专题3.5 勾股定理的逆定理（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

这是一份专题3.5 勾股定理的逆定理（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版），共45页。试卷主要包含了单选题，在网格中判断直角三角形，利用勾股定理的逆定理求解，勾股定理的拓展问题等内容，欢迎下载使用。

专题3.5 勾股定理的逆定理（专项练习）
一、单选题
类型一、判断三边能否构成直角三角形
1．以下列各组数的长为边作三角形，不能构成直角三角形的是（       ）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．9，12，15
2．在中，、、分别为的三条边，满足下列条件不能构成直角三角形的是（       ）
A． B．
C． D．
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（       ）
A．如果a2=b2−c2，那么△ABC是直角三角形且∠A=90°
B．如果∠A:∠B:∠C=1:2:3，那么△ABC是直角三角形
C．如果，那么△ABC是直角三角形
D．如果，那么△ABC是直角三角形
类型二、图形上与已知两点构成直角三角形的点
4．如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（       ）

A．2 B．4 C．5 D．6
5．下列叙述中，正确的是   
A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方
B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
C．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若，则∠A=90º
D．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则
6．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是

A． B． C． D．
类型三、在网格中判断直角三角形
7．如图，由6个相同小正方形组成的网格中，A，B，C均在格点上，则∠ABC 的度数为（       ）

A．45° B．50° C．55° D．60°
8．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则与的大小关系为（       ）

A． B．
C． D．无法确定
9．如图，在 4×4 的正方形网格中（每个小正方形边长均为 1），点A，B，C 在格点上，连接 AB，AC，BC，则△ABC 的形状是（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
类型四、利用勾股定理的逆定理求解
10．△ABC的三边长a，b，c满足|a﹣5|+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，则△ABC的面积是（       ）
A．65 B．60 C．30 D．26
11．如图，在△ABC中，AC＝3 cm，BC＝4 cm，AB＝5 cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积等于（       ）

A．1 B．1.5 C．2 D．3
12．如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确是（       ）

A． B． C． D．
类型五、勾股定理的拓展问题
13．根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（       ）
A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理
14．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何.”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少（1丈＝10尺，1尺＝10寸）？若设门的宽为x寸，则下列方程中，符合题意的是（　　）
A．x2+12＝（x+0.68）2 B．x2+（x+0.68）2＝12
C．x2+1002＝（x+68）2 D．x2+（x+68）2＝1002
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形（   ）

A．AD＝3 B．AD＝4 C．AD＝5 D．AD＝6
二、填空题
类型一、判断三边能否构成直角三角形
16．把一根长12厘米的木棒，从一端起顺次截下3厘米和5厘米的两段，用得到的三根木棒首尾依次相接，摆成的三角形形状是______．
17．如图，在△ABC中，，，，P为边AB上一动点，于点E，于点F，连接EF，则EF的最小值为______．

18．如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________．

类型二、图形上与已知两点构成直角三角形的点
19．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形．

20．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰直角三角形，则符合条件的点C有_____个．

21．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD＋∠CBE的度数为_____________．     

类型三、在网格中判断直角三角形
22．如图，在的网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点、、都在格点上，点为边的中点，则线段的长为________．

23．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，于，则的长为 __．

24．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，则______．

类型四、利用勾股定理的逆定理求解
25．若的三边长a，b，c满足，则是____________．
26．已知△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，则△ABC的面积是______cm2．
27．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，DE⊥AC于E，DE＝3，S△DAC＝6，则∠ACB的度数等于 _____．

类型五、勾股定理的拓展问题
28．如图1，塔吊是建筑工地上常用的一种起重设备，可以用来搬运货物．如图2，已知一款塔吊的平衡臂部分构成一个直角三角形，且，起重臂可以通过拉伸进行上下调整．现将起重臂从水平位置调整至位置，使货物到达位置（挂绳的长度不变且始终与地面垂直）．此时货物升高了24米，且到塔身的距离缩短了16米，测得，则的长为______米．

