；

（3），

，

是直角三角形；

（4），

，

，

是直角三角形；

（5），，

，

，

是直角三角形，

所以能判断出是直角三角形的有（2）（3）（4）（5），

故答案为：（2）（3）（4）（5）．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，能熟记知识点是解此题的关键．

三．解答题（共11小题）

19．（2019秋•江阴市校级期中）如图，已知在中，，是上一点，且，．

（1）求证：是直角三角形；

（2）求的长

【分析】（1）求出的长，再根据勾股定理的逆定理判断即可；

（2）根据勾股定理求出即可．

【解答】（1）证明：，，

，

，，

，

，

即是直角三角形；

（2）解：在中，，，，

由勾股定理得：，

即的长是．

【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．

20．（2021秋•东海县期中）如图，在四边形中，，，，．

（1）求的度数．

（2）求四边形的面积．

【分析】（1）由于，，利用勾股定理可求，并可求，而，，易得，可证是直角三角形，于是有，从而易求；

（2）连接，则可以计算的面积，根据、可以计算的长，根据，，可以判定为直角三角形，根据，可以计算的面积，四边形的面积为和面积之和．

【解析】（1）连接，

，，

，，

，，

，，

，

是直角三角形，

，

．

（2）在中，，

在中，．

．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接，并证明是直角三角形．

21．（2022春•天河区校级期中）如图，每个小正方形的边长都为1．

（1）求的周长；

（2）求的度数．

【分析】（1）运用勾股定理求得，及的长，即可求出的周长．

（2）运用勾股定理的逆定理求得，得出．

【解析】（1），，，

的周长；

（2），，，

，

是直角三角形，是斜边，

．

【点评】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟记勾股定理是解题的关键．

22．（2022春•柘城县期末）如图，在中，是的中点，交于点，且．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

【分析】（1）连接，由线段垂直平分线的性质可求得，再结合可求得，可证得结论；

（2）由是的中点可求得，在中，利用勾股定理结合已知条件可得到关于的方程，可求得．

【解答】（1）证明：连接，如图，

是的中点，，

，

，

，

，

是直角三角形，即；

（2）解：是的中点，，

，

，，

，

在中，，

，

，

解得：，

的长为．

【点评】本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用．

23．（2020秋•内江期末）如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可得，然后利用勾股定理逆定理可得结论；

（2）首先确定的长，进而可得的长，再利用勾股定理进行计算即可．

【解答】（1）证明：连接，

的垂直平分线分别交、于点、，

，

，

，

，

是直角三角形，且；

（2）解：，，

，，

，

．

【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．