2021学年第十二章 全等三角形12.1 全等三角形达标测试

同步练习:三角形全等

(60分)

一、选择题(每题5分，共20分)

1．[2015·宜昌]如图22－1，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有                 (C)

A．1个       B．2个        C．3个       D．4个

【解析】　要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个．

图22－1                         　　图22－2

2．如图22－2，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是      (D)

A．BD＝DC，AB＝AC

B．∠ADB＝∠ADC，BD＝CD

C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD

D．∠B＝∠C，BD＝DC

【解析】　当BD＝DC，AB＝AC时，因为AD＝AD，由SSS可得△ABD≌△ACD，故A正确；当∠ADB＝∠ADC，BD＝CD时，因为AD＝AD，由SAS可得△ABD≌△ACD，故B正确；当∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD时，因为AD＝AD，由AAS可得△ABD≌△ACD，故C正确；D不能判定△ABD≌△ACD，因为不能利用SSA判定两三角形全等．

3．[2015·湖州]如图22－3，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于                              (C)

A．10           B．7

C．5           D．4

                     图22－3              　　

【解析】　作EF⊥BC于F，

∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，

∴EF＝DE＝2，

∴S△BCE＝BC·EF＝×5×2＝5.

4.[2015·宁波]如图22－4，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为                                                                         (C)

A．BE＝DF                       B．BF＝DE

C．AE＝CF                        D．∠1＝∠2

图22－4

【解析】　A．当BE＝DF，△ABE≌△CDF(SAS)，故此选项可添加；

B．当BF＝ED，可得BE＝DF，△ABE≌△CDF(SAS)，故此选项可添加；

C．当AE＝CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；

D．当∠1＝∠2，△ABE≌△CDF(ASA)，故此选项可添加．

二、填空题(每题5分，共20分)

5．[2014·长沙]如图22－5，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝__6__.

图22－5                       　　图22－6

6．[2015·江西]如图22－6，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB，则图中有__3__对全等三角形．

【解析】　∵OP平分∠MON，∴∠1＝∠2，

由OA＝OB，∠1＝∠2，OP＝OP，可证得△AOP≌△BOP(SAS)，

∴AP＝BP，

又∵OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，

∴PE＝PF，∴△PEA≌△PFB(HL)，

又∵PE＝PF，OP＝OP，∴△POE≌△POF(HL)，

∴图中共有3对全等三角形．

7．[2015·娄底]如图22－7，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是__∠ABD＝∠CBD或AD＝CD__(只需写一个，不添加辅助线)．

【解析】　由已知AB＝BC，及公共边BD＝BD，可知要使△ABD≌△CBD，已经具备了两个边了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS，②SSS.所以可添∠ABD＝∠CBD或AD＝CD.

图22－7

8．[2015·黔东南]如图22－8，在四边形ABCD中，AB∥CD，连结BD.请添加一个适当的条件__AB＝CD__，使△ABD≌△CDB.(只需写一个)

图22－8

【解析】　∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，而BD＝DB，

∴当添加AB＝CD时，可根据“SAS”判定△ABD≌△CDB.

三、解答题(共20分)

9．(10分)[2015·福州]如图22－9，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC＝AD.

证明：∵∠3＝∠4，

∴∠ABC＝∠ABD.

在△ABC和△ABD中，

∴△ABC≌△ABD(ASA)

∴AC＝AD.

10．(10分)[2015·武汉]如图22－10，点B，C，E，F在同一直线上，BC＝EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF.求证：

(1)△ABC≌△DEF；

(2)AB∥DE.

证明：(1)∵AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，

∴∠ACB＝∠DFE＝90°，

在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF(SAS)；

(2)∵△ABC≌△DEF，

∴∠B＝∠DEF，

∴AB∥DE.

(24分)

11．(12分)[2014·杭州]如图22－11，在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P，求证：PB＝PC，并请直接写出图中其他相等的线段．

图22－11

证明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

在△ABF与△ACE中，

∴△ABF≌△ACE(SAS)，

∴∠ABF＝∠ACE，

∴∠ABC－∠ABF＝∠ACB－∠ACE，

∴∠FBC＝∠ECB，

∴PB＝PC.

相等的线段还有：PE＝PF，BE＝CF，EC＝FB，AE＝AF.

12．(12分)[2015·温州]如图22－12，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D.

(1)求证：AB＝CD；

(2)若AB＝CF，∠B＝30°，求∠D的度数．

解：(1)证明：∵AB∥CD，

∴∠B＝∠C，

在△ABE和△DCF中，

∴△ABE≌△DCF(AAS)，

∴AB＝CD；

(2)∵△ABE≌△DCF，

∴AB＝CD，BE＝CF，

∵AB＝CF，∠B＝30°，

∴CD＝CF，

∠C＝∠B＝30°，

∴△CDF是等腰三角形，

∴∠D＝×(180°－30°)＝75°.

(16分)

13．(16分)[2015·株洲]如图22－13，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O，E，F

分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．

(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；

(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．

       图22－13　　　　　　

解：(1)证明：过点O作OM⊥AB于点M，

∵BD是∠ABC的平分线，

∴OE＝OM，

∵四边形OECF是正方形，

∴OE＝OF，

∴OF＝OM，

∵OM⊥AB，OF⊥AD，

∴AO是∠BAC的角平分线，

即点O在∠BAC的平分线上；

(2)∵在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，

∴AB＝＝＝13，

设CE＝CF＝x，BE＝BM＝y，AM＝AF＝z，

∴

解得

∴OE＝CE＝CF＝2.