29．勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，若，，则长方形内空白部分的面积之和是________．

30．边长为6，8，10的内有一点到三边的距离均为，则的值为________．
三、解答题
31．如图，已知BE⊥AE，∠A＝∠EBC＝60°，AB＝4，BC2＝12，CD2＝3，DE＝3．求证：
(1)△BEC为等边三角形；(2)ED⊥CD．




32．如图，已知等腰△ABC的底边BC=10cm，D是腰AC上一点，且CD=6cm，BD=8cm．
(1)判断△BCD的形状，并说明理由；
(2)求△ABC的周长．



33．如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为某侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，求点C到AB的距离（结果保留整数）．





34．如图所示的一块地，，，，，，求这块地的面积．



35．已知，如图，，C为上一点，与相交于点F，连接．，．
（1）求证：；
（2）已知，，，求的长度．

36．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8．
(1)求证：；(2)求DF的长．































参考答案
1．B
【分析】
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
解：A、32+42=52，故是直角三角形，不符合题意；
B、42+52≠62，故不是直角三角形，符合题意；
C、62+82=102，故是直角三角形，不符合题意；
D、92+122=152，故是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
【点拨】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
2．B
【分析】
根据直角三角形的判定条件逐项分析判断即可求解．
解：A. ，故能构成直角三角形，不符合题意；       
B. ，设，则，故不能构成直角三角形，符合题意；       
C. ，则，故能构成直角三角形，不符合题意；       
D. ，设，则，故能构成直角三角形，不符合题意；
故选：B
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理判断直角三角形，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
3．A
【分析】
根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．
解：A、如果 a2=b2-c2，即b2=a2+c2，那么△ABC 是直角三角形且∠B=90°，选项错误，符合题意；
B、如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确，不符合题意；
C、如果 a2：b2：c2=9：16：25，满足a2+b2=c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确，不符合题意；
D、如果∠A-∠B=∠C，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确，不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查的是直角三角形的判定和勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
4．D
【分析】
分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°时，分别画出符合条件的图形，即可解答．
解：分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°如图

符合条件的格点C的个数是6个
故选：D．
【点拨】本题考查正多边形和圆的性质、直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90°等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
5．B
【分析】
根据勾股定理及三角形对边与对角的知识求解．
解：∵由勾股定理知，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，而直角边应该都小于斜边，所以直角三角形中，应该是较小两条边的平方和等于第三边的平方，∴A错误；
∵由勾股定理的逆定理可得：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，∴B正确；
∵，∴c为斜边，c的对角∠C=90º，∴C错误；
∵△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠B=90º，∴b为斜边，∴，D错误；
故选B．
【点拨】本题考查勾股定理及其逆定理的简单应用，注意勾股定理是“两直角边的平方和等于斜边的平方”，所以注意分清直角边和斜边及其所对角是解题关键．
6．D
解：
试题分析：找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可．如图，C1，C2，C3，C4均可与点A和B组成直角三角形，有4个点满足条件．所以P（△ABC为直角三角形）=，
故选D
考点：1、直角三角形的判定   2、概率
7．A
【分析】
连接AC，利用勾股定理分别求出AB、AC、BC，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，再根据三角形内角和定理得到答案．
解：连接AC，
∵，，，
∴，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠ABC= (180°-∠ACB)=45°．
故选A．

【点拨】本题考查了等腰三角形，勾股定理的逆定理，解决问题的关键是作辅助线构建三角形，熟练掌握等腰三角形的定义和性质，熟练运用勾股定理的逆定理判断直角三角形．
8．C
【分析】
根据每个小网格都为正方形，设每个网格为1，由勾股定理可以求出AD、AC、 CD的长，再由勾股定理的逆定理得到△ACD为等腰直角三角形，同理可得△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC= ∠DAC．
解：如图，设正方形每个网格的边长都为1，连接CD、BC，

