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    人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.1 函数及其表示方法学案

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    这是一份人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.1 函数及其表示方法学案,共10页。

    新知初探·自主学习——突出基础性
    教 材 要 点
    知识点一 分段函数
    如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有________________,则称其为分段函数.
    知识点二 分段函数的图象
    分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中,根据每段的定义区间和表达式依次画出图象,要注意每段图象的端点是空心点还是实心点,组合到一起就得到整个分段函数的图象.
    状元随笔 (1)分段函数虽然由几部分构成,但它仍是一个函数而不是几个函数.
    (2)分段函数的“段”可以是等长的,也可以是不等长的.如y=1,-2≤x≤0,x,0<x≤3,其“段”是不等长的.
    知识点三 常数函数
    值域________元素的函数,通常称为常数函数.
    基 础 自 测
    1.函数y=x+xx的图象是( )
    2.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示,不含端点),则f(f(13))等于( )
    A.-13 B.13 C.-23 D.23
    3.函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,a=f(-1.01),b=f(-1),c=f(1.5),则a,b,c的大小关系是( )
    A.aC.a=b4.已知f(x)=3x+2,x≤0,fx-1+1,x>0,则f(43)的值为( )
    A.2 B.4 C.6 D.8
    课堂探究·素养提升——强化创新性

    题型1 分段函数的定义域、值域
    例1 (1)函数f(x)=-x2+1,0<x<1,0,x=0,x2-1,-1<x<0的定义域为________,值域为________;
    (2)已知函数f(x)=x+1,x≤-2,x2+2x,-2<x<2,2x-1,x≥2.试求f(-5),f(-3),f(f(-52))的值;
    (3)求函数y=|x+1|+|x-1|的最小值.
    状元随笔 (1)分段函数是一个函数,其定义域是各段“定义域”的并集,其值域是各段“值域”的并集.写定义域时,区间的端点需不重不漏.
    (2)求分段函数的函数值时,自变量的取值属于哪一段,就用哪一段的解析式.
    (3)研究分段函数时,应根据“先分后合”的原则,尤其是作分段函数的图象时,可先将各段的图象分别画出来,从而得到整个函数的图象.
    方法归纳
    (1)分段函数求值,一定要注意所给自变量的值所在的范围,代入相应的解析式求得.
    (2)像本题中含有多层“f”的问题,要按照“由里到外”的顺序,层层处理.
    (3)已知函数值求相应的自变量值时,应在各段中分别求解.
    跟踪训练1 (1)已知f(x)=x+1, x>0,π, x=0,0, x<0,
    求f(-1),f(f(-1)),f(f(f(-1)));
    (2)已知函数f(x)=x2,-1≤x≤1,1,x>1或x<-1,则函数的定义域为________,值域为________.
    状元随笔 根据不同的取值代入不同的解析式.
    题型2 分段函数的图象及应用
    例2 分别作出下列分段函数的图象,并写出定义域及值域.
    (1)y=1x,0<x<1,x,x≥1;分段函数图象的画法.
    (2)y=3,x<-2,-3x,-2≤x<2,-3,x≥2;
    (3)高斯取整函数y=[x]又称“下取整函数”,其中[x]表示不大于x的最大整数;称函数y=〈x〉为“上取整函数”,其中〈x〉表示不小于x的最小整数;例如根据定义可得:[1.3]=1,[-1.3]=-2,〈-2 .3〉=-2,〈2 .3〉=3.
    ①函数f(x)=〈x·[x]〉,x∈[-2,2],
    求f(-32)和f(32);
    ②试作出函数y=[x]+〈x〉的图象,其中-1≤x≤1.
    分段函数图象的应用.
    跟踪训练2 已知函数f(x)=x-x2+1(-2(1)利用绝对值及分段函数知识,将函数解析式写成分段函数;
    (2)在坐标系中画出该函数的图象,并写出函数的值域.
    题型3 分段函数的综合问题[逻辑推理、直观想象]
    例3 (1)函数f(x)=x,x≤-2,x+1,-2(2)已知函数f(x)=x+2,x≤0,x2,0<x≤3,若f(x)=3,则x的值是( )
    A.3 B.9
    C.-1或1 D.-3或3
    方法归纳
    已知函数值求字母取值范围的步骤
    (1)先对字母的取值范围分类讨论.
    (2)然后代入不同的解析式中.
