数学八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形巩固练习

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A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解析】解：∵矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，
∴四边形ABFE里面的空白三角形的面积和四边形EDCF中阴影三角形的面积相等．
∴求阴影部分的面积可看成求四边形ABFE的面积．
∴阴影部分的面积为：(2×3)÷2＝3．
故选：A．
2．(2018春•营山县期末)如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH为( )
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
【答案】C
【解析】解：由题意知，HG∥EF∥AC，EH∥FG∥BD，HG＝EF＝AC，EH＝FG＝BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵矩形的对角线相等，
∴AC＝BD，
∴EH＝HG，
∴平行四边形EFGH是菱形．
故选：C．
3．(2018春•南岗区期末)已知矩形ABCD中，如图，对角线AC、BD相交于O，AE⊥BD于E，若∠DAE：∠BAE＝3：1，则∠EAC为( )
A．22.5°B．30°C．45°D．35°
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠DAE：∠BAE＝3：1，
∴∠DAE90°＝67.5°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠OAD＝+ODA＝22.5°，
∴∠EAC＝67.5°﹣22.5°＝45°．
故选：C．
4．(2018春•丹阳市期末)如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG、BG、DG，下列结论中错误的是( )
A．BC＝DFB．△DCG≌△BGCC．△DFG≌△BCGD．AC：BG：1
【答案】B
【解析】解：A、∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAF＝45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴DF＝AD，
∴BC＝DF，
故选项A正确；
B、Rt△EFC中，∵G是EF的中点，
∴CG＝FG＝EG，
∵∠CEF＝∠FCG＝45°
∴∠BEG＝∠DCG
∵BE＝CD
∴△DCG≌△BEG
故选项B错误；
C、∵FG＝CG，
∴∠AFD＝∠FCG＝45°，
∵∠BCF＝90°，
∴∠BCG＝45°，
∴∠BCG＝∠DFG，
∵BC＝DF，
∴△DGF≌△BGC，
故选顶C正确；
D、连接BD，∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∵△DCG≌△BEG，
∴DG＝BG，∠CGD＝∠EGB，
∴∠CGD+∠AGD＝∠EGB+∠AGD＝90°，
∴△DGB是等腰直角三角形，
∴BDBG，
∴ACBG，
∴AC：BG：1，
故选项D正确；
本题选择结论中错误的选项，
故选：B．
5．(2018春•德阳期末)如图，在矩形ABCD中，M是BC边上一点，连接AM，DM．过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为( )
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC＝1，∠B＝∠C＝90°，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AMB＝∠DAE，
∵DE＝DC，
∴AB＝DE，
∵DE⊥AM，
∴∠DEA＝∠DEM＝90°，
在△ABM和△DEA中，
，
∴△ABM≌△DEA(AAS)，
∴AM＝AD，
∵AE＝2EM，
∴BC＝AD＝3EM，
在Rt△DEM和Rt△DCM中，，
∴Rt△DEM≌Rt△DCM(HL)，
∴EM＝CM，
∴BC＝3CM，
设EM＝CM＝x，则BM＝2x，AM＝BC＝3x，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+(2x)2＝(3x)2，
解得：x，
∴BM；
故选：D．
6．(2018春•郾城区期末)在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( )
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°
C．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，AC⊥BD
D．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD
【答案】C
【解析】解：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴A正确；
∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴B正确；
∵∠B+∠C＝180°，
∴AB∥DC，
∵∠A＝∠C，
∴∠B+∠A＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴C不正确；
∵∠A＝∠B＝90°，
∴∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，如图所示：
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，
∴BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴D正确；
故选：C．