则，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
同理：，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
故选：C．
【点拨】本题考查勾股定理的性质、勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定，解本题的关键要掌握勾股定理及逆定理的基本知识．
9．B
【分析】
根据勾股定理求出AB、BC、AC，再根据勾股定理的逆定理计算可得出结论．
解：由题意得：， ，，
∵，
∴，
∴∠BAC＝90°，
∴为直角三角形．
故选：B．
【点拨】本题考查的了勾股定理和勾股定理的逆定理．掌握勾股定理和逆定理是解决问题的关键．
10．C
【分析】
首先根据非负数的性质可得a-5=0，b-12=0，c-13=0，进而可得a、b、c的值，再利用勾股定理逆定理证明△ABC是直角三角形，最后由直角三角形面积公式求解即可．
解：∵|a-5|+(b-12)2+|c-13|=0，
∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，
∴a=5，b=12，c=13，
∵52+122=132，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC==30．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了非负数的性质，以及勾股定理逆定理，熟练掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形，利用非负数性质求出a、b、c的值是解题的关键．
11．B
【分析】
由三角形中位线的性质易得△DEF的三边长，再由勾股定理的逆定理证出△DEF是直角三角形，然后由三角形面积公式求解即可．
解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点
∴EF，DE，DF都是△ABC的中位线，
∴EF=AB，DE=AC，DF=BC，
又∵AB=5cm，BC=4cm，AC=3cm，
∴EF=2.5（cm），DE=2（cm），DF=1.5（cm），
∵1.52+22=2.52，
∴DE2+DF2=EF2，
∴△EDF为直角三角形，
∴S△EDF=DE•DF=×1.5×2=1.5（cm2），
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理的逆定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，由勾股定理的逆定理证出△DEF为直角三角形是解题的关键．
12．C
【分析】
根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断C．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，
PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
所以A正确，不符合题意；
PQ=PB=4，
PQ2+QC2=42+32=25，
PC2=52=25，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
所以B正确，不符合题意；
∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴∠BPQ=60°，
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，
所以D正确，不符合题意；
∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，
∵PC=5，QC=PA=3,
∴PC≠2QC，
∵∠PQC=90°，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以C不正确，符合题意．
故选：C．
【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．
13．A
【分析】
根据“法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解，”即可得到答案．
解：法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解．
∴这个定理指的是费马大定理
故选：A．
【点拨】本题主要考查了学生对于数学课外阅读的认知程度，解题的关键是要多了解有关数学的课外知识．
14．D
【分析】
1丈＝100寸，6尺8寸＝68寸，设门的宽为x寸，则门的高度为（x+68）寸，利用勾股定理及门的对角线长1丈（100寸），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
解：1丈＝100寸，6尺8寸＝68寸.
设门的宽为x寸，则门的高度为（x+68）寸，
依题意得：x2+（x+68）2＝1002.
故选：D.
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用、由实际问题抽象出一元二次方程，准确计算是解题的关键．
15．D
【分析】
先证四边形PMEN是平行四边形，当∠APB=90°时，四边形PMEN是矩形，设DP=x，CP=10-x，再由勾股定理得出方程，分别计算即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD＝10，∠C＝∠D＝90°，
∵M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，
∴ME、NE是△ABP的中位线，
∴ME∥BP，NE∥AP，
∴四边形PMEN是平行四边形，
当∠APB＝90°时，四边形PMEN是矩形，
设DP＝x，CP＝10﹣x，
由勾股定理得：AP2＝AD2+x2，BP2＝BC2+（10﹣x）2，AP2+BP2＝AB2，
∴AD2+x2+AD2+（10﹣x）2＝102，
AD2+x2﹣10x＝0，
①当AD＝3时，x2﹣10x+9＝0，
x＝1或x＝9，符合题意；
②当AD＝4时，x2﹣10x+16＝0，
x＝2或x＝8，符合题意；
③当AD＝5时，x2﹣10x+25＝0，
x＝5，符合题意；
④当AD＝6时，x2﹣10x+36＝0，无解；
故选：D．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
16．直角三角形
【分析】
首先计算出第三条铁丝的长度，再利用勾股定理的逆定理可证明摆成的三角形是直角三角形．
解：12-3-5=4（cm），
∵32+42=52，
∴这三条铁丝摆成的三角形是直角三角形，
故答案为：直角三角形．
【点拨】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
17．####
【分析】
根据勾股定理的逆定理可以证明∠BCA=90°；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形CEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=CP，则EF的最小值即为CP的最小值，根据垂线段最短，可知CP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
解：如下图，连接CP，

