北京市石景山区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题

这是一份北京市石景山区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题，共33页。试卷主要包含了计算，已知，求代数式的值，解分式方程，如图，在中，，，，列方程解应用题等内容，欢迎下载使用。
北京市石景山区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编-03解答题
1．（2022·北京石景山·八年级期末）计算：．
2．（2022·北京石景山·八年级期末）计算：．
3．（2022·北京石景山·八年级期末）如图，在中，，，点D是内一点，连接CD，过点C作且，连接AD，BE．求证：．

4．（2022·北京石景山·八年级期末）计算：．
5．（2022·北京石景山·八年级期末）下面是小明设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图，直线l及直线l上一点P．
求作：直线PQ，使得．
作法：如图，

①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧在直线l的同侧交于点Q；
③作直线PQ．
直线PQ就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图的过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接QA，QB．
∵______，，
∴（______）（填推理的依据）．
6．（2022·北京石景山·八年级期末）已知，求代数式的值．
7．（2022·北京石景山·八年级期末）解分式方程：．
8．（2022·北京石景山·八年级期末）如图，在中，，，．AD平分交BC于点D．

（1）求BC的长；
（2）求CD的长．
9．（2022·北京石景山·八年级期末）列方程解应用题．
某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20％，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？
10．（2022·北京石景山·八年级期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小石的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：，
特例5：______（填写运算结果）．
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______．
（3）证明你的猜想．
（4）应用运算规律．
①化简：______；
②若（a，b均为正整数），则的值为______．
11．（2022·北京石景山·八年级期末）点P为等边的边AB延长线上的动点，点B关于直线PC的对称点为D，连接AD．

（1）如图1，若，依题意补全图形，并直接写出线段AD的长度；
（2）如图2，线段AD交PC于点E，
①设，求的度数；
②求证：．
12．（2022·北京石景山·八年级期末）在中，，，点P是线段CB上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作直线交AB于点Q．给出如下定义：若在AC边上存在一点M，使得点M关于直线l的对称点N恰好在的边上，则称点M是的关于直线l的“反称点”．

例如，图1中的点M是的关于直线l的“反称点”．
（1）如图2，若，点，，，在AC边上且，，，．在点，，，中，是的关于直线l的“反称点”为______；
（2）若点M是的关于直线l的“反称点”，恰好使得是等腰三角形，求AM的长；
（3）存在直线l及点M，使得点M是的关于直线l的“反称点”，直接写出线段CP的取值范围．
13．（2021·北京石景山·八年级期末）下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l及直线l上一点P．
求作：直线PQ，使得PQ⊥l．
作法：如图2：
①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，以大于AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接QA，QB．
∵QA＝　 　，PA＝　 　，
∴PQ⊥l （　 　）（填推理的依据）．

14．（2021·北京石景山·八年级期末）计算：．
15．（2021·北京石景山·八年级期末）计算：．
16．（2021·北京石景山·八年级期末）解方程：．
17．（2021·北京石景山·八年级期末）如图，ABC是等边三角形，D，E分别是BA，CB延长线上的点，且AD=BE．求证：AE = CD．

18．（2021·北京石景山·八年级期末）在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，请在图中画出2个形状不同的等腰三角形，使它的腰长为，且顶点都在格点上，则满足条件的形状不同的等腰三角形共 个．

19．（2021·北京石景山·八年级期末）已知，求代数式的值．
20．（2021·北京石景山·八年级期末）关于的分式方程的解是负数，求满足条件的整数的最大值．
21．（2021·北京石景山·八年级期末）创建文明城市，携手共建幸福美好．某地为美化环境，计划种植树木4800棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%，结果提前4天完成任务．求原计划每天植树的棵数．
22．（2021·北京石景山·八年级期末）某区为了了解本区内八年级男生的体能情况，从中随机抽取了40名八年级男生进行“引体向上”个数测试，将测试结果绘制成表格如下：
个数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
21
人数
1
1
6
8
11
4
1
2
2
1
1
2

