高中数学3.1 函数学案

3．1.3　简单的分段函数

教材要点

要点　分段函数

一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数．

状元随笔　1.分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．

2．分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝其“段”是不等长的．

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)分段函数由几个函数构成．(　　)

(2)函数f(x)＝是分段函数．(　　)

(3)分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数．(　　)

(4)分段函数各段上的函数值集合的交集为∅.(　　)

2．(多选)下列给出的式子是分段函数的是(　　)

A．f(x)＝

B．f(x)＝

C．f(x)＝

D．f(x)＝

3．已知函数f(x)＝则f(2)等于(　　)

A．0　　　　B．　　　　C．1　　　　D．2

4．函数f(x)＝的定义域为________，值域为________．

题型1　分段函数求值问题

角度1　分段函数求值

例1　已知函数f(x)＝

求f(－5)，f(1)，f.

变式探究　本例中的条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．

角度2　解分段函数不等式

例2　已知函数f(x)＝求不等式f(x)＜0的解集．

方法归纳

1．分段函数求值

(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．

(2)含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．

(3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．

2．解分段函数不等式

要注意分类讨论，分类标准是分段函数的分段区间．先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，最后取并集即可．

跟踪训练1　(1)已知f(x)＝若f(x)＝－1，则x＝________．

(2)已知函数f(x)＝若f(a)＜－3，则a的取值范围为________．

题型2　分段函数的图象与应用

例3　已知f(x)＝－x＋3，g(x)＝x＋，h(x)＝x2－4x＋3.

(1)在同一坐标系中画出函数f(x)，g(x)，h(x)的图象．

(2)∀x∈R，令M(x)表示f(x)，g(x)，h(x)中的最大者，记作M(x)＝{f(x)，g(x)，h(x)}，请分别利用图象法和解析法表示函数M(x)，并求M(x)的值域．

方法归纳

分段函数图象的画法

(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．

(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意连接点处点的虚实，保证不重不漏．

跟踪训练2　已知f(x)＝

(1)作出f(x)的图象；

(2)求f(x)的值域．

题型3　分段函数的应用

例4　为了节约用水，某市出台一项水费征收措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元；若超过5吨而不超过6吨，超过部分的水费加收200%；若超过6吨而不超过7吨，超过部分的水费加收400%.如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费(单位：元)．

方法归纳

分段函数应用问题的两个关注点

(1)应用情境．

日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数．

(2)注意问题．

求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理．

跟踪训练3　甲、乙两地相距150千米，某货车从甲地运送货物到乙地，以每小时50千米的速度行驶，到达乙地后将货物卸下用了1个小时，然后以每小时60千米的速度返回甲地．从货车离开甲地起到货车返回甲地为止，设货车离开甲地的时间和距离分别为x小时和y千米，试写出y与x的函数关系式．

易错辨析　不能正确理解分段函数致误

例5　已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则a的值为________．

解析：当a≤－1时，有a＋2＝3，即a＝1，与a≤－1矛盾；

当－1＜a＜2时，有a2＝3，∴a＝或a＝－(舍去)；

当a≥2时，有2a＝3，∴a＝，与a≥2矛盾．

综上可知a＝.

答案：

易错警示

课堂十分钟

1．f(x)＝|x－1|的图象是(　　)

2．著名的Dirichlet函数D(x)＝则D(D(x))等于(　　)

A．0                   B．1

C．    D．

3．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)．例如，f(2)＝3是指开始买卖2小时的即时价格为3元；g(2)＝3是指开始买卖2小时内的平均价格为3元．下图给出的四个图象中，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是(　　)

4．设函数f(x)＝，则f(f(－1))的值为______．

5．已知函数f(x)＝求使f(x)＜2成立的x的值组成的集合．

3．1.3　简单的分段函数

新知初探·课前预习

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．解析：由分段函数的概念可知，各分段上x的范围没有公共部分，AD是分段函数，故选AD.