7．(2018春•江油市期末)如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快___s后，四边形ABPQ成为矩形．
【答案】4
【解析】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得
3x＝20﹣2x．
解得x＝4，
故答案为：4．
8．(2018春•金牛区期末)如图，在矩形ABCD中，BCAB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，则的值是______．
【答案】
【解析】解：在矩形ABCD中，AD＝BCABCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∵AH⊥DE，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴ADAB，
∴AH＝AB＝CD，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴DECD，
∴AD＝DE，
∴∠AEH＝67.5°，
∴∠EAH＝22.5°，
∵DH＝CD，∠EDC＝45°，
∴∠DHC＝67.5°，
∴∠OHA＝22.5°，
∴∠OAH＝∠OHA，
∴OA＝OH，
∴∠AEH＝∠OHE＝67.5°，
∴OH＝OE，
∴OHAE，即．
故答案为：．
9．(2018春•崇州市期末)如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是______．
【答案】2
【解析】解：过点A作AE⊥BM于E
∵四边形ABCD是矩形
∴AD＝BC＝1，CD＝AB＝2，
∵AM平分∠DMB
∴∠AMD＝∠AMB，且AM＝AM，∠ADM＝∠AEM，
∴△ADM≌△AME，
∴DM＝ME，AD＝AE＝1，
在Rt△AEB中，BE，
∴ME＝2DM，
故答案为2．
10．(2018春•呼和浩特期末)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A(10，0)、C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ADP为等腰三角形时，点P的坐标为___________________________．
【答案】(2，4)，(8，4)，(7，4)，(7.5，4)
【解析】解：当PD＝DA，
如图：以D为圆心AD长为半径作圆，与BD交P点，P'点
∵四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A(10，0)、C(0，4)，
∴AD＝PD＝5，PE＝P'F＝4
∴根据勾股定理得：DE＝DF3
∴P(2，4)，P'(8，4)
若AD＝AP＝5，同理可得P(7，4)
若PD＝PA，则P在AD的垂直平分线上，
∴P(7.5，4)
故答案为(2，4)，(8，4)，(7，4)，(7.5，4)
11．(2018春•宜宾期末)如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是_____．
【答案】4.8
【解析】解：连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD10，
∴OA＝OD＝5，
∴S△ACDS矩形ABCD＝24，
∴S△AODS△ACD＝12，
∵S△AOD＝S△AOP+S△DOPOA•PEOD•PF5×PE5×PF(PE+PF)＝12，
解得：PE+PF＝4.8．
故答案为：4.8．
12．(2018春•庐江县期末)如图，在R△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是AB上的一个动点，过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥BC于点N，连接MN，则MN的最小值为_____．
【答案】2.4
【解析】解：如图，连接CP．
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB5，
∵PM⊥AC，PN⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形CNPM是矩形，
∴MN＝CP，
由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段MN的值最小，
此时，S△ABCBC•ACAB•CP，
即4×35•CP，
解得CP＝2.4．
故答案为：2.4．
13．(2018春•定州市期末)如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，求四边形ABOM的周长．
【答案】见解析
【解析】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OMCDAB＝2.5，
∵AB＝5，AD＝12，
∴AC13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BOAC＝6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20．
14．(2018春•房山区期末)如图，AC是矩形ABCD的对角线，AE平分∠BAC交BC于点E，已知AB＝3，BC＝4．求BE的长．
【答案】1.5
【解析】解：作EF⊥AC于点F，如下图所示，
∵AC是矩形ABCD的对角线，AE平分∠BAC交BC于点E，AB＝3，BC＝4，
∴BE＝EF，AC＝5，
设EF＝x，则BE＝x，EC＝4﹣x，
∴，
解得，x＝1.5，
即BE的长是1.5．
15．(2018春•镇海区期末)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10，点E在AD边上，已知B、E两点关于直线l对称，直线l分别交AD、BC边于点M、N，连接BM、NE．
(1)求证：四边形BMEN是菱形；
(2)若DE＝2，求NC的长．
【答案】见解析
【解析】解：(1)证明：∵B、E两点关于直线l对称，