请根据以上表格信息，解答如下问题：
（1）分析数据，补全表格信息
平均数
众数
中位数
6



（2）在平均数、中位数和众数中，选择一个你认为比较合适的统计量作为该区八年级男生“引体向上”项目测试的“合格标准”，并说明选择的理由．
（3）如果该区现有8000名八年级男生，根据（2）中选定的“合格标准”，估计该区八年级男生“引体向上”项目测试的合格人数．
23．（2021·北京石景山·八年级期末）如图，ABC中，AC=2AB=6，BC=．AC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．

（1）求BE的长；
（2）延长DE交AB的延长线于点F，连接CF．若M是DF上一动点，N是CF上一动点，请直接写出CM+MN的最小值为 ．
24．（2021·北京石景山·八年级期末）如图，射线AP∥BQ，分别作∠PAB，∠ABQ的角平分线，这两条射线交于点O，过点O作一条直线分别与射线AP，直线BQ交于点C，D（不与点A，B重合）．
（1）当CD⊥AP时，
①补全图形；
②若AC=a，BD=b，则AB的长为 (用含a，b的式子表示)．
（2）当CD与AP不垂直时，在备用图中补全图形，探索线段AB，AC，BD之间的数量关系，并证明．

25．（2020·北京石景山·八年级期末）计算：
26．（2020·北京石景山·八年级期末）计算：
27．（2020·北京石景山·八年级期末）解方程：
28．（2020·北京石景山·八年级期末）已知：，求代数式的值.
29．（2020·北京石景山·八年级期末）如图，在 4 ´ 4 的正方形网格中，有 5 个黑色小正方形.
（1）请你移动一个黑色小正方形，使移动后所形成的4 ´ 4 的正方形网格图形是轴对称图形．如：将 8 号小正方形移至 14 号；你的另一种做法是将 号小正方形移至 号（填写标号即可）；
（2）请你移动 2 个小正方形，使移动后所形成的图形是轴对称图形．你的一种做法是将 号小正方形移至 号、将 号小正方形移至 号（填写标号即可）.

30．（2020·北京石景山·八年级期末）已知：如图，AB =AE．∠C=∠F，∠EAC＝∠BAF． 求证：AC=AF.

31．（2020·北京石景山·八年级期末）下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．

已知：如图 1，线段 a 和线段 b．
求作：△ABC，使得 AB = AC，BC = a，BC 边上的中线为 b．
作法：如图 ，

① 作射线 BM，并在射线 BM 上截取 BC = a；
② 作线段 BC 的垂直平分线 PQ，PQ 交 BC 于 D；    
③ 以 D 为圆心，b 为半径作弧，交 PQ 于 A；
④ 连接 AB 和 AC．
则△ABC 为所求作的图形．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图 2 中的图形；
（2）完成下面的证明：    
证明：由作图可知 BC = a，AD = b．
∵ PQ 为线段 BC 的垂直平分线，点 A 在 PQ 上，
∴ AB = AC（ ）（填依据）．
又∵线段 BC 的垂直平分线 PQ 交 BC 于 D，
∴ BD=CD．（ ）（填依据）．
∴ AD 为 BC 边上的中线，且 AD = b．
32．（2020·北京石景山·八年级期末）甲、乙两个施工队共同完成某区域绿化改造工程，乙队先单独做 3 天后，再由两队合作 7 天完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的 2 倍，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？
33．（2020·北京石景山·八年级期末）.如图，△ ABC 中， ，且 AD = AC ．若 ÐABC = 45° ， D 是 BC 边上一点，BD - DC = 1 ．求 DC 的长.

34．（2020·北京石景山·八年级期末）已知：如图△ ABC ，直线l .求作：点 P . 使得点 P 在直线l 上，且点 P 、点 A 、点 B 构成的三角形为等腰三角形（保留作图痕迹，不必写出作法）.
解：（1）满足条件的点共有 个；
（2）在图中用尺规作图作出满足条件的点 P （保留作图痕迹，不必写出作法）.

35．（2020·北京石景山·八年级期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式.例如:
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时， 我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.
例如：像 ， …，这样的分式是假分式；像，…，这样
的分式是真分式.类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式.
解决下列问题:
（1）将分式 化为整式与真分式的和的形式为： .（直接写出结果即可）
（2）如果的值为整数，求x的整数值.
36．（2020·北京石景山·八年级期末）如图，在等边△ABC 中，点 D 是线段 BC 上一点.作射线 AD ，点 B 关于射线 AD 的对称点为 E .连接 EC 并延长，交射线 AD 于点 F .