∵在△ABC中，，，，
∴，即∠BCA＝90°．
又∵PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
∴四边形CEPF是矩形，
∴EF＝CP．
当CP⊥AB时，CP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，
∵，
∴，
即EF的最小值为．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、垂线段最短等知识，解题关键是要能够把要求的线段转换为便于分析其最小值的线段．
18．7或17
【分析】
分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可．
解：当E在线段AD上时，
连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF，

∵∠AEF=90°，
∴∠AEC=∠FEC==135°，
∴∠CED=45°，
∴CD=ED=5，
∴AE=AD-ED=12-5=7；
当E在线段BD上时，
连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF，

∵∠AEF=90°，
∴∠CEF=∠CEA=45°，
∴ED=CD=5，
∴AE=AD+DE=17，
故答案为：7或17．
【点拨】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题．
19．     或5     4或10
【分析】
根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可．
解：如图，当时，是等腰三角形，

，，
当时，，
解得；
如图，当时，是等腰三角形，

，，
当时，，
解得；
如图，当时，是直角三角形，且，

，，
当时，，
解得；
如图，当时，是直角三角形，且，

，，
当时，，
解得：t=10．
故答案为：或5；4或10．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．
20．6
【分析】
根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰；分别找出符合题意的点C即可．
解：如图，

分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有， ，共2个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有 ， ， ，，共4个．
故答案为：6．
【点拨】本题考查了网格中等腰直角三角形的判定和勾股定理的逆定理，熟知等腰直角三角形的判定和性质、分情况探寻是解答的关键．
21．45°
【分析】
取网格点M、N、F，连接AM、AN、BM、MF、BN，根据网格线可得到∠ABD+∠CBE=∠MAB，再根据勾股定理的逆定理证明△ABM是直角三角形，且AM=BM，即可得解．
解：取网格点M、N、F，连接AM、AN、BM、MF、BN，如图，

根据网格线可知NB=1=MF，AN=3，AF=2，
由网格图可知∠CBE=∠FAM，∠ABD=∠NAB，
则∠ABD+∠CBE=∠MAB，
在Rt△ANB中，有，
同理可求得：，
∵，
∴△ABM是直角三角形，且AM=BM，
∴∠MAB=45°，
即：∠ABD+∠CBE=45°，
故答案为：45°．
【点拨】本题考查了勾股定理即勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识，求得∠ABD+∠CBE=∠MAB是解答本题的关键．
22．2.5
【分析】
由勾股定理得AC2=20，BC2=5，AB2=25，则AC2+BC2=AB2，再由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
解：由勾股定理得：AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=42+32=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AB=5，
∵点O为AB边的中点，
∴CO=AB=2.5，
故答案为：2.5．
【点拨】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
23．4
【分析】
根据勾股定理计算BC的长，再利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
解：由勾股定理得：，，，
，
是直角三角形，，，，，
，
，
，
故答案为：4．
【点拨】本题考查勾股定理和直角三角形斜边高的求法，掌握这些是本题关键．
24．45°##45度
【分析】
取正方形网格中格点Q，连接PQ和BQ，证明∠AQB=90°，由勾股定理计算PQ=QB，进而得到△QPB为等腰直角三角形，∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°即可求解．
解：取正方形网格中格点Q，连接PQ和BQ，如下图所示：

