专题2.7等腰三角形的轴对称性（3）-【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册 题典【苏科版】

【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册 题典【苏科版】

专题2.7等腰三角形的轴对称性（3）：直角三角形

【名师点睛】

1.含30度角的直角三角形

（1）含30度角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．

（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．

（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；

②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．

2.直角三角形斜边上的中线

（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）

（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．

该定理可以用来判定直角三角形．

【典例剖析】

【例1】（2021秋•京口区校级期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．

（1）求证：△MEF是等腰三角形；

（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．

【变式1】（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，F是BC的中点．

（1）求证：△DEF是等腰三角形；

（2）若∠A＝60°，DE＝2，求BC的长．

【例2】（2022春•邗江区期末）如图1，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是BC延长线上一动点，连接AD，AE平分∠CAD交CD于点E，过点E作EH⊥AB，垂足为点H．直线EH与直线AC相交于点F．设∠AEH＝α，∠ADC＝β．

（1）求证：∠EFC＝∠FEC；

（2）①若∠B＝30°，∠CAD＝50°，则α＝　   　，β＝　   　；

②试探究α与β的关系，并说明理由；

（3）若将“D是BC延长线上一动点”改为“D是CB延长线上一动点”，其它条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出α与β的关系．

【变式2】（2021秋•邗江区期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．

（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数；

（2）已知△ADE的周长7cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为15cm，求OA的长．

【满分训练】

一．选择题（共10小题）

1．（2018秋•崇川区校级月考）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（　　）

A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm

2．（2021秋•沭阳县校级月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3，则BD的长是（　　）

A．12 B．9 C．6 D．3

3．（2021•苏州模拟）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

4．（2021秋•如皋市期中）如图，在△ABC中，∠B＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，则BD的长为（　　）

A．3 B．2.5 C．2 D．1

5．（2018秋•武进区校级期末）已知等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则顶角为（　　）

A．30° B．135° C．150° D．30°或150°

6．（2019秋•崇川区校级月考）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若CD＝6，则AD的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．4.5

7．（2022春•如皋市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（　　）

A．12 B．6 C．4 D．3

8．（2021秋•无锡期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠CDE的大小为（　　）

A．70° B．75° C．80° D．85°

9．（2021秋•丹阳市期末）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝70°，点E是AC的中点．则∠EBD的度数为（　　）

A．20° B．35° C．40° D．55°

10．（2021秋•泰兴市月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是AC边上的动点（点E与点C、A不重合），设点M为线段BE的中点，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，连接MC、MF．若∠CBA＝50°，则在点E运动过程中∠CMF的大小为（　　）

A．80° B．100° 

C．130° D．发生变化，无法确定

二．填空题（共8小题）

11．（2022春•通州区期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，D是边AB的中点，则线段CD的长为 　   　．

12．（2021秋•淮安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝6，则CD＝　   　．

13．（2021秋•宿豫区期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝10，则DE+DF＝　   　．

14．（2022•邳州市一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，延长AB到点D，使BD＝BC，连接CD，若AC＝2，则CD的长为 　   　．

15．（2021秋•海门市期末）等腰△ABC中，底角∠B＝15°，腰长为30cm，则腰AB上的高为 　   　cm．

16．（2016秋•通州区校级月考）如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC＝2，则EF＝　   　．

17．（2014秋•盐城校级月考）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝　   　．

18．（2021秋•海门市期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12cm，点D在边AC上，以BD为边在BD左上方作等边△BDE，若∠CBD＝45°，则点E到AB边的距离为 　   　cm．

三．解答题（共6小题）

19．（2021秋•崇川区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，若AC＝12．

（1）求证：BD⊥BC．

（2）求DB的长．

20．（2020秋•丹阳市期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．

（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数；

（2）已知△ADE的周长11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为27cm，求OA的长．

21．（2020秋•崇川区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，且交AC于点D，DE垂直平分AB于点E，DE＝3cm．求线段AC的长．

22．（2020秋•广陵区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝2∠B，AD平分∠CAB．

（1）求∠CAD的度数；

（2）延长AC至E，使CE＝AC，求证：DB＝DE．

23．（2021秋•淮安期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE三等分∠ACB，且CD是AB边的中线，CE是BD边的中线，当DE＝2时，求AC的长．

24．（2021秋•天宁区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，O为BD的中点．

（1）∠OAC和∠OCA相等吗？请说明理由；

（2）若P为AC中点，试判断OP与AC的关系．