∴BM＝ME，BN＝NE，∠BMN＝∠EMN，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EMN＝∠MNB，
∴∠BMN＝∠MNB，
∴BM＝BN，
∴BM＝ME＝BN＝NE，
∴四边形ECBF是菱形．
(2)设菱形边长为x，
则 AM＝8﹣x，
在Rt△ABM中，42+(8﹣x)2＝x2．
∴解得：x＝5．
∴NC＝5．
16．(2018春•来宾期末)如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，过对角线的中点O作BD的垂线EF，交AD于点E，交BC于点F．
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若AB＝3，AD＝4，求AE的长．
【答案】见解析
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，∠DEF＝∠BFE，
在△EDO和△FBO中，
，
∴△EDO≌△FBO(AAS)，
∴EO＝FO，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵DE⊥EF，
∴平行四边形DEBF是菱形；
(2)设AE＝x，则BE＝DE＝4﹣x，而AB＝3，
在Rt△AEB中，根据勾股定理BE2＝AE2+AB2，
∴(4﹣x)2＝x2+32，
解得：x，
∴AE．
17．(2018春•长宁区期末)如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点O，点F、G分别是BO、AO的中点，联结DE、EG、GF、FD．
(1)求证：FG∥DE；
(2)若AC＝BC，求证：四边形EDFG是矩形．
【答案】见解析
【解析】解：(1)∵AD、BE分别是边BC、AC上的中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB且DEAB．
∵点F、G分别是BO、AO的中点，
∴FG是△OAB的中位线，
∴FG∥AB且FGAB．
∴GF∥DE．
(2)由(1)GF∥DE，GF＝DE
∴四边形EDFG是平行四边形．
∵AD、BE是BC、AC上的中线，
∴CDBC，CEAC．
又∵AC＝BC，
∴CD＝CE．
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CAB＝∠CBA．
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∴∠DAB＝∠EBA，
∴OB＝OA．
∵点F、G分别是OB、AO的中点，
∴OFOB，OGOA，
∴OF＝OG，
∴EF＝DG，
∴四边形EDFG是矩形．
18．(2018春•宽城区期末)如图△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝4，CF＝3，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【答案】见解析
【解析】解：(1)证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
(2)∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，
∵CE＝4，CF＝3，
∴EF5，
∴OCEF；
(3)当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
19．(2018春•太仓市期末)已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝3CD，AB∥CD，CE∥DA，DF∥CB．
(1)求证：四边形CDEF是平行四边形；
(2)填空：
①当四边形ABCD满足条件_______时(仅需一个条件)，四边形CDEF是矩形；
②当四边形ABCD满足条件_______时(仅需一个条件)，四边形CDEF是菱形．
【答案】见解析
【解析】解：(1)证明：∵AB∥CD，CE∥AD，DF∥BC，
∴四边形AECD和四边形BFDC都是平行四边形，
∴AE＝CD＝FB，
∵AB＝3CD，
∴EF＝CD，
∴四边形CDEF是平行四边形．
(2)①当AD＝BC时，四边形EFCD是矩形．
理由：∵四边形AECD和四边形BFDC都是平行四边形，
∴EC＝AD，DF＝BC，
∴EC＝DF，
∵四边形EFDC是平行四边形，
∴四边形EFDC是矩形．
②当AD⊥BC时，四边形EFCD是菱形．
理由：∵AD∥CE，DF∥CB，AD⊥BC，
∴DF⊥EC，
∵四边形EFCD是平行四边形，
∴四边形EFCD是菱形．
故答案为AD＝BC，AD⊥BC．
20．(2018春•安丘市期末)如图，△ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，H、I分别是BG、CG的中点．
(1)求证：四边形EFHI是平行四边形；
(2)①当AD与BC满足条件_______时，四边形EFHI是矩形；
②当AD与BC满足条件_____时，四边形EFHI是菱形．
【答案】见解析
【解析】解：(1)证明：∵BE，CF是△ABC的中线，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC且EFBC．
∵H、I分别是BG、CG的中点．，
∴HI是△BCG的中位线，
∴HI∥BC且HIBC，
∴EF∥HI且EF＝HI．
∴四边形EFHI是平行四边形．
(2)①当AD与BC满足条件 AD⊥BC时，四边形EFHI是矩形；理由如下：
同(1)得：FH是△ABG的中位线，
∴FH∥AG，FHAG，
∴FH∥AD，
∵EF∥BC，AD⊥BC，
∴EF⊥FH，
∴∠EFH＝90°，
∵四边形EFHI是平行四边形，
∴四边形EFHI是矩形；
故答案为：AD⊥BC；
②当AD与BC满足条件BCAD时，四边形EFHI是菱形；理由如下：
∵△ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，
∴AGAD，
∵BCAD，
∴AG＝BC，
∵FHAG，EFBC，
∴FH＝EF，
又∵四边形EFHI是平行四边形，
∴四边形EFHI是菱形；
故答案为：BCAD．