∴AE=PF，PE=QF，∠AEP=∠PFQ=90°，
∴△APE≌△PQF(SAS),
∴∠PAB=∠QPF，
∵PF∥BE，
∴∠PBA=∠BPF，
∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB，
又QA²=2²+4²=20，QB²=2²+1²=5，AB²=5²=25，
∴QA²+QB²=20+5=25=AB²，
∴△QAB为直角三角形，∠AQB=90°，
∵PQ²=2²+1²=5=QB²，
∴△PQB为等腰直角三角形，
∴∠QPB=∠QBP=(180°-90°)÷2=45°，
∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°，
故答案为：45°．
【点拨】本题考查了勾股定理及逆定理、三角形全等的判定等，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本类题的关键．
25．等腰直角三角形
【分析】
根据平方的结果是非负数、绝对值的结果为非负数，再根据勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定进行判定即可．
解：∵
又∵、
∴、
∴、
∴是等腰直角三角形
故答案为：等腰直角三角形．
【点拨】本题考查了非负数的性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定等知识点，解答此题的关键是得出、．
26．24
【分析】
由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，∠B＝90°，△ABC的面职为即可得出结果．
解：∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，
∴AB2+CB2＝100＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，
∴△ABC的面积是＝＝24（cm2），
故答案为：24．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形面积的计算方法，熟练掌握勾股定理的逆定理，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
27．90°##90度
【分析】
根据三角形面积公式求出AC=4，根据勾股定理逆定理即可求出∠ACB=90°．
解：∵DE⊥AC于E，DE＝3，S△DAC＝6，
∴×AC×DE=6，
∴AC=4，
∴，
∵AB＝5，
∴AB2＝25，
∴，
∴∠ACB=90°．
故答案为：90°
【点拨】本题考查了勾股定理逆定理和三角形的面积应用，熟练掌握勾股定理逆定理是解题关键．
28．7
【分析】
设AD=AD1=x，在Rt△AD1F中，根据勾股定理即可求出x的长，过 D1作 D1M⊥BC于点M，设AC为y，则CF=MD1=10+y，CM=y+10+y=10+2y=24，继而即可求解；
解：∵货物升高了24米，DE的长度不变且D1E1与水平线AD垂直，
∴ D1F=24m，
∵ 货物水平靠近AH16m，
∴ DF=16m，
设AD=AD1=x，在Rt△AD1F中：
，
解得：x=26，
∴AF=10．
如 图：过 D1作 D1M⊥BC于点M，设AC为y，

则CF=MD1=10+y，
∵AC=AB，AB⊥BD1，
∴BM= MD1=10+y，
∴CM=y+10+y=10+2y=24，
解得：y=7，
∴AC=7，
故答案为：7．
【点拨】本题考查了解勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键；
29．60
【分析】
根据勾股定理求出AB,求出△ACB△BOG ，△MHG△GOB，求出AC= OB= HG = 4，BC= OG = MH=3，分别求出长方形FHNR，正方形BCDE，正方形ACQP，正方形ABGM的面积，即可求出答案．
解：如图，在Rt△ABC中，BC= 3，AC= 4 ，

则根据勾股定理得到AB=，
延长CB交FH于O，
∵四边形ABGM，APQC，BCDE均为正方形，
∴BG=AB=GM，∠ACB=∠ABG=∠F=∠H=∠MGB= 90°，BC//DE，
∴∠BOG=∠F= 90°，
∴∠CAB+∠ABC= 90°，
∠ABC+∠GBO= 180°- 90°= 90°，
∴∠CAB=∠GBO，
在△ACB和△BOG中，