（1）补全图形；（2）求∠AFE 的度数；（3）用等式表示线段 AF 、CF 、 EF 之间的数量关系，并证明.

参考答案：
1．
【分析】分别化简二次根式、绝对值，计算立方根和利用二次根式的性质计算，再相加减即可．
【详解】解：原式=
=．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简、同类二次根式的合并、立方根和化简绝对值，掌握二次根式的性质以及能正确化简绝对值是解题关键．
2．
【分析】原式利用完全平方公式，以及单项式乘多项式法则计算，合并即可得到结果．
【详解】解：原式，
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则及二次根式性质．
3．证明见解析．
【分析】先根据角的和差可得，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：，
，
，
，
，
在和中，，
，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
4．1
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算即可．
【详解】解：，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题的关键是正确掌握运算法则．
5．（1）见解析；（2）QB，三线合一
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用等腰三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：（1）如图，直线PQ即为所求作．

（2）理由：连接QA，QB．
∵QA=QB，PA=PB，
∴PQ⊥l（三线合一）．
故答案为：QB，三线合一．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6．，
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将的值代入计算即可求出值．
【详解】解：，
，
，
当时，
．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握运算法则．
7．
【分析】此题只需按照求分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，最后进行检验即可．
【详解】解：
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并得，
系数化为1，得：
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解是：
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
8．（1）；（2）3．
【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得DE=DC，利用面积法得到关于CD的方程，求解即可．
【详解】解：（1）∵AB=10，AC=6，
∴BC=；
（2）作DE⊥AB于E，

∵AD平分∠CAB，
∴DE=DC，
∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，
∴×10×DE+×6×CD=×6×8，
∴CD=3．
【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
9．30米
【分析】设引进新设备前工程队每天建造道路米，则引进新设备后工程队每天改造米，利用工作时间工作总量工作效率，结合共用22天完成了任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设引进新设备前工程队每天建造道路米，则引进新设备后工程队每天改造米，
依题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：引进新设备前工程队每天建造道路30米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
10．（1）；（2）；（3）见解析；（4）①；②
【分析】（1）根据题目中的例子可以写出例5；
（2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想；
（3）根据（2）中的猜想，对等号左边的式子化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题；
（4）①②根据（2）中的规律即可求解．
【详解】解：（1），
故答案是：；
（2），
故答案是：；
（3）证明：
左边，
又右边，
左边右边，
成立；
（4）①，
故答案是：；
②，
根据，
得，
解得：，（舍去），
，
故答案是：．
【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．
11．（1）．（2）①；②证明见解析．
【分析】（1）连接DP，BD，可证明△BPD为等边三角形，再结合等腰三角形的性质和三角形外角的性质证明∠BAD=∠BDA=30°，可得∠ADP=90°，利用勾股定理即可得出结论；
（2）①连接BD与CP交于F，连接DC，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得和，从而可求得，根据轴对称图形对应点连接线段被对称轴垂直平分、三角形内角和定理、对顶角相等可求得的度数；②连接BE，在AE上截取GE=CE，可证明△GCE为等边三角形和△ACG≌△BCE，结合等量代换即可证明结论．
【详解】解：（1）补全图形如下，连接DP，BD，

∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，AB=BC=2，
又∵∠BCP+∠BPC=∠ABC=60°，BC=BP，
∴∠BCP=∠BPC=30°，
∵点B关于直线PC的对称点为D，
∴BP=DP，∠BPC=∠DPC=30°，
∴∠BPD=60°，△BPD为等边三角形，
∴∠DBP=60°，DP=BD=BP=AB=2,
∴∠BAD=∠BDA，
又∵∠BAD+∠BDA=∠DBP=60°，
∴∠BAD=∠BDA=30°，
∴∠ADP=90°，
∴．
（2）①如下图所示，连接BD与CP交于F，连接DC，

由（1）可知∠ACB=60°，AC=BC，
∵点B关于直线PC的对称点为D，
∴BC=CD=AC，，∠CFD=90°，
∴,
,
∴，
∴，
②如下图，连接BE，在AE上截取GE=CE，
由①得，
∵GE=CE，
∴△GCE为等边三角形，
∴GC=CE,∠GCE=60°，
由（1）得∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ACG=∠BCE=60°-∠BCG，
在△ACG和△BCE中
∵,
∴△ACG≌△BCE（SAS）
∴AG=BE，
∵点B关于直线PC的对称点为D，
∴BE=DE，
∴．

【点睛】本题考查轴对称的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形外角和内角的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等．（1）中能正确构造直角三角形并证明是解题关键；（2）①中掌握等边对等角定理，并能利用三角形内角和定理表示等腰三角形的底角是解题关键；③中掌握割补法是解题关键．
12．（1）和；（2）3或或6；（3）
【分析】（1）根据反称点的定义进行判断即可；
（2）是等腰三角形分三种情况讨论求解即可；
（3）根据“反称点的定义”判断出CP的取值范围即可．
【详解】解：（1）∵CP=1
∴M点到PQ的距离为1
∵M、N关于PQ对称，
∴N点到PQ的距离为1
∴MN=2
如图，在外部，在内部，均不符合题意，

∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴在AB边上，
∵，
∴与点C重合，与关于PQ对称，在BC上，
∴点，，，中，是的关于直线l的“反称点”为和
故答案为：和
（2）是等腰三角形分三种情况：如图，

①当时，
∵是等腰直角三角形
∴是AB边的中点，
②当时，此时
∵//BC
∴
∵
∴是等腰直角三角形，且
∴
∴
∴
③当时，此时，与点B重合，与点C重合，
∴=AC=6
综上，AM的长为3或或6；
（3）如图，

∵M是AC边上的点，CB=6
∴当时，在AC边上至少有一个点M关于PQ的对称点在AB边上，
当时，如图所示，此时AC上的所有点到的距离都大于3，即，
M关于的对称点都在的外部，
∴
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，对称的性质等知识，正确理解反对称点的定义是解答本题的关键
13．（1）见解析；（2）QB，PB，等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合．
【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据等腰三角形的性质即可完成证明．
【详解】解：（1）补全的图形如图2所示：

（2）证明：连接QA，QB．
∵QA＝QB，PA＝PB，
∴PQ⊥l （等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）．
故答案为：QB；PB；等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合．
【点睛】本题考查了作图-基本作图、等腰三角形的性质，解决本题的关键掌握等腰三角形的性质．
14．0
【分析】根据立方根定义、平方根定义、零指数幂定义依次化简再计算加减法．
【详解】
=3-4+1
=0．
【点睛】此题考查实数的计算，掌握立方根定义、平方根定义、零指数幂定义是解题的关键．
15．
【分析】根据二次根式混合运算的运算顺序，先算乘除，再将二次根式化成最简二次根式，最后合并同类二次根式即可得出结果．
【详解】解：



．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算的相关运算法则是解题的关键．
16．
【分析】方程两边同时乘以分母的最简公分母，将分式方程整理成一元一次方程，求解即可．
【详解】解：
方程两边同时乘以可得：，
整理得：，
解得，
经检验，是分式方程的解．
【点睛】本题考查解分式方程，掌握分式方程的求解方法是解题的关键，最后要记得验根．
17．证明见解析
【分析】通过证明≌即可得证．
【详解】解：∵ABC是等边三角形，D，E分别是BA，CB延长线上的点，
∴，，
在和中，
，
∴≌，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
18．画图见解析，5
【分析】根据等腰三角形的定义作图即可求解．
【详解】解：如图，和是腰长为的等腰三角形，作图如下：
，
可画出满足条件的形状不同的等腰三角形有、、、、共5种．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．
19．，
【分析】先根据分式的运算法则进行化简，然后整体代入即可求解．
【详解】解：原式


，
∵，
∴原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握整体代入思想是解题的关键．
20．-4
【分析】先解分式方程，求出x=2+m，根据方程的解是负数，且，列得2+m