中考数学专题复习 专题26 菱形

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中考数学总复习六大策略
1、学会运用函数与方程思想。
从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。

专题26 菱形问题

1.菱形的定义 ：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质
（1） 菱形的四条边都相等；
(2)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
3.菱形的判定定理
(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形；
(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
(3)四条边相等的四边形是菱形。
4．菱形的面积：S=ah=mn/2(菱形底边长为a，高为h，两条对角线长分别为m和n)

【例题1】(2020•牡丹江)如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是(　　)

A．(0，23) B．(2，﹣4)
C．(23，0) D．(0，23)或(0，﹣23)
【答案】D
【解析】分点C旋转到y轴正半轴和y轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解．
根据菱形的对称性可得：当点D在x轴上时，
A、B、C均在坐标轴上，如图，
∵∠BAD＝60°，AD＝4，
∴∠OAD＝30°，
∴OD＝2，
∴AO=42−22=23=OC，
∴点C的坐标为(0，−23)，

同理：当点C旋转到y轴正半轴时，
点C的坐标为(0，23)，
∴点C的坐标为(0，23)或(0，−23).
【对点练习】(2019泸州)一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为(　　)
A．8 B．12 C．16 D．32
【答案】C
【解析】如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO=12AC，DO＝BO=12BD，AC⊥BD，
∵面积为28，
∴12AC•BD＝2OD•AO＝28 ①
∵菱形的边长为6，
∴OD2+OA2＝36 ②，
由①②两式可得：(OD+AO)2＝OD2+OA2+2OD•AO＝36+28＝64．
∴OD+AO＝8，
∴2(OD+AO)＝16，即该菱形的两条对角线的长度之和为16．
【例题2】(2020•营口)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为　 　．

【答案】4
【解析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．
∵OA＝1，OB＝2，
∴AC＝2，BD＝4，
∴菱形ABCD的面积为12×2×4＝4．
【对点练习】(2019湖北十堰)如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为　 　 　．

【答案】24
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，
∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴CD＝2OE＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24
【例题3】(2020•福建)如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．

【答案】见解析。
【解析】根据菱形的性质可得∠B＝∠D，AB＝AD，再证明△ABE≌△ADF，即可得∠BAE＝∠DAF．
证明：四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD，
在△ABE和△ADF中，
AB=AD∠B=∠DBE=DF，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴∠BAE＝∠DAF．
【对点练习】(2019湖南岳阳)如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，
求证：∠1＝∠2．

【答案】见解析．
【解析】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
在△ADF和△CDE中，，
∴△ADF≌△CDE(SAS)，
∴∠1＝∠2．

一、选择题
1．(2020•黄冈)若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为(　　)
A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：1
【答案】B
【解析】如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，利用菱形的性质得到AB＝4，利用正弦的定义得到∠B＝30°，则∠C＝150°，从而得到∠C：∠B的比值．
如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，
∵菱形的周长为16，
∴AB＝4，
在Rt△ABH中，sinB=AHAB=24=12，
∴∠B＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝150°，
∴∠C：∠B＝5：1．

2．(2020•盐城)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为(　　)

A．125 B．52 C．3 D．5
【答案】B
【解析】先根据菱形的性质得到AC⊥BD，OB＝OD=12BD＝4，OC＝OA=12AC＝3，再利用勾股定理计算出BC，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到OH的长．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD=12BD＝4，OC＝OA=12AC＝3，
在Rt△BOC中，BC=32+42=5，
∵H为BC中点，
∴OH=12BC=52．
3．(2020•乐山)如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连结OA．则四边形AOED的周长为(　　)

A．9+23 B．9+3 C．7+23 D．8
【答案】B
【解析】先利用菱形的性质得AD＝AB＝4，AB∥CD，∠ADB＝∠CDB＝30°，AO⊥BD，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AO＝2，OD＝23，然后计算出OE、DE的长，最后计算四边形AOED的周长．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝4，AB∥CD，
∵∠BAD＝120°，∴∠ADB＝∠CDB＝30°，
∵O是对角线BD的中点，∴AO⊥BD，
在Rt△AOD中，AO=12AD＝2，
OD=3OA＝23，
∵OE⊥CD，∴∠DEO＝90°，
在Rt△DOE中，OE=12OD=3，
DE=3OE＝3，
∴四边形AOED的周长＝4+2+3+3＝9+3．
4．(2020•甘孜州)如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为(　　)

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD＝8，AC⊥BD，则∠AOB＝90°，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵菱形ABCD的周长为32，
∴AB＝8，
∵E为AB边中点，
∴OE=12AB＝4．
5．(2020•遵义)如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为(　　)

A．125 B．185 C．4 D．245
【答案】D
【解析】由在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，利用菱形的性质以及勾股定理，求得OB的长，继而可求得BD的长，然后由菱形的面积公式可求得线段DE的长．如图．
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，OA=12AC＝3，BD＝2OB，
∵AB＝5，
∴OB=AB2−OA2=4，
∴BD＝2OB＝8，
∵S菱形ABCD＝AB•DE=12AC•BD，
∴DE=12AC⋅BDAB=12×6×85=245．

