人教版八年级下册18.2.2 菱形练习

这是一份人教版八年级下册18.2.2 菱形练习，共16页。

A．(4，3)B．(5，4)C．(6，4)D．(7，3)
【答案】C
【解析】解：如图，过点C作x轴的垂线，垂足为E，
∵S菱形ABCD＝20，
∴AB•CE＝20，即5CE＝20，
∴CE＝4，
在Rt△BCE中，BC＝AB＝5，CE＝4，
∴BE＝3，
∴AE＝AB+BE＝5+3＝8．
又∵A(﹣2，0)，
∴OA＝2，
∴OE＝AE﹣OA＝8﹣2＝6，
∴C(6，4)，
故选：C．
2．(2018春•长安区期末)数学课上探究“菱形的两条对角线互相垂直”时，甲乙两同学分别给出各自的证明：
已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．
求证：AC⊥BD
则关于两人的证明过程，说法正确的是( )
A．甲、乙两人都对B．甲对，乙不对
C．乙对，甲不对D．甲、乙两人都不对
【答案】A
【解析】解：甲乙两同学分别给出各自的证明都是正确的，
甲是利用全等三角形的性质证明∠AOB＝∠AOD＝90°的．
乙是利用等腰三角形的三线合一的性质证明AC⊥BD的．
故选：A．
3．(2018春•蜀山区期末)在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，点E为AB边的中点，点P与点A关于DE对称，连接DP、BP、CP，下列结论：①DP＝CD；②AP2+BP2＝CD2；③∠DCP＝75°；④∠CPA＝150°，其中正确的是( )
A．①②B．①②④C．③④D．①②③④
【答案】B
【解析】解：如图，设DE交AP于O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC＝AB，
∵A、P关于DE对称，
∴DE⊥AP，OA＝OP，
∴DA＝DP，
∴DP＝CD，故①正确，
∵AE＝EB，AO＝OP，
∴OE∥PB，
∴PB⊥PA，
∴∠APB＝90°，
∴PA2+PB2＝AB2＝CD2，故②正确，
若∠DCP＝75°，则∠CDP＝30°，
∵∠ADC＝60°，
∴DP平分∠ADC，显然不符合题意，故③错误，
∵∠ADC＝60°，DA＝DP＝DC，
∴∠DAP＝∠DPA，∠DCP＝∠DPC，
∴∠CPA(360°﹣60°)＝150°，故④正确，
故选：B．
4．(2018春•江油市期末)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是( )
A．20°B．25°C．30°D．40°
【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH＝OD＝OB，
∴∠1＝∠DHO.
∵DH⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠2+∠DCO＝90°，
∴∠1＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠DCA＝20°，
∴∠DHO＝20°，
故选：A．
5．(2018春•莘县期末)菱形ABCD的边长1，面积为，则AC+BD的值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AOAC，BOBD，
∵面积为，
∴•AC•DB，
AC•BD，
∵AO2+BO2＝12，
∴(AC)2+(BD)2＝1，
AC2+BD2＝4，
AC2+BD2+2AC•BD＝4，
∴AC+BD，
故选：B．
6．(2018秋•焦作期末)菱形ABCD的周长为52cm，一条对角线的长为24cm，则该菱形的面积为_____cm2．
【答案】120
【解析】解：∵菱形ABCD的周长等于52cm，
∴边长＝52÷4＝13cm.
∵AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，BD＝24，
∴OA＝5，
∴AC＝10，
∴菱形的面积为10×24÷2＝120cm2．
故答案为：120．
7．(2018春•姜堰区期末)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若AH＝DH，则∠DHO＝_______．
【答案】22.5°
【解析】解：∵AH＝DH，DH⊥AB，
∴∠DAH＝∠ADH＝45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAO∠DAB＝22.5°，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，∠ADO＝67.5°，
∴∠HDO＝∠ADO﹣∠ADH＝22.5°，
∵∠DHB＝90°，DO＝OB，
∴OH＝OD，
∴∠DHO＝∠HDO＝22.5°
故答案为22.5°.
8．(2018春•宁城县期末)如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为_______．
【答案】6
【解析】解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都是3，
∴S四边形ABCD＝AB×3＝BC×3，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．
如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝2BE，
在△ABE中，AB2＝BE2+AE2，
即AB2AB2+32，
解得AB＝2，
∴S四边形ABCD＝BC•AE＝23＝6．
故答案是：6．
9．(2018春•高新区期末)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则BG＝___．
【答案】5
【解析】解：∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD＝DFAC，
∴四边形BGFD是菱形，
设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，
∴AF2+CF2＝AC2，即(13﹣x)2+62＝(2x)2，
解得：x＝5，
即BG＝5．
故答案是：5．
10．(2018春•黔东南州期末)如图是由6个形状大小完全相同菱形组成的网格，若菱形的边长为1，一个内角(∠O)为60°，△ABC的各顶点都在格点上，则BC边上的高为_______．
【答案】
【解析】解：如图，连接EA，EC，
∵菱形的边长为1，由题意得∠AEF＝30°，∠BEF＝60°，AE，
∴∠AEC＝90°，
∵∠ACE＝∠ACG＝∠BCG＝60°，
∴∠ECB＝180°，
∴E、C、B共线，
∴AE即为△ACB的BC边上的高，
∴AE，
故答案为．
11．(2018春•白山期末)如图，ABCD为矩形纸片，E、F分别为AB、DC上的点，将此矩形两次翻折，EM和FN为折痕，其中A′、D′分别为A、D的对应点，且点A′在射线EF上；B′、C′分别为B、C的对应点，且点C′在射线FE上．
(1)求证：四边形ENFM为平行四边形；
(2)若四边形ENFM为菱形，求∠EMF的度数．
【答案】见解析
【解析】证明：(1)∵矩形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠CFE＝∠AEF，
由翻折可得：∠AEM＝∠MEF，∠CFN＝∠EFN，
∴∠MEF＝∠EFN，
∴ME∥FN，
∴四边形ENFM是平行四边形；
(2)∵四边形ENFM为菱形，
∴MF＝ME，
∴∠MFE＝∠MEF，
∵AB∥CD，
∴∠MFE＝∠FEN，
∵∠AEM＝∠MEF，
∵∠AEM+∠MEF+∠FEN＝180°，
∴∠AEM＝60°，
∴∠EMF＝60°．
12．(2018春•宜宾期末)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°．点E、F分别是边AB、AD上的点，且满足∠BCE＝∠DCF，连结EF．
(1)求证：△CEF为等腰三角形；
(2)若AF＝2，求△AEF的面积；
(3)若G是CE的中点，连结BG并延长交DC于点H，连结FH，求证：BF＝FH．
【答案】见解析
【解析】解：(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴CD＝CB，∠CDF＝∠CBE，
在△CDF和△CBE中

