高中数学1.1.3 集合的基本运算导学案

1．1.3　集合的基本运算

课程标准

(1)理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集．

(2)在具体情境中，了解全集的含义．

(3)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．

(4)能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．

第1课时　交集与并集

新知初探·自主学习——突出基础性

教 材 要 点

知识点一　交集

知识点二　并集

状元随笔　1.两个集合的并集、交集还是一个集合．

2．对于A不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合，因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．

3．A是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．

基 础 自 测

1.已知集合A＝{0，2}，B＝{－2，－1，0，1，2}，则＝(　　)

A．{0，2}    B．{1，2}

C．{0}       D．{－2，－1，0，1，2}

2．已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M＝(　　)

A．{－1，0，1}　　　　　　B．{－1，0，1，2}

C．{－1，0，2}            D．{0，1}

3．设集合A＝{1，2}，则满足A＝{1，2，3}的集合B的个数是(　　)

A．1　　　B．3　　　C．4　　　D．8

4．设集合A＝{x|2≤x＜5}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A＝________．

课堂探究·素养提升——强化创新性

题型1　交集的运算[经典例题]

例1　(1)已知集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，则A＝(　　)

A．{3}       B．{5}

C．{3，5}    D．{1，2，3，4，5，7}

状元随笔　找出A、B的公共元素求A

(2)已知集合A＝{x|2x－1≤3}，集合B＝{y|y＝x2}，则A＝(　　)

A．{x|x≤1}　　　B．{x|0≤x≤1}

C．{x|x≤2}      D．{x|0≤x≤2}

方法归纳

求交集的基本思路

首先要识别所给集合，其次要化简集合，使集合中的元素明朗化，最后再依据交集的定义写出结果，有时要借助于Venn图或数轴写出交集．借助于数轴时要注意数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集．

跟踪训练1　(1)已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{－2，0，1，2}，则A＝　.(　　)

A．{0，1}            B．{－1，0，1}

C．{－2，0，1，2}    D．{－1，0，1，2}

先求A再求A

(2)若集合A＝{x|－5≤x≤5}，B＝{x|x≤－2或x＞3}，则＝________．

利用数轴求A.

题型2　并集的运算[教材P17例3]

例2　(1)已知区间A＝(－3，1)，B＝[－2，3]，求

状元随笔　(1)由并集定义A是由A、B中所有元素组成的．

(2)利用数轴求并集更直观．

(2)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M＝(　　)

A．{0}         B．{0，2}

C．{－2，0}    D．{－2，0，2}

方法归纳

求并集的基本思路

(1)在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次．

(2)此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．

跟踪训练2　(1)已知集合A＝{1，3，4，7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，则集合A中元素的个数为________；

(2)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，那么＝(　　)

A．{x|－1＜x＜2}　　　B．{x|0＜x＜1}

C．{x|－1＜x＜0}      D．{x|1＜x＜2}

状元随笔　(1)找出集合A，B中出现的所有元素，写出A求元素个数．

(2)画数轴，根据条件确定P

题型3　交集、并集性质的运用[经典例题]

例3　(1)已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋8＝2}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，若∅(A且A＝∅，求a的值；

(2)已知A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}．

①若A＝∅，求实数a的取值范围．

②若A＝B，求实数a的取值范围．

状元随笔

方法归纳

(1)连续数集求交、并集借助数轴采用数形结合法．

(2)利用A＝A⇔A⊆B，A＝A⇔B⊆A可实现交、并运算与集合间关系的转化．

注意事项：(1)借助数轴求交、并集时注意端点的实虚．

(2)关注Venn图在解决复杂集合关系中的作用．

跟踪训练3　(1)已知集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A＝B，求实数a的取值范围．

状元随笔　由A＝B得B ⊆A，B分2类，B＝∅，B≠∅，再利用数轴求．

(2)设A＝{x|x2＋ax＋b＝0}，B＝{x|x2＋cx＋15＝0}，又A＝{3，5}，A＝{3}，求实数a，b，c的值．

1．1.3　集合的基本运算

第1课时　交集与并集

新知初探·自主学习

[教材要点]

知识点一

所有元素　A＝{x|x∈A且x∈B}

知识点二

{x|x∈A或x∈B}

[基础自测]

1．解析：∵A＝{0，2}，B＝{－2，－1，0，1，2}，∴A＝{0，2}，故选A.

答案：A

2．解析：M表示属于M或属于N的元素组成的集合，故＝{－1，0，1，2}．

答案：B

3．解析：因为A＝{1，2}，A＝{1，2，3}．所以B＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，故选C.

答案：C

4．解析：∵A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，

∴A＝{x|3≤x<5}．

答案：{x|3≤x<5}

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　(1)由题意得A＝{3，5}，故选C.

(2)由题意得A＝{x|x≤2}，B＝{y|y≥0}，所以A＝{x|0≤x≤2}．

【答案】　(1)C　(2)D

跟踪训练1　解析：(1)化简A＝{x|－2<x<2}，∴A＝{0，1}，故选A.

(2)在数轴上表示出集合A与B，如下图．

由交集的定义可得A＝{x|－5≤x≤－2或3<x≤5}．

答案：(1)A　(2){x|－5≤x≤－2或3<x≤5}

例2　【解析】　(1)在数轴上表示出A和B，如图所示．

由图可知A＝[－2，1)，A＝(－3，3].

(2)M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0，2}，故M＝{－2，0，2}．

【答案】　(1)见解析　(2)D

跟踪训练2　解析：(1)∵A＝{1，3，4，7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，

∴B＝{3，7，9，15}，

∴A＝{1，3，4，7，9，15}．

∴集合A中元素的个数为6.

 (2)因为P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，画数轴如图，

所以P＝{x|－1<x<2}．

答案：(1)6　(2)A

例3　【解析】　(1)A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{2，3}，C＝{－4，2}．

因为∅(A且A＝∅，

那么3∈A，故9－3a＋a2－19＝0.

即a2－3a－10＝0.所以a＝－2或a＝5.

当a＝－2时A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意．

当a＝5时A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，不符合A＝∅.

综上知，a＝－2.

 (2)①因为A＝∅，所以解得－1≤a≤2，所以实数a的取值范围是[－1，2].

②因为A＝B，所以A⊆B，

所以a>5或a＋3<－1，

即a的取值范围为a>5或a<－4，

所以实数a的取值范围是(－∞，－4)

跟踪训练3　解析：(1)①当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3；

②当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，

可得或解得a<－4或2<a≤3.

综上可得，实数a的取值范围为(－∞，－4)

【解析】(2)因为A＝{3}，所以3∈B，所以32＋3c＋15＝0，所以c＝－8.

由方程x2－8x＋15＝0，解得x＝3或x＝5.所以B＝{3，5}．

由A⊆(A＝{3，5}，A＝{3}知，3∈A，5∉A(否则5∈A与A＝{3}矛盾)，故必有A＝{3}，

所以方程x2＋ax＋b＝0有两个相同的根3，

由根与系数的关系得3＋3＝－a，3×3＝b，即a＝－6，b＝9.

所以a＝－6，b＝9，c＝－8.