2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.1.2 弧度制

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)5.1.2 弧度制，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题
1．若α＝－3 rad，则它是( C )
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D.第四象限角
解析：因为－π<－3<－eq \f(π,2)，所以－3 rad是第三象限角．故选C．
2．设集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(α＝\f(kπ,2)－\f(π,3)，k∈Z))))，N＝{α|－π<α<π}，则M∩N＝( A )
A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(5,6)π，－\f(π,3)，\f(π,6)，\f(2,3)π))
B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)，\f(2,3)π))
C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(5,6)π，－\f(π,2)，\f(π,2)，\f(2,3)π))
D．∅
解析：由－π3．航海罗盘将圆周32等分，如图所示，则图中劣弧eq \(AB,\s\up8(︵))所对的圆心角为( B )
A．eq \f(7π,32) B．eq \f(7π,16)
C．eq \f(π,2) D.eq \f(25π,16)
解析：因为劣弧eq \(AB,\s\up8(︵))的弧长占了32等分的7等分，所以劣弧eq \(AB,\s\up8(︵))所对的圆心角为eq \f(7,32)×2π＝eq \f(7π,16).
4．已知扇形AOB的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形AOB的周长为( D )
A．32B．24
C．6eq \r(2)D.8eq \r(2)
解析：圆心角α＝2，扇形面积S＝eq \f(1,2)αr2，即8＝eq \f(1,2)×2×r2，得半径r＝2eq \r(2)，所以弧长l＝αr＝4eq \r(2)，故扇形AOB的周长L＝l＋2r＝4eq \r(2)＋2×2eq \r(2)＝8eq \r(2).故选D．
5．圆心在原点，半径为10的圆上的两个动点M，N同时从点P(10，0)出发，沿圆周运动，点M按逆时针方向旋转，速度为eq \f(π,6)弧度/秒，点N按顺时针方向旋转，速度为eq \f(π,3)弧度/秒，则它们第三次相遇时点M转过的弧度数为( C )
A．eq \f(π,2)B．π
C．2πD.3π
解析：由题意，动点M，N第三次相遇，则两个动点转过的弧度之和为3×2π＝6π，设从点P(10，0)出发t秒后点M，N第三次相遇，则eq \f(π,6)t＋eq \f(π,3)t＝6π，解得t＝12(秒)，此时点M转过的弧度数为eq \f(π,6)×12＝2π．故选C．
二、多项选择题
6．下列说法正确的是( AB )
A．240°＝eq \f(4,3)π
B．1°的角是周角的eq \f(1,360)，1 rad的角是周角的eq \f(1,2π)
C．用弧度制量角时，角的大小与圆的半径有关
D．扇形的周长为6厘米，面积为2平方厘米，则扇形的圆心角的弧度数为4
解析：240°＝240×eq \f(π,180)＝eq \f(4,3)π，故A正确；根据弧度制的概念知B正确；用弧度制量角时，角的大小与圆的半径无关，故C错误；设扇形的圆心角为α，半径为R，因为扇形的周长为6厘米，面积为2平方厘米，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(αR＋2R＝6，,\f(1,2)αR2＝2，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(R＝2，,α＝1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(R＝1，,α＝4，))即扇形的圆心角的弧度数为4或1，故D错误．故选AB．
7．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，卫星图片可以看成一个圆形，如果将其一分为二成两个扇形，设其中一个扇形的面积为S1，圆心角为α1，天坛中剩余部分扇形的面积为S2，圆心角为α2(α1<α2)，当S1与S2的比值为eq \f(\r(5)－1,2)≈0.618时，则裁剪出来的扇形看上去较为美观，那么(参考数据：eq \r(5)≈2.236)( ACD )
A．α1≈137.5°B．α1≈127.5°
C．α2＝(eq \r(5)－1)πD.eq \f(α1,α2)＝eq \f(\r(5)－1,2)
解析：设天坛的圆形的半径为R，由eq \f(S1,S2)＝eq \f(\f(1,2)α1R2,\f(1,2)α2R2)＝eq \f(α1,α2)＝eq \f(\r(5)－1,2)，故D正确；由α1＋α2＝2π，所以eq \f(\r(5)－1,2)α2＋α2＝2π，解得α2＝(eq \r(5)－1)π，故C正确；由eq \f(\r(5)－1,2)≈0.618，则eq \r(5)－1≈1.236，所以α2＝(eq \r(5)－1)π≈1.236×180°≈222.5°，所以α1≈360°－222.5°＝137.5°，故A正确，B错误．故选ACD．
三、 填空题
8．高考数学考试时间是2小时，那么在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为－eq \f(π,3).
解析：时间经过2小时，钟表的时针顺时针方向转过60°，故时针转过的弧度数为－eq \f(π,3).
9．用弧度制写出终边落在直线y＝－x上的角是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(α＝kπ－\f(π,4)，k∈Z)))).
解析：由终边相同的角的定义，终边落在射线y＝－x(x≥0)的角的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(α＝－\f(π,4)＋2kπ，k∈Z))))，终边落在射线y＝－x(x≤0) 的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(α＝\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z))))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(α＝－\f(π,4)＋(2k＋1)π，k∈Z))))，所以终边落在直线y＝－x的角的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(α＝－\f(π,4)＋2kπ，k∈Z))))∪eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(α＝－\f(π,4)＋(2k＋1)π，k∈Z))))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(α＝－\f(π,4)＋kπ，k∈Z)))).
