高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制课时作业

5.1.2　弧度制

选题明细表

基础巩固

1.(多选题)下列说法中,正确的是(　ABC　)

A.半圆所对的圆心角是π rad

B.周角的大小等于2π rad

C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径

D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度

解析:根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A,B,C均正确,D中应为“长度等于半径长的圆弧,而不是弦”.故D错误.故选ABC.

2.下列转化结果正确的是(　D　)

A.60°化成弧度是 rad

B. rad化成角度是30°

C.1°化成弧度是 rad

D.1 rad化成角度是()°

解析:对于A,60°化成弧度是 rad,所以A错误;

对于B, rad化成角度是15°,所以B错误;

对于C,1°化成弧度是 rad,所以C错误;

对于D,1 rad化成角度是()°,所以D正确.故选D.

3.如果一个圆的半径变为原来的一半,而弧长变为原来的倍,那么该弧所对的圆心角是原来的(　D　)

A.  B.2倍  C.  D.3倍

解析:设圆的半径为r,弧长为l,则该弧所对圆心角的弧度数为,若将半径变为原来的一半,弧长变为原来的倍,则该弧所对圆心角的弧度数变为=3·,即该弧所对的圆心角变为原来的3倍.故选D.

4.3弧度的角终边在(　B　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析:因为<3<π,所以3弧度的角终边在第二象限.故选B.

5.若α是第三象限角,则-α是第　　　　象限角. 

解析:因为α是第三象限角,

则π+2kπ<α<+2kπ,k∈Z,

所以--2kπ<-α<-π-2kπ,k∈Z,

则-2kπ<-α<-2kπ,k∈Z,故在第一象限.

答案:一

6.一个半径为2的扇形,如果它的周长等于所在的半圆的弧长,那么扇形的圆心角是　　　　　　弧度,扇形面积是　　　　　　. 

解析:由题意知r=2,l+2r=πr,

所以l=(π-2)r,

所以圆心角α===(π-2)rad,

扇形面积S=lr=×(π-2)·r·r=2(π-2)=2π-4.

答案:(π-2)　2π-4

能力提升

7.集合{α|kπ+≤α≤kπ+,k∈Z}中角所表示的范围(阴影部分)是(　C　)

解析:k为偶数时,集合对应的区域为第一象限内直线y=x左上部分(包含边界);k为奇数时,集合对应的区域为第三象限内直线y=x的右下部分(包含边界).故选C.

8.中国扇文化有着深厚的文化底蕴,文人雅士喜在扇面上写字作画.如图,是一幅书法扇面,其尺寸如图所示,则该扇面的面积为(　A　)

A.704 cm2  B.352 cm2

C.1 408 cm2 D.320 cm2

解析:如图,设∠AOB=θ,OA=OB=r cm,

由弧长公式可得

解得r=,

所以S扇面=S扇形OCD-S扇形OAB=×64×(+16)-×24×=704(cm2).

故选A.

9.(2021·安徽合肥高一期末)已知半径为r的扇形OAB的面积为1,周长为4,则r=　　　　. 

解析:由题意得S扇=lr=1,C扇=2r+l=4,联立解得r=1.

答案:1

10.已知角α=1 200°.

(1)将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角;

(2)在区间[-4π,π]内找出所有与角α终边相同的角.

解:(1)因为α=1 200°=1 200×==3×2π+,

所以角α与角的终边相同,

又因为<<π,所以角α是第二象限角.

(2)因为与角α终边相同的角(含角α)可表示为+2kπ(k∈Z),

且-4π≤+2kπ≤π(k∈Z),

所以-≤k≤(k∈Z),

所以k=-2或k=-1或k=0,

所以在区间[-4π,π]内与角α终边相同的角有-,-,.

11.已知扇形面积为4,当扇形圆心角为多少弧度时,扇形周长最小?并求出最小值.

解:设圆心角是α,扇形半径是r,

则S=αr·r=r2α=4,所以r2α=8.

设扇形的周长为L,则L=2r+rα≥2=2×4=8,

当且仅当2r=rα,即α=2时,取“=”,

所以α=2时,该扇形的周长最小,最小值为8.

应用创新

12.《九章算术》是我国古代的数学巨著,其中《方田》章给出的计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=×(弦×矢+矢2),弧田(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成,公式中的“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为,矢为2的弧田,按照上述方法计算出其面积是(　A　)

A.2+4 B.+

C.2+8 D.4+8

解析:如图,由题意可得∠AOB=,在Rt△AOD中,∠AOD=,∠DAO=,所以OC=OA=2OD.结合题意可知矢=OC-OD=CD=2,则OD=2,半径OC=4,弦AB=2AD=2=4,所以弧田面积=(弦×矢+矢2)=(4×2+22)= 4+2.故选A.