人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.1 函数及其表示方法学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.1 函数及其表示方法学案，共10页。

新知初探·自主学习——突出基础性
教 材 要 点
知识点一 分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有________________，则称其为分段函数．
知识点二 分段函数的图象
分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象．
状元随笔 (1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．
(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝1，-2≤x≤0，x，0＜x≤3，其“段”是不等长的．
知识点三 常数函数
值域________元素的函数，通常称为常数函数．
基 础 自 测
1．函数y＝x＋xx的图象是( )
2.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f(f(13))等于( )
A．－13 B．13 C．－23 D．23
3．函数f(x)＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，a＝f(－1.01)，b＝f(－1)，c＝f(1.5)，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．a＝b4．已知f(x)＝3x+2，x≤0，fx-1+1，x>0，则f(43)的值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
课堂探究·素养提升——强化创新性

题型1 分段函数的定义域、值域
例1 (1)函数f(x)＝-x2+1，0＜x＜1，0，x=0，x2-1，-1＜x＜0的定义域为________，值域为________；
(2)已知函数f(x)＝x+1，x≤-2，x2+2x，-2＜x＜2，2x-1，x≥2.试求f(－5)，f(－3)，f(f(－52))的值；
(3)求函数y＝|x＋1|＋|x－1|的最小值．
状元随笔 (1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．
(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．
(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．
方法归纳
(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．
(2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
(3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．
跟踪训练1 (1)已知f(x)＝x+1， x＞0，π， x=0，0， x＜0，
求f(－1)，f(f(－1))，f(f(f(－1)))；
(2)已知函数f(x)＝x2，-1≤x≤1，1，x＞1或x＜-1，则函数的定义域为________，值域为________．
状元随笔 根据不同的取值代入不同的解析式．
题型2 分段函数的图象及应用
例2 分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域．
(1)y＝1x，0＜x＜1，x，x≥1；分段函数图象的画法．
(2)y＝3，x＜-2，-3x，-2≤x＜2，-3，x≥2；
(3)高斯取整函数y＝[x]又称“下取整函数”，其中[x]表示不大于x的最大整数；称函数y＝〈x〉为“上取整函数”，其中〈x〉表示不小于x的最小整数；例如根据定义可得：[1.3]＝1，[－1.3]＝－2，〈－2 .3〉＝－2，〈2 .3〉＝3.
①函数f(x)＝〈x·[x]〉，x∈[－2，2]，
求f(－32)和f(32)；
②试作出函数y＝[x]＋〈x〉的图象，其中－1≤x≤1.
分段函数图象的应用．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝x-x2＋1(－2(1)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数；
(2)在坐标系中画出该函数的图象，并写出函数的值域．
题型3 分段函数的综合问题[逻辑推理、直观想象]
例3 (1)函数f(x)＝x，x≤-2，x+1，-2(2)已知函数f(x)＝x+2，x≤0，x2，0＜x≤3，若f(x)＝3，则x的值是( )
A．3 B．9
C．－1或1 D．－3或3
方法归纳
已知函数值求字母取值范围的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
跟踪训练3 (1)已知f(x)＝1，x≥0，0，x＜0，则不等式xf(x)＋x≤2的解集是( )
A．{x|x≤1} B．{x|x≤2}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|x<0}
(2)已知函数f(x)＝2，x∈-1，1，x，x∉-1，1，若f(f(x))＝2，则x的取值范围是________．
第3课时 分段函数
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
不同的对应方式
知识点三
只有一个
[基础自测]
1．解析：对于y＝x＋xx，当x>0时，y＝x＋1；当x<0时，y＝x－1.即y＝x+1，x＞0，x-1，x＜0，故其图象应为C.
答案：C
2．解析：由题图可知，函数f(x)的解析式为
f(x)＝x-1，0＜x＜1，x+1，-1＜x＜0，所以f(13)＝13－1＝－23，
所以f(f(13))＝f(－23)＝－23＋1＝13.