10．已知某半径小于π的扇形OAB，其周长是6＋2π，面积是3π，则该扇形中所含弓形面积3π－eq \f(9\r(3),4).(注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形)
解析：由题意，扇形的圆心角为α，所在圆的半径为R，该扇形弧长为αR，则扇形的周长为αR＋2R＝6＋2π，扇形的面积S＝eq \f(1,2)•αR•R＝3π，R<π，解得α＝eq \f(2,3)π，R＝3，故圆心角弧度数为eq \f(2,3)π，所以扇形中除弓形外所含的三角形的高为Rsineq \f(π,6)＝eq \f(3,2)，底为2Rcseq \f(π,6)＝3eq \r(3)，S三角形面积＝eq \f(1,2)×3eq \r(3)×eq \f(3,2)＝eq \f(9\r(3),4)，可得S弓形面积＝S扇形－S三角形面积＝3π－eq \f(9\r(3),4).
四、解答题
11．设α是第四象限的角．(用弧度制表示)
(1)试讨论eq \f(α,2)是哪个象限的角；
(2)写出eq \f(α,3)的范围；
(3)写出2α的范围．
解：(1)α是第四象限的角，即2kπ＋eq \f(3π,2)<α<2kπ＋2π(k∈Z)．
kπ＋eq \f(3π,4)当k＝2n，n∈Z时，2nπ＋eq \f(3π,4)当k＝2n＋1，n∈Z时，2nπ＋eq \f(7π,4)(2)因为2kπ＋eq \f(3π,2)<α<2kπ＋2π(k∈Z)，所以eq \f(2kπ,3)＋eq \f(π,2)(3)因为2kπ＋eq \f(3π,2)<α<2kπ＋2π(k∈Z)，所以4kπ＋3π<2α<4kπ＋4π(k∈Z)，故2α∈(4kπ＋3π，4kπ＋4π)(k∈Z)．
12．已知半径为6的圆O中，弦AB的长为6.
(1)求弦AB所对圆心角α的大小；
(2)求圆心角α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
解：(1)半径为6的圆O中，弦AB的长为6，所以三角形OAB为正三角形，所以弦AB所对圆心角α为eq \f(π,3).
(2)由弧长公式得l＝αr＝eq \f(π,3)×6＝2π，扇形的面积S扇形＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×2π×6＝6π．
又S△AOB＝eq \f(1,2)×6×6×eq \f(\r(3),2)＝9eq \r(3)，
所以S＝S扇形－S△AOB＝6π－9eq \r(3)，即弧所在的弓形的面积S＝6π－9eq \r(3).
13．早在两千年前，古人就通过观测发现地面是球面，并会运用巧妙的方法对地球半径进行估算．如图所示，把太阳光视为平行光线，O为地球球心，A，B为北半球上同一经度的两点，且A，B之间的经线长度为L，于同一时刻在A，B两点分别竖立一根长杆AA1和BB1，通过测量得到两根长杆与太阳光的夹角α和β(α和β的单位为弧度)，由此可计算地球的半径为( A )
A．eq \f(L,β－α)B．eq \f(L,sin(β－α))
C．eq \f(L,α＋β)D.eq \f(L,sin(α＋β))
解析：如图所示，过点B作太阳光的平行线，与OA 的延长线交于点C，
则∠B1BC＝β，∠BCO＝α，所以∠AOB＝β－α，设地球半径为R，则根据弧长公式得R(β－α)＝L，所以R＝eq \f(L,β－α) .故选A．
14．和角度制、弧度制一样，密位制也是度量角的一种方法．将周角等分为6 000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：469密位写成“4－69”，1周角等于6 000密位，记作“60－00”．如果一个扇形的半径为2，面积为eq \f(5,6)π，则其圆心角可以用密位制表示为12－50.
解析：设圆心角为α，则扇形面积公式S＝eq \f(1,2)|α|R2，其中R＝2，S＝eq \f(5,6)π，代入公式得α＝eq \f(5,12)π，其中1密位＝eq \f(2π,6 000)＝eq \f(π,3 000)，故eq \f(5,12)π÷eq \f(π,3 000)＝1 250，所以其圆心角可以用密位制表示为12－50.
15．某中学拟建一个扇环形状的花坛(如图)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度)．
(1)求θ关于x的函数关系式；
(2)现要给花坛的边缘(实线部分)进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，花坛每平方米的装饰费用为M(M＝总费用÷花坛总面积)．求M与x的函数表达式，并求出M的最小值．
解：(1)由题意，30＝xθ＋10θ＋2(10－x)，
故θ＝eq \f(10＋2x,10＋x)(0(2)花坛的面积为eq \f(1,2)•10•θ•10－eq \f(1,2)•xθ•x＝eq \f(θ,2)(100－x2)＝(10－x)(5＋x)(0装饰总费用为9θ(10＋x)＋8(10－x)＝170＋10x，
花坛每平方米的装饰费用为
M＝eq \f(170＋10x,(10－x)(5＋x))＝
eq \f(10(17＋x),－x2＋5x＋50)(0令t＝17＋x，t∈(17，27)，则
M＝eq \f(10t,－t2＋39t－324)＝
eq \f(10,－t－\f(324,t)＋39)≥eq \f(10,－2\r(324)＋39)＝eq \f(10,3)，当且仅当t＝18时取等号，此时x＝1，θ＝eq \f(12,11)，
故当x＝1时，M的最小值为eq \f(10,3).