答案：AD

3．解析：f(2)＝＝1.

答案：C

4．解析：函数的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，x2∈(0，＋∞)；

当x<0时，y＝－2，故值域为{－2}

答案：(－∞，0)　{－2}

题型探究·课堂解透

例1　解析：由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(1)＝3×1＋5＝8，f＝f＝f＝3×＋5＝.

变式探究　解析：当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去；当－2<a<2时，f(a)＝3a＋5＝3，即a＝－∈(－2，2)，符合题意；当a≥2时，f(a)＝2a－1＝3，即a＝2∈[2，＋∞)，符合题意．综上可得，当f(a)＝3时，a的值为－或2.

例2　解析：当x≥2时，x－4<0，解得2≤x<4.当x<2时，x2－4x＋3<0，解得1<x<2.综上，f(x)<0的解集为(1，4)．

跟踪训练1　解析：(1)当x>1时，－x＋1＝－1，解得x＝2∈(1，＋∞)；当x≤1时，x2－1＝－1，解得x＝0∈(－∞，1].综上，x＝0或x＝2.

(2)当a≤－2时，f(a)＝a<－3，此时不等式的解集为(－∞，－3)；

当－2<a<4时，f(a)＝a＋1<－3，此时不等式无解；

当a≥4时，f(a)＝3a<－3，此时不等式无解．

故a的取值范围为(－∞，－3)．

答案：(1)0或2　(2)(－∞，－3)

例3　解析：(1)由题意可以画出函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝x＋，h(x)＝x2－4x＋3在同一坐标系下的图象：

(2)由图中函数的取值情况，结合函数M(x)的定义，可得M(x)的图象为：

结合图象得函数M(x)＝

且最小值在x＝1处取得，最小值是2，故值域为[2，＋∞)．

跟踪训练2　解析：(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．

(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.

由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]，

当x>1或x<－1时，f(x)＝1，

所以f(x)的值域为[0，1].

例4　解析：设本季度他应交的水费为y元，当0≤x≤5时，y＝1.2x；

当5<x≤6时，应把x分成两部分：5与x－5分别计算，

第一部分收基本水费1.2×5元，

第二部分由基本水费与加价水费组成，

即1.2(x－5)＋1.2(x－5)×200%＝1.2(x－5)×(1＋200%)元，

所以y＝1.2×5＋1.2(x－5)×(1＋200%)＝3.6x－12；

当6<x≤7时，同理可得y＝1.2×5＋1.2×(1＋200%)＋1.2(x－6)×(1＋400%)＝6x－26.4.

综上，可得y＝

跟踪训练3　解析：由题意，可知货车从甲地前往乙地用了3小时，而从乙地返回甲地用了2.5小时．

(1)当货车从甲地前往乙地时，由题意，

可知y＝50x(0≤x≤3)；

(2)当货车卸货时，y＝150(3<x<4)；

(3)当货车从乙地返回甲地时，由题意，知

y＝150－60(x－4)(4≤x≤6.5)．

所以y＝

[课堂十分钟]

1．解析：因为f(x)＝|x－1|＝当x＝1时，f(1)＝0，可排除A、C.又当x＝－1时，f(－1)＝2，排除D.故选B.

答案：B

2．解析：∵函数D(x)＝

∴D(x)∈{0，1}

∴D(x)是有理数

∴D(D(x))＝1.故选B.

答案：B

3．解析：开始时平均价格与即时价格一致，排除C、D，即时价格减少时，平均价格不可能增大，排除B.故选A.

答案：A

4．解析：∵f(x)＝，

∴f(－1)＝(－1)2＋1＝2，

∴f(f(－1))＝f(2)＝22＋2－2＝4.

答案：4

5．解析：由题意可得

或

由解得1≤x<；

由

解得x<－或<x<1.

综上所述，使f(x)<2成立的x的值组成的集合为.