3.3 幂函数-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

幂函数

1 幂函数的定义

一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数．

注 (1)注意幂函数中的系数是，底数是变量，指数是常数；

【例】下列是幂函数的是    (    )

A.   B.     C.         D.

解 的底数是常数，的系数不是，的底数不是，它们均不是幂函数，只有符合.

2正数的正分数指数幂的意义

(1)正数的正分数指数幂的意义，规定：

巧记子内母外(根号内的作分子，根号外的作为分母)

(2)正数的正分数指数幂的意义：

Eg ，，.

(3)的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义.

3幂函数图像及其性质

(1) 幂函数的图象．

(2) 幂函数的性质

(3)性质

① 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；

② 时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数．

特别地，当时，幂函数变化快，图象下凹；当时，幂函数变化慢，图象上凸.

Eg 图象上凸，图象下凹，在上是增函数．

③ 时，幂函数的图象在上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．

Eg ，

【题型1】幂函数的概念

【典题1】已知函数是幂函数，则______．

解析 由题意知，若为幂函数，则．

即，解得或．

巩固练习

1. 已知函数是幂函数，则的值为  　  ．

答案

解析 依题意得，，，则，.

2.已知幂函数的图象经过点，则的值为  　 ．

答案    

解析 幂函数过点，，解得，

，.

【题型2】幂函数的图象及其性质

【典题1】函数在第一象限内的图象依次是图中的曲线(　　)

A.，，，     B.，，，   C.，，，    D.，，，

解析 由于在第一象限内直线的右侧时，

幂函数的图象从上到下相应的指数由大变小(令可知)，

故指数由大变小排列，幂函数在第一象限内的图象为分别为，，，，

故选. 

【典题2】 已知幂函数过点，则的解析式是       ，定义域是       ，

在上的单调性是       .

解析 是幂函数，设，

又过点， ，即，

，，即定义域是，

在上单调递增，在上单调递减，

其函数图象如下，

点拨 利用待定系数法求解函数解析式，注意指数幂的变化.

【典题3】已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，则          .

解析 幂函数在上是减函数，

则，解得；

又，，，；

当时，，是奇函数，图象关于原点对称；

当时，，是偶函数，其图象关于轴对称；

当时，，是奇函数，图象关于原点对称.

综上，的值是或．

点拨 幂函数，时在上是增函数；时在上是减函数．

巩固练习

1.图中曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取四个值，则相应于曲线，的依次为   (　　)

   ． ．

答案    

解析 根据指数函数的单调性，时，，

相应于曲线，，，的依次为．

故选：．

2.下列命题中：

①幂函数的图象都经过点和点；

②幂函数的图象不可能在第四象限；

③当时，幂函数的图象是一条直线；

④当时，幂函数是增函数；

⑤当时，幂函数在第一象限内的函数值随的值增大而减小．

其中正确的是(　　)

A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤

答案    

解析 ①幂函数的图象都经过点，但不一定经过点，比如，故错误；

②幂函数的图象不可能在第四象限，故正确；

③当时，幂函数的图象是一条直线去除点，故错误；

④当时，如，幂函数在上是增函数，但在整个定义域为不一定是增函数，故错误；

⑤当时，幂函数在上是减函数，即幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小，故正确．

故选：．

3.函数的图象是(　　)

A． B．C． D．

答案    

解析 函数的定义域是，排除选项和，

又，曲线应该是下凸型递增抛物线．故选：．

4.已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则　  　．

答案    

解析 ，

幂函数为奇函数，且在上递减，

是奇数，且，

．

5.已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式．

答案    

解析 是偶函数，为偶数．

又在上是减函数，

，即．，或．

当时，为偶数，当时，为偶数．

的解析式为．

【题型3】幂函数的应用

【典题1】比较下列各组数的大小．

(1) 和；       (2) 和；

解析 (1)函数在上为减函数，

又，．

(2)，函数在上为增函数，

又，，从而．

点拨 注意式子的结构，通过构造函数，利用其单调性比较大小.

【典题2】已知为幂函数，且为奇函数．

(1)求函数的解析式；(2)解不等式．

解析 (1为幂函数，

，解得或；

又为奇函数，，

函数；

(2)由是定义域上的增函数，且不等式

化为，

，解得，

不等式的解集是．

巩固练习

1. 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是　   　．

答案    

解析 幂函数在上是减函数，

，解得，

，或．

当时，为偶函数满足条件，

当时，为奇函数不满足条件，

则不等式等价为，即，

在和上都为增函数，

或，解得：.