6.(2019内蒙古赤峰)如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是(　　)

A．2.5 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD为菱形，
∴CD＝BC=204=5，且O为BD的中点，
∵E为CD的中点，
∴OE为△BCD的中位线，
∴OE=12CB＝2.5
7.(2019•四川省绵阳市)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC=60°，则对角线交点E的坐标为(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】过点E作EF⊥x轴于点F，
∵四边形OABC为菱形，∠AOC=60°，
∴=30°，∠FAE=60°，
∵A(4，0)，
∴OA=4，
∴=2，
∴，EF===，

∴OF=AO-AF=4-1=3，
∴．
8.(2019•四川省广安市)如图，在边长为的菱形中，，过点作于点，现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，AF与CD交于点G则CG等于( )


A. B.1 C. D. .
【答案】A
【解析】因为∠B=30°，AB=，AE⊥BC，
所以BE=，所以EC=-，
则CF=3-，
又因为CG∥AB，
所以,
所以CG=.
9.(2019四川省雅安市)如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC、BD是对角线 ，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH的形状是( )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

【答案】C
【解析】由点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，根据三角形中位线性质，得EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，又由AB=CD，得EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形．
∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，∴EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，∵AB=CD，∴EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形，故选C．
10. (2019·贵州安顺)如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：
①分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；
②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE．
则下列说法错误的是(　　)

A．∠ABC＝60° B．S△ABE＝2S△ADE
C．若AB＝4，则BE＝4 D．sin∠CBE＝
【答案】C
【解析】由作法得AE垂直平分CD，即CE＝DE，AE⊥CD，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝CD＝2DE，AB∥DE，
在Rt△ADE中，cosD＝＝，
∴∠D＝60°，
∴∠ABC＝60°，所以A选项的结论正确；
∵S△ABE＝AB•AE，S△ADE＝DE•AE，
而AB＝2DE，
∴S△ABE＝2S△ADE，所以B选项的结论正确；
若AB＝4，则DE＝2，
∴AE＝2，
在Rt△ABE中，BE＝＝2，所以C选项的结论错误；
作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图，
设AB＝4a，则CE＝2a，BC＝4a，BE＝2a，
在△CHE中，∠ECH＝∠D＝60°，
∴CH＝a，EH＝a，
∴sin∠CBE＝＝＝，所以D选项的结论正确．
故选：C．

二、填空题
11．(2020•陕西)如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为　 　．

【答案】27．
【解析】过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，可得BG＝3，AG＝33=EH，由题意可得，FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，进而根据勾股定理可得EF的长．
如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，
得矩形AGHE，
∴GH＝AE＝2，

∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，
∴BG＝3，AG＝33=EH，
∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，
∵EF平分菱形面积，
∴FC＝AE＝2，
∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，
在Rt△EFH中，根据勾股定理，得
EF=EH2+FH2=27+1=27．
12．(2020•哈尔滨)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为　 　．

【答案】22．
【解析】设BE＝x，则CD＝2x，根据菱形的性质得AB＝AD＝CD＝2x，OB＝OD，AC⊥BD，再证明DE＝DA＝2x，所以1+x=32x，解得x＝2，然后利用勾股定理计算OA，再计算AE的长．
设BE＝x，则CD＝2x，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝CD＝2x，OB＝OD，AC⊥BD，
∵∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝DA＝2x，
∴BD＝3x，
∴OB＝OD=32x，
∵OE+BE＝BO，
∴1+x=32x，解得x＝2，
即AB＝4，OB＝3，
在Rt△AOB中，OA=42−32=7，
在Rt△AOE中，AE=12+(7)2=22．
13．(2020•嘉兴)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：　 　，使▱ABCD是菱形．

【答案】AD＝DC(答案不唯一)．
【解析】根据菱形的定义得出答案即可．
∵邻边相等的平行四边形是菱形，
∴平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：AD＝DC.
14.(2019广西北部湾)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交与点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则AH= .

【答案】.
【解析】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式，根据菱形面积=对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=DO=4，AO=CO，AC⊥BD，
∴BD=8.
∵S菱形ABCD=AC×BD=24，∴AC=6，∴OC=AC=3，
∴BC==5，
∵S菱形ABCD=BC×AH=24，∴AH=.
15．(2019内蒙古通辽)如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是　 　．

【答案】﹣1
【解析】过点M作MH⊥CD交CD延长线于点H，连接CM，

∵AM＝AD，AD＝CD＝3
∴AM＝1，MD＝2
∵CD∥AB，
∴∠HDM＝∠A＝60°
∴HD＝MD＝1，HM＝HD＝
∴CH＝4
∴MC＝＝
∵将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，
∴AM＝A'M＝1，
∴点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，
∴当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值
∴A'C长度的最小值＝MC﹣MA'＝﹣1
16．(2019湖南常德)规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四
边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边
形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N
的坐标分别为(0，1)，(0，﹣1)，P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一
点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是　 　．(填
序号)
【答案】①②④．
【解析】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；
②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；
③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；
④设点P(m，m2)，则Q(m，﹣1)，
∴MP＝＝，PQ＝+1，
∵点P在第一象限，
∴m＞0，
∴MP＝+1，
∴MP＝PQ，
又∵MN∥PQ，
∴四边形PMNQ是广义菱形．
④正确；
故答案为①②④．
17.(2019广西梧州)如图，在菱形中，，，将菱形绕点逆时针方向旋转，对应得到菱形，点在上，与交于点，则的长是　　．

