人教版八年级下册18.2.2 菱形当堂检测题

初二数学人教版下册春季班

第3讲  勾股定理的综合

知识点1 复杂的“旋转型”

在一些特殊图形中，由两边相等可以利用“旋转”的方式将三角形“转移”，从而达到转移边或角的目的.在没有明确给出“旋转”后的图形时，有的需要作辅助线进行构造.

常见的一些模型如下：

【典例】

1.如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边作正方形BCDE，对角线的交点为O，连接AO，如果AB=3，AO=，求AC的长. 

2.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC边于D，求DE的长.

【随堂练习】

1.如图，已知∠ABC=120°，BD平分∠ABC，∠DAC=60°，若AB=2，BC=3，则BD的长是_____

2.如图，五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=1，则这个五边形ABCDE的面积=______

3.已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD=BE；②∠BMC=∠ANC；③∠APM=60°；④AN=BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（　　）

知识点2 弦图及其拓展

“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，如下图.

图中的等量关系有：

a2+b2=c2；

4个小三角形的面积和=2ab；

大正方形的边长为c，面积= a2+b2=c2；

小正方形的边长为b-a=，面积= （b-a）2=c2﹣2ab；

（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab；

（a-b）2=a2+b2-2ab=c2-2ab.

【典例】

例1 （2020秋•天宁区期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．

（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为．较短的直角边为，斜边长为，结合图①，试验证勾股定理；

（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积；

（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，则　　．

【方法总结】

考查了勾股定理的证明，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．（3）考查了图形面积关系，根据已知得出用，表示出，，，再利用求出是解决问题的关键．

例2 （2020秋•榆次区期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．

（1）①请叙述勾股定理；

②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）

（2）如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则，，满足的关系是　　；

（3）如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积为　　．

【随堂练习】

1．（2020•孝南区二模）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值为　　．

2．（2020春•无锡期中）（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，所以，即．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．

（2）试用勾股定理解决以下问题：

如果直角三角形的两直角边长为3和4，则斜边上的高为　　．

（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释，画在上面的网格中，并标出字母，所表示的线段．

   综合运用

1．（2020秋•法库县期末）如图是“赵爽弦图”， ，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，，那么　　．

2．（2020秋•蕉城区期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若正方形的边长为，则　　．

3．（2020春•临江市校级期末）图1是我国著名的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形所围成．将四个直角三角形的较短边（如向外延长与此边长相等的长度得到点，，，，得到图2．已知正方形与正方形的面积分别为和，则阴影部分的面积为　　．