∴△CDF≌△CBE(AAS)，
∴CF＝CE，
∴△CEF为等腰三角形；
(2)∵△CDF≌△CBE，
∴DF═BE，
∵AD＝AB，
∴AF＝AE，
又∵∠A＝60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝AF＝2，
作FM⊥AB于点M，
∴，
∴FM2＝AF2﹣AM2，
∴，
∴；
(3)证明：∵G是CE中点，
∴CG＝EG，
∵AB∥CD，
∴∠HCG＝∠BEG，
在△CHG和△EBG中

∴△CHG≌△EBG(ASA)，
∴HC＝BE，
由(1)知：△CDF≌△CBE，
∴DF＝BE，
∵DC＝AB，HC＝BE，
∴DH＝AE，
又∵AE＝EF，
∴DH＝EF，
又∵∠BEF＝180°﹣∠FEA＝120°，
∴∠D＝∠FEB＝120°，
在△DFH和△EFB中

∴△DFH≌△EFB(SAS)，
∴BF＝FH．
13．(2018春•锦江区期末)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长AC到E，使CE＝CO，连接EB，ED．
(1)求证：EB＝ED；
(2)过点A作AF⊥AD，交BC于点G，交BE于点F，若∠AEB＝45°，
①试判断△ABF的形状，并加以证明；
②设CE＝m，求EF的长(用含m的式子表示)．
【答案】见解析
【解析】解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴EA⊥BD，OB＝OD，
∴EB＝ED
(2)①结论：△ABF是等腰三角形(AB＝AF)；
理由：∵∠AEB＝45°，EO⊥OB，
∴△BOE是等腰直角三角形，
∴∠OBE＝∠OEB＝45°，
∵AG⊥BC，
∴∠AGB＝∠BOC＝90°，
∴∠GAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠OBC＝90°，
∴∠CAG＝∠CBO＝∠ABO，
∵∠ABF＝∠ABO+∠OBE＝∠ABO+45°，∠AFB＝∠CAG+∠AEB＝∠CAG+45°，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AB＝AF，
∴△ABF是等腰三角形．
②作EH⊥AF交AF的延长线于H．
由题意CE＝OC＝OA＝m，OB＝AC═OD＝2m，AE＝3m，AB＝AFm，
tan∠CBO＝tan∠CAG，
∴EHm，AHm，
∴FH＝AH﹣AFm，
在Rt△EFH中，EFm．
14．(2018春•房山区期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，分别过点A，C作AE∥DC，CE∥AB，两线交于点E．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)如果∠B＝60°，BC＝2，求四边形AECD的面积．
【答案】见解析
【解析】解：(1)证明：∵AE∥DC，CE∥AB，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AD，
∴四边形AECD是菱形；
(2)连接DE．
∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAC＝30°
∴AB＝4，AC＝2，
∵四边形AECD是菱形，
∴EC＝AD＝DB，
又∵EC∥DB
∴四边形ECBD是平行四边形，
∴ED＝CB＝2，
∴S菱形AECDAC×ED＝2．
15．(2018春•镇原县期末)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，点F在BD上，且 BE＝DF 连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．
(1)求证：△AOE≌△COF；
(2)若AC平分∠HAG，求证：四边形AGCH是菱形．
【答案】见解析
【解析】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF(SAS)；
(2)由(1)得△AOE≌△COF，
∴∠OAE＝∠OCF，
∴AE∥CF，
∵AH∥CG，
∴四边形AGCH是平行四边形；
∵AC平分∠HAG，
∴∠HAC＝∠GAC，
∵AH∥CG，
∴∠HAC＝∠GCA，
∴∠GAC＝∠GCA，
∴CG＝AG；
∴▱AGCH是菱形．
16．(2018春•皇姑区期末)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
(1)证明四边形ADCF是菱形；
(2)若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
【答案】见解析
【解析】解：(1)证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE(AAS)；
∴AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DCBC，
∴四边形ADCF是菱形；
(2)连接DF，
∵AF∥BC，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴SAC•DF＝10．