【教培专用】五年级上册秋季数学奥数培优讲义-第12讲 列方程解应用题 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

一、列方程解应用题（五上）

列方程解决问题的一般步骤，经常用到和差倍分、盈亏问题解决的过程中；复杂问题利用方程更容易分析等量关系，进而解方程求得最终答案。

一、 一元一次方程

1、解下列方程或方程组：

（1）；（2）；

（3）；（4）．

【答案】
（1）（2）（3）（4）

【解析】
（1）去括号，得，，．

（2）方程左、右两边同时乘以28，去分母得，，，，．

（3）交叉相乘，得，，，．

（4），得．把代入式得，解得．所以方程组的解是．

2、一次考试，小高比萱萱高6分，但是比卡莉娅低3分，他们3人的平均分为91分．请问：小高考了多少分？

【答案】
92

【解析】
设小高考了x分，则有，解得．所以小高考了92分．

3、阿范和阿统吃饺子，阿范一共要吃90个，而阿统一共要吃100个．如果阿范每分钟吃3个饺子，阿统每分钟吃5个饺子，经过若干分钟后，阿范剩下的饺子数比阿统剩下的饺子数的2倍少5个．请问：这时阿范和阿统各吃了多少个饺子?

【答案】
45，75

【解析】
设经过了x分钟，则，解得．所以阿范吃了45个饺子，阿统吃了75个饺子

4、给六年级五班的同学分苹果，第一组每人3个，第二组每人4个，第三组每人5个，第四组每人6个．已知第二组和第三组共有22人，第一组人数是第二组的2倍，第三组和第四组人数相等，总共分出去230个苹果．问：该班一共有多少名学生．

【答案】
56名

【解析】
假设第二组有个小朋友，那么第一组，第三组，第四组分别有个，个，个小朋友．由题意，总共分出去230个苹果，于是我们以苹果的总数作为等量关系列出方程：

，

化简得，求解得．

因此，这个班小朋友的总数是人．

5、一个分数，分子与分母的和是122．如果分子、分母都减去19，得到的分数约分后是，那么原来的分数是多少？

【答案】
 

【解析】
设原来的分子是x，则分母是．分子、分母减去19之后，分别等于和．此时分数等于．根据这一等量关系列出方程得

交叉相乘后得

求解可得

此时原来的分母是，原分数就是．

6、打印一份稿件，甲单独打需要50分钟完成，乙单独打需要30分钟．现在甲单独打若干分钟后，乙接着打完，共花了42分钟．问：甲打了稿件的几分之几？

【答案】
 

【解析】
设甲打了x分钟，则乙打了分钟．根据条件，列方程得：

．

解得．所以甲打了稿件的．

7、A、B两地相距230千米，甲队从A地出发2小时后，乙队从B地出发与甲相向而行．乙队出发20小时后两队相遇．已知乙比甲每小时多走1千米，甲和乙的速度各是多少？

【答案】
5，6

【解析】
设甲每小时走x千米，则乙每小时走千米．根据题意，列方程得：

解得．所以甲的速度是5千米/时，乙的速度是6千米/时．

8、（2010年101中分班）列方程（组）解应用题：2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米？

【答案】
1.3；4.5

【解析】
设生产运营用水为x亿立方米，则居民家庭用水为亿立方米，，解得，故生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米．

9、（2014年十一学校初试）列一元一次方程解应用题．创新学校六年级学生若干名，学校租若干辆旅游车春游，若租用40座的旅游车，则有10名学生没有座位，若租50座的旅游车，则可少租一辆且有一辆车还空20个座位，求学生的人数和计划租用40座的旅游车的辆数．