答案：B
3．解析：a＝[－1.01]＝－2，b＝[－1]＝－1，c＝[1.5]＝1，
所以a答案：A
4．解析：由已知，得f(43)＝f(43－1)＋1＝f(13)＋1＝f(13－1)＋2＝f(－23)＋2＝3×(－23)＋2＋2＝2.
答案：A
课堂探究·素养提升
例1 (1)由已知得，f(x)的定义域为{x|0 (2)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2，2)，－52∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－3)＝(－3)2＋2(－3)
＝3－23.
因为f(－52)＝－52＋1＝－32，
－2＜－32＜2，
所以f(f(－52))＝f(－32)
＝(－32)2＋2×(－32)
＝94－3＝－34.
【解析】(3)y＝|x＋1|＋|x－1|＝-2x，x≤-1，2，-1＜x≤1，2x，x＞1.
作出函数图象如图所示：
由图象可知，x∈[－1，1]时，ymin＝2.
【答案】 (1)(－1，1) (－1，1) (2)(3)见解析
跟踪训练1 解析：(1)∵－1<0，∴f(－1)＝0，∴f(f(－1))＝f(0)＝π，
∴f(f(f(－1)))＝f(π)＝π＋1.
(2)由已知得，f(x)的定义域为[－1，1]∪1，+∞∪-∞，-1＝R，又x∈[－1，1]时，x2∈[0，1]，故函数的值域为[0，1].
答案：(1)见解析 (2)R [0，1]
例2 【解析】 (1)各函数对应图象如图所示：
由图象知，(1)的定义域是(0，＋∞)，值域是[1，＋∞)；
(2)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(－6，6].
【解析】(3)①函数f(x)＝〈x·[x]〉，x∈[－2，2]，
因为-32＝－2，所以－32·-32＝－32×(－2)＝3，
则〈－32·-32〉＝〈3〉＝3，
则f-32＝3；
因为32＝1，
所以32·32＝32×1＝32，
则〈32·32〉＝〈32〉＝2，
则f(32)＝2.
【解析】②当x＝－1时，[－1]＝－1，
〈－1〉＝－1，
此时y＝[x]＋〈x〉＝－1－1＝－2，
当－1＜x＜0时，[x]＝－1，〈x〉＝0，
此时y＝[x]＋〈x〉＝－1＋0＝－1，
当x＝0时，[0]＝0，〈0〉＝0，
此时y＝[x]＋〈x〉＝0，
当0此时y＝[x]＋〈x〉＝0＋1＝1，
当x＝1时，[1]＝1，〈1〉＝1，
此时y＝[x]＋〈x〉＝1＋1＝2，
则y＝[x]＋〈x〉＝-2，x=-1，-1，-1＜x＜0，0，x=0，1，0＜x＜1，2，x=1，
作图：
跟踪训练2 解析：(1)①当0≤x≤2时，f(x)＝x-x2＋1＝1.
②当－2故f(x)＝1，0≤x≤2，-x+1，-2＜x＜0.
(2)函数f(x)的图象如图所示：
由图可知，函数f(x)的值域为[1，3)．
例3 【解析】 (1)当a≤－2时，f(a)＝a<－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；
当－2当a≥4时，f(a)＝3a<－3，此时不等式无解．
所以a的取值范围是(－∞，－3)．
(2)依题意，若x≤0，则x＋2＝3，解得x＝1，不合题意，舍去．若0【答案】 (1)(－∞，－3) (2)A
跟踪训练3 解析：(1)当x≥0时，f(x)＝1，
xf(x)＋x≤2⇔x≤1，
所以0≤x≤1；
当x<0时，f(x)＝0，xf(x)＋x≤2⇔x≤2，
所以x<0.综上，x≤1.
(2)设f(x)＝t，∴f(t)＝2，当t∈[－1，1]时，满足f(t)＝2，此时－1≤f(x)≤1，无解，当t＝2时，满足f(t)＝2，此时f(x)＝2即－1≤x≤1或x＝2.
答案：(1)A (2){2}∪-1，1