∴△ACB△BOG(AAS)，
∴AC= OB= 4，OG= BC= 3，
同理可证△MHG△GOB，
∴MH = OG=3，HG=OB= 4，
∴FR=4 +3+4= 11，FH=3+3+4= 10，
∴
；
故答案为：60．
【点拨】本题考查了正方形性质,全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，关键是求出长方形HFRN的边长．
30．2
【分析】
根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，利用直角三角形的性质解答即可．
解：∵62+82=102，
∴△ABC是直角三角形，
∵△ABC内有一点P到三边的距离均为m，
∴×6×m+×8×m+×10×m＝×6×8，
∴m=2，
故答案为：2．
【点拨】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形解答．
31．(1)见分析(2)见分析
【分析】
（1）在Rt△ABE中，求得AE＝2，BE2＝12，从而有BE＝BC，即可得出△BEC为等边三角形；
（2）求得DE2+CD2＝12＝EC2，所以△CDE为直角三角形，且∠D＝90°，即可解决问题．
(1)证明：根据题意可得：在Rt△ABE中，
∵∠A＝60°，∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝30°．
∵AB＝4，
∴AE＝AB＝2，BE2＝AB2﹣AE2＝12．
又∵BC2＝12，
∴BE＝BC．
又∵∠CBE＝60°，
∴△BEC为等边三角形．
(2)∵△BEC为等边三角形，
∴EC2＝BC2＝12．
又∵DE2＝9，CD2＝3，
∴DE2+CD2＝12＝EC2，
∴△CDE为直角三角形，且∠D＝90°，
∴ED⊥CD．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理和其逆定理，熟练运用勾股定理的逆定理是解题的关键．
32．(1)△BDC为直角三角形，理由见分析；(2)△ABC的周长为=cm．
【分析】
（1）由BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm，知道BC2=BD2+CD2，所以△BDC为直角三角形；
（2）由此可求出AC的长，周长即可求出．
(1)解：△BDC为直角三角形，理由如下，
∵BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm，
而102=62+82，
∴BC2=BD2+CD2．
∴△BDC为直角三角形；
(2)解：设AB=xcm，
∵等腰△ABC，
∴AB=AC=x，则AD=x-6，
∵AB2=AD2+BD2，
即x2=（x-6）2+82，
∴x=，
∴△ABC的周长=2AB+BC=（cm）．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用解答．
33．点到的距离约为
【分析】
过点作于点，则的长即点到的距离，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，即，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：过点作于点，则的长即点到的距离，

在中，
，，，
，，
，
为直角三角形，即，
，
，即，
，
答：点到的距离约为．
【点拨】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，点到直线的距离，解题的关键是正确的识别图形．
34．384
【分析】
连接，勾股定理求得，勾股定理的逆定理证明为直角三角形，进而根据三角形的面积公式计算和的面积之差即可．
解：连接，

在直角中，，，
由，解得，
在中，，，，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
要求这块地的面积，求和的面积之差即可，

，
答：这块地的面积为．
【点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
35．（1）证明见分析；（2）
【分析】
（1）先证明再结合证明 从而可得结论；
（2）先证明 再证明 从而利用等面积法可得的长度.
解：（1） ，
而






（2） ，，，







【点拨】本题考查的是三角形的外角的性质，平行线的性质与判定，勾股定理的逆定理的应用，证明是解本题的关键.
36．(1)见分析(2)DF的长为5．
【分析】
（1）利用勾股定理的逆定理，证明△ADC是直角三角形，即可得出∠ADC是直角；
（2）根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可．
(1)证明：∵DE⊥AC于点E，
∴∠AED=∠CED=90°，
在Rt△ADE中，∠AED=90°，
∴AD2=AE2+DE2=82+42=80，
同理：CD2=20，
∴AD2+CD2=80+20=100，
∵AC=AE+CE=8+2=10，
∴AC2=100，
∴AD2+CD2=AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC=90°；
(2)解：∵AD是△ABC的中线，∠ADC=90°，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC=10，
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，
∵点F是边AB的中点，
∴DF=AB=5．
∴DF的长为5．
【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质与判定，垂直平分线的判定和的性质，熟记勾股定理与逆定理是解答本题的关键．