【答案】
330

【解析】
设计划租用40座的旅游车的辆数为x，则，解得，学生人数为人．

二、 二元或多元一次方程组

10、文雯去超市买一些士力架和德芙，共重266克，共花了30元．已知士力架每块3元，德芙每块2元，每块士力架35克，每块德芙14克，那么文雯买了多少块德芙？

【答案】
9

【解析】
设文雯买了x块士力架，y块德芙．，解得，，所以文雯买了9块德芙．

11、有鸡和兔子若干只，它们的总腿数比总头数的3倍多8，而鸡的只数的5倍比兔的只数的4倍少19．问：鸡和兔子一共有多少只？

【答案】
34只

【解析】
因鸡的腿数是头数的3倍少1，而兔子的腿数是头数的3倍多1，假设鸡的只数与兔子的一样多，则它们的总腿数是总头数的3倍．但实际是它们的总腿数比总头数的3倍多8，所以兔的只数比鸡的多8只，那么兔的只数的4倍比鸡的只数的4倍多32只．又兔的只数的4倍比鸡的只数的5倍多19只，所以鸡有只，兔有只，一共有只．

12、奥运指定商品零售店里的福娃有大号、中号和小号三种．墨莫买了一个大号的、三个中号的和两个小号的，共花了360元；小高买了两个大号的、一个中号的和一个小号的，共花了270元；卡莉娅买了一个大号的、两个中号的和两个小号的，共花了300元．请问：商店里的大号、中号和小号福娃的单价各是多少？

【答案】
大号80元，中号60元，小号50元

【解析】
设奥运指定商品零售店里大号、中号和小号福娃的单价分别是x元、y元和z元．

由题意，容易列出以下方程组：

解三元一次方程组的方法还是消元，消去一个未知数，使其变为二元一次方程组．

本题可以利用代入消元法求解：①式可转化为，将该式代入②式和③式，得到以下二元一次方程组：

．

解之得到和．

为进一步求出x，我们利用①式的变形，再将上面求出的x、y代入该式即可得到．

最终方程组的解为，大号、中号、小号福娃的单价分别是80元、60元、50元．

13、商店里有大盒、中盒、小盒共27盒筷子，其中大盒中装有18双筷子，中盒中装有12双筷子，小盒中装有8双筷子，一共装有330双筷子，其中小盒数是中盒数的2倍．问：三种包装的筷子各有多少盒？

【答案】
大盒数9，中盒数6，小盒数12

【解析】
设中盒数量为x，则小盒数量是2x，两者加在一起为3x，因此大盒的数量为．

根据筷子总数为330，我们列出方程：

将其化简整理可得

解得

所以中盒数为，这样小盒数是，大盒数为．

三、 复杂方程问题

14、（2012年首师附入学）有50名学生参加联欢会．第一个到会的女生同全部男生握过手，第二个到会的女生只差1个男生没握过手，三个到会的女生只差 2个男生没握手，如此等等，最后一个到会的女生同7个男生握过手，问这50名同学中有多少男生？

【答案】
28

【解析】
设女生x个，则最后一个女生差个男生没握手，,

所以男生有28个．

15、（2013年金帆五春）有一篮子鸡蛋分给若干人，第一人拿走1个鸡蛋和余下的，第二人拿走2个和余下的，第三人拿走3个和余下的，以此类推，最后恰好分完，并且每人分到的鸡蛋数相同．请判断：共有__________人参与分这批鸡蛋．

【答案】
8

【解析】
设有n人，则最后一人拿了n个，占倒数第二人拿走个后的，因此倒数第二人共拿走个．故，．

16、如图，墙边放着一块木板，一只猫淘气，爬了上去，使得木板向下滑动了一段距离，现在已知图中的三段长度，你能求出这块木板的长度吗？

【答案】
250厘米

【解析】
假设木板下滑后的高度是厘米，那么开始时的高度就是厘米．

由勾股定理，开始时木板长度的平方就是：，下滑后木板长度的平方就是：．由于两个式子表示的是同一块木板，因此有方程：

这是一个二次方程，但是把括号拆开就很容易看出含有的项抵消了：

剩下的就是，即：，因此木板下滑后的高度是150厘米．

把代入，得：．

于是木板的长度就是250厘米．

17、如图1中的短除式所示，一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的商是a．图2中短除式表明：这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的商是a的2倍．求这个自然数．

【答案】
1993

【解析】
由图1可以看出，第二次商等于，第一次商等于，而所求的自然数则是．

同样地，由图2中的短除式可得，以17为除数的第一次商是，所求的自然数就是．

由于、两式表示的是同一个自然数，因此这两个式子相等，由此可得方程

解方程可得．

因此所求的自然数就是．

1、甲数比乙数的3倍少6，两数的平均数是43．那么乙数是多少？

【答案】
23

【解析】
设乙数是x，则甲数是，可列方程，解得．所以乙数是23．

2、（金帆四年级秋季）箱子里有红、白两种球，红球比白球的3倍多2个，每次从箱子里取7个白球，15个红球，取若干次后，箱子里剩下3个白球，53个红球．箱子中原来红球比白球多多少个？

【答案】
106

【解析】
设取了n次，则白球原有个，红球原有个，，解得，原来红球数比白球数多个．

3、司机小王身上带有1元、2元、5元、10元四种面值的纸币共82元，其中1元和2元纸币共22张，5元和10元纸币共7张，2元纸币的张数是5元纸币张数的2.5倍．问：小王身上有多少张10元纸币？

【答案】
3

【解析】
设5元纸币有x张，那么2元纸币有2.5x张，1元纸币有张，10元纸币有张．可列方程，解得．因此10元纸币有3张．

4、王老师抓了一群外星人，其中外星人有2个头3个脚，金星人有3个头5个角．王老师数了数，发现总共有34个头、54个脚．那么请问王老师分别抓了多少个火星人和金星人？

【答案】
8，6

【解析】
设抓了x个火星人，y个金星人，可列方程组：

．

解得：．

1、解方程：，__________．

【答案】
3

【解析】
去括号得，，，．

2、解方程：，__________．

【答案】
 

【解析】
交叉相乘，得，，，．

3、解方程：，__________．

【答案】
3.5

【解析】
，得，所以．把代入①式得，所以．所以．

4、一个数的5倍加上3等于这个数的8倍减去6，这个数是__________．

【答案】
3

【解析】
设这个数为x，列方程得，解得．所以这个数是3．

5、寒暑表中通常有两个时刻：摄氏度和华氏度，它们之间的换算关系是：．问：在摄氏__________度时，华氏度的值恰比摄氏度的值大80．

【答案】
60

【解析】
设摄氏度为x度，则华氏度为度．列方程得：

，解得．

6、小王家今早由于懒得做饭，直接到面包店里花了18元4角买了31个包子．已知这个店里只有A、B、C三种包子，三种包子单个价格分别为4角、6角、7角．据卖包子的小哥透露，小王买的4角的包子比6角的包子少一个．问：小王今早买的包子中，7角的有__________个．

【答案】
14

【解析】
设4角包子x个，7角包子y个，则6角包子有个．根据题意，列方程得：

，解得．

所以7角的包子有14个．

7、小强有20个正方形纸板与50个长方形纸板．用这些纸板做成若干个如图所示的卧式与立式的无盖长方形纸盒，纸板恰好用完．那么卧式纸盒和立式纸盒一共有__________个．

【答案】
14

【解析】
设卧式纸盒x个，立式纸盒y个，则列方程得：

，解得．

所以卧式纸盒和立式纸盒一共有个．

8、小高去商店买了一些大瓶饮料和小瓶饮料，共花了75元．已知大瓶饮料每瓶5.5元，小瓶饮料每瓶1.8元．每只大瓶装饮料2.5升，每只小瓶装480毫升，所有大瓶比所有小瓶共多装饮料27.6升．小高一共买了__________瓶饮料．

【答案】
17

【解析】
设大瓶饮料x瓶，小瓶饮料y瓶．列方程得：

，解得．

所以小高一共买了瓶饮料．

9、甲、乙两人从相距48千米的两地相向而行．如果甲、乙同时出发，他们4小时之后相遇；如果乙比甲先走3小时，那么他们在甲出发后3小时相遇．那么甲每小时走__________千米．

【答案】
8

【解析】
甲每小时走x千米，乙每小时走y千米．根据题意，列方程得：

，解得．

所以甲每小时走8千米．

10、把100分成4个自然数之和，使得第一个数加上4，第二个数减去4，第三个数乘以4，第四个数除以4，所得结果都相同．这四个数分别是多少？

【答案】
12，20，4，64

【解析】
设第一个数是x，第三个数是y，则第二个数是，第四个数是16y．根据题意，列方程得：

，解得．

所以这四个数分别是12、20、4、64．