    (3)通过解方程求出字母的值.
    (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.
    跟踪训练3 (1)已知f(x)=1,x≥0,0,x<0,则不等式xf(x)+x≤2的解集是( )
    A.{x|x≤1} B.{x|x≤2}
    C.{x|0≤x≤1} D.{x|x<0}
    (2)已知函数f(x)=2,x∈-1,1,x,x∉-1,1,若f(f(x))=2,则x的取值范围是________.
    第3课时 分段函数
    新知初探·自主学习
    [教材要点]
    知识点一
    不同的对应方式
    知识点三
    只有一个
    [基础自测]
    1.解析:对于y=x+xx,当x>0时,y=x+1;当x<0时,y=x-1.即y=x+1,x>0,x-1,x<0,故其图象应为C.
    答案:C
    2.解析:由题图可知,函数f(x)的解析式为
    f(x)=x-1,0<x<1,x+1,-1<x<0,所以f(13)=13-1=-23,
    所以f(f(13))=f(-23)=-23+1=13.
    答案:B
    3.解析:a=[-1.01]=-2,b=[-1]=-1,c=[1.5]=1,
    所以a答案:A
    4.解析:由已知,得f(43)=f(43-1)+1=f(13)+1=f(13-1)+2=f(-23)+2=3×(-23)+2+2=2.
    答案:A
    课堂探究·素养提升
    例1 (1)由已知得,f(x)的定义域为{x|0 (2)由-5∈(-∞,-2],-3∈(-2,2),-52∈(-∞,-2],知f(-5)=-5+1=-4,
    f(-3)=(-3)2+2(-3)
    =3-23.
    因为f(-52)=-52+1=-32,
    -2<-32<2,
    所以f(f(-52))=f(-32)
    =(-32)2+2×(-32)
    =94-3=-34.
    【解析】(3)y=|x+1|+|x-1|=-2x,x≤-1,2,-1<x≤1,2x,x>1.
    作出函数图象如图所示:
    由图象可知,x∈[-1,1]时,ymin=2.
    【答案】 (1)(-1,1) (-1,1) (2)(3)见解析
    跟踪训练1 解析:(1)∵-1<0,∴f(-1)=0,∴f(f(-1))=f(0)=π,
    ∴f(f(f(-1)))=f(π)=π+1.
    (2)由已知得,f(x)的定义域为[-1,1]∪1,+∞∪-∞,-1=R,又x∈[-1,1]时,x2∈[0,1],故函数的值域为[0,1].
    答案:(1)见解析 (2)R [0,1]
    例2 【解析】 (1)各函数对应图象如图所示:
    由图象知,(1)的定义域是(0,+∞),值域是[1,+∞);
    (2)的定义域是(-∞,+∞),值域是(-6,6].
    【解析】(3)①函数f(x)=〈x·[x]〉,x∈[-2,2],
    因为-32=-2,所以-32·-32=-32×(-2)=3,
    则〈-32·-32〉=〈3〉=3,
    则f-32=3;
    因为32=1,
    所以32·32=32×1=32,
    则〈32·32〉=〈32〉=2,
    则f(32)=2.
    【解析】②当x=-1时,[-1]=-1,
    〈-1〉=-1,
    此时y=[x]+〈x〉=-1-1=-2,
    当-1<x<0时,[x]=-1,〈x〉=0,
    此时y=[x]+〈x〉=-1+0=-1,
    当x=0时,[0]=0,〈0〉=0,
    此时y=[x]+〈x〉=0,
    当0此时y=[x]+〈x〉=0+1=1,
    当x=1时,[1]=1,〈1〉=1,
    此时y=[x]+〈x〉=1+1=2,
    则y=[x]+〈x〉=-2,x=-1,-1,-1<x<0,0,x=0,1,0<x<1,2,x=1,
    作图:
    跟踪训练2 解析:(1)①当0≤x≤2时,f(x)=x-x2+1=1.
    ②当-2故f(x)=1,0≤x≤2,-x+1,-2<x<0.
    (2)函数f(x)的图象如图所示:
    由图可知,函数f(x)的值域为[1,3).
    例3 【解析】 (1)当a≤-2时,f(a)=a<-3,此时不等式的解集是(-∞,-3);
    当-2当a≥4时,f(a)=3a<-3,此时不等式无解.
    所以a的取值范围是(-∞,-3).
    (2)依题意,若x≤0,则x+2=3,解得x=1,不合题意,舍去.若0【答案】 (1)(-∞,-3) (2)A
    跟踪训练3 解析:(1)当x≥0时,f(x)=1,
    xf(x)+x≤2⇔x≤1,
    所以0≤x≤1;
    当x<0时,f(x)=0,xf(x)+x≤2⇔x≤2,
    所以x<0.综上,x≤1.
    (2)设f(x)=t,∴f(t)=2,当t∈[-1,1]时,满足f(t)=2,此时-1≤f(x)≤1,无解,当t=2时,满足f(t)=2,此时f(x)=2即-1≤x≤1或x=2.
    答案:(1)A (2){2}∪-1,1
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