【答案】
【解析】连接交于，如图所示：
四边形是菱形，
，，，，，
，
，
，
由旋转的性质得：，，
，
四边形是菱形，，
，
，，
，，
。

三、解答题
18．(2020•滨州)如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．
(1)求证：△PBE≌△QDE；
(2)顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．

【答案】见解析。
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EB＝ED，AB∥CD，
∴∠EBP＝∠EDQ，
在△PBE和△QDE中，∠EBP=∠EDQEB=ED∠BEP=∠DEQ，
∴△PBE≌△QDE(ASA)；
(2)证明：如图所示：
∵△PBE≌△QDE，
∴EP＝EQ，
同理：△BME≌△DNE(ASA)，
∴EM＝EN，
∴四边形PMQN是平行四边形，
∵PQ⊥MN，
∴四边形PMQN是菱形．

19．(2020•郴州)如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形BEDF是菱形．

【答案】见解析。
【解析】四边形ABCD是菱形，可得AB＝BC＝CD＝DA，∠DCA＝∠BCA，∠DAC＝∠BAC，可以证明△CDF≌△CBF，△DAE≌△BFC，△DCF≌△BEA，进而证明平行四边形BEDF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，
∴∠DCF＝∠BCF，
∵CF＝CF，
∴△CDF≌△CBF(SAS)，
∴DF＝BF，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵AE＝CF，DA＝AB，
∴△DAE≌△BFC(SAS)，
∴DE＝BF，
同理可证：△DCF≌△BEA(SAS)，
∴DF＝BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵DF＝BF，
∴平行四边形BEDF是菱形．
20. (2019•海南省)如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点(与点A、D不重合)，射线PE与BC的延长线交于点Q．
(1)求证：△PDE≌△QCE；
(2)过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB＝PQ时，
①求证：四边形AFEP是平行四边形；
②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．

【解析】(1)由四边形ABCD是正方形知∠D＝∠ECQ＝90°，由E是CD的中点知DE＝CE，结合∠DEP＝∠CEQ即可得证；
(2)①由PB＝PQ知∠PBQ＝∠Q，结合AD∥BC得∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，由△PDE≌△QCE知PE＝QE，再由EF∥BQ知PF＝BF，根据Rt△PAB中AF＝PF＝BF知∠APF＝∠PAF，从而得∠PAF＝∠EPD，据此即可证得PE∥AF，从而得证；
②设AP＝x，则PD＝1﹣x，若四边形AFEP是菱形，则PE＝PA＝x，由PD2+DE2＝PE2得关于x的方程，解之求得x的值，从而得出四边形AFEP为菱形的情况．
【解答】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ECQ＝90°，
∵E是CD的中点，∴DE＝CE，
又∵∠DEP＝∠CEQ，
∴△PDE≌△QCE(ASA)；
(2)①∵PB＝PQ，∴∠PBQ＝∠Q，
∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，
∵△PDE≌△QCE，∴PE＝QE，
∵EF∥BQ，∴PF＝BF，
∴在Rt△PAB中，AF＝PF＝BF，
∴∠APF＝∠PAF，
∴∠PAF＝∠EPD，
∴PE∥AF，
∵EF∥BQ∥AD，
∴四边形AFEP是平行四边形；
②当AP＝时，四边形AFEP是菱形．
设AP＝x，则PD＝1﹣x，
若四边形AFEP是菱形，则PE＝PA＝x，
∵CD＝1，E是CD中点，∴DE＝，
在Rt△PDE中，由PD2+DE2＝PE2得(1﹣x)2+()2＝x2，解得x＝，
即当AP＝时，四边形AFEP是菱形．
21. (2019北京市)如图1，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．
(1)求证：AC⊥EF；
(2)如图2，延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=，求AO的长．

图1 图2
【答案】见解析。
【解析】由四边形ABCD为菱形易得AB=AD，AC平分∠BAD，结合BE=DF，根据等腰△AEF中的三线合一，证得AC⊥EF.；菱形ABCD中有AC⊥BD，结合AC⊥EF得BD∥EF.进而有；得出OA的值.
(1)证明：∵四边形ABCD为菱形
∴AB=AD，AC平分∠BAD
∵BE=DF
∴
∴AE=AF
∴△AEF是等腰三角形
∵AC平分∠BAD
∴AC⊥EF
(2)解：∵菱形ABCD中有AC⊥BD，结合AC⊥EF.
∴BD∥EF.
又∵BD=4，tanG=
∴
∴AO==OC=1.