4.1 指数-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

指数

1 指数运算

(1) 次方根与分数指数幂

一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.

式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.

负数没有偶次方根；的任何次方根都是.

注意：(1)    (2)当是奇数时，，当是偶数时，

【例】若，则等于       .

解 ，是的次方根，且有两个，互为相反数，

记为，故.

【例】求值， .

解 ， .

(2) 正数的正分数指数幂的意义

① 正数的正分数指数幂的意义，规定：

巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母)

【例】把下列根式和指数幂相互转化：，，，.

解 ，，，.

② 正数的正分数指数幂的意义：

③ 的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义.

(3) 实数指数幂的运算性质

① ；           

② ；

③ .  

【题型1】指数幂运算

【典题1】 若，则等于       .

解析 ，，

．

点拨 指数幂的运算要注意底数之间的关系.

【典题2】求值.

解析 原式

.

点拨 一般可以带分数化假分数、小数化分数、根式化幂、整数化幂.

【巩固练习】

1.若，则等于(　　)

A．  B．  C．  D．

答案

解析 ，则．故选：．

2.若，则的值为(　　)

A．  B．  C．  D．

答案

解析 ，故选：．

3.计算：

答案

解析 原式.

4.计算：

答案

解析 原式.

【题型二】条件求值问题

【典题1】已知，则的值为______.

解析 由，两边平方得，则，

所以.

点拨 注意，，之间平方的关系.

【巩固练习】

1.已知，则(　　)

答案

解析 知，可得，，

．

故选：．

2.若，则的值为(　　)

A．  B．  C．  D．

答案

解析 ，，．

故选：．

3.已知是方程的两根，且，求的值．

答案

解析 是方程的根，

由根与系数关系得，

又，．

，

．