新教材人教B版步步高学习笔记【同步课件】第二章 习题课 对称问题

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习题课　对称问题第二章　平面解析几何学习目标1.学会点点、点线、线线对称问题.2.会应用对称问题解决最值问题和反射问题.导语　　同学们，生活中，我们身边有很多和对称有关的事物，比如书桌、水杯、火车、楼房等，包括我们身体的某些器官也是对称的，眼睛的对称，使我们的视觉更加准确、全面，耳朵的对称，使声音有较强的立体感，对称不仅是自然界中的一种生物现象，在数学领域也发挥着巨大的作用，今天我们就直观感受一下直线的对称美.内容索引几种常见的对称问题 一问题　写出点P1(x1，y1)与点P2(x2，y2)的中点坐标.　　已知直线l：y＝3x＋3，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标；设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，∴点P′的坐标为(－2,7).(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；在直线y＝x－2上任取一点M(2,0)，设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程.(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程.在直线l上取两点E(0,3)，F(－1,0)，则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E′(6,1)，F′(7,4).因为点E′，F′在所求直线上，即3x－y－17＝0.对称问题的解决方法(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式.点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x,2b－y).(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求.设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点P(x0，y0)，则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0.反思感悟(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”.设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得.(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题.反思感悟　　　 已知P(－1,2)，M(1,3)，直线l：y＝2x＋1.(1)求点P关于直线l对称点R的坐标；设点P关于直线l的对称点R的坐标为(x，y)，(2)求直线PM关于直线l对称的直线方程.因为M(1,3)的坐标满足直线l的方程，则直线MR为所求的直线，方程为11x＋2y－17＝0.光的反射问题 二 一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程.如图，设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得∴A的坐标为(4,3).∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，又由反射光线过P(－4,3)，A，P两点纵坐标相等，故反射光线所在直线的方程为y＝3.由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，即光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解.反思感悟 如图所示，已知点A(4，0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是√由题意知，AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.如图，点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，利用对称解决最值问题 三 在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得：(1)P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差最大；如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′，∴a＋b－4＝0， ①∴点B′的坐标为(5，－1).即2x＋y－9＝0.易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，当且仅当P，B′，A三点共线时，||PB′|－|PA||最大.(2)Q到A(4,1)与C(3,0)的距离之和最小.如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1,2)，∴AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0.易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，当且仅当Q，A，C′三点共线时，|QA|＋|QC′|最小.反思感悟利用对称性求距离的最值问题由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解. 已知在△ABC中，顶点A(4,2)，点B在直线l：x－y＋2＝0上，点C在x轴上，则△ABC的周长的最小值为√如图，设点A关于直线l：x－y＋2＝0的对称点为A1(x1，y1)，点A关于x轴的对称点为A2(x2，y2)，连接A1A2交l于B，交x轴于C，则此时△ABC的周长取最小值，且最小值为|A1A2|，∵A1与A关于直线l：x－y＋2＝0对称，∴A1(0,6)，易求得A2(4，－2)，课堂小结1.知识清单： (1)关于点点、点线、线线的对称问题. (2)反射问题. (3)利用对称解决有关最值问题.2.方法归纳：转化化归、数形结合.3.常见误区：两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行，千万 不要与两条相交直线关于角平分线所在直线对称混淆.随堂演练 1.点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是A.(－1，－3) B.(17，－9)C.(－1,3) D.(－17,9)1234设点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标为(a，b)，√所以该点的坐标为(－1，－3).12342.直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是A.x＋2y－1＝0 B.2x＋y－1＝0C.2x＋y－3＝0 D.x＋2y－3＝0√即x＋2y－3＝0.12343.若点P(3,4)和点Q(a，b)关于直线x－y－1＝0对称，则A.a＝1，b＝－2 B.a＝2，b＝－1C.a＝4，b＝3 D.a＝5，b＝2√12344.一条光线从点A(3,2)发出，到x轴上的M点后，经x轴反射通过点B(－1,6)，则反射光线所在直线的斜率为_____.－2如图所示，作点A关于x轴的对称点A′，所以点A′在直线MB上.由对称性可知A′(3，－2)，故反射光线所在直线的斜率为－2.课时对点练 1.已知点A(x,1)关于点(3，y)的对称点为(2,3)，则点P(x，y)到原点的距离是12345678910111213141516所以点P的坐标为(4,2)，则点P(x，y)到原点的距离√123456789101112131415162.点P(2,5)关于直线l：x＋y＋1＝0的对称点的坐标为A.(6，－3) B.(3，－6)C.(－6，－3) D.(－6,3)√12345678910111213141516设点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(x，y)，故点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(－6，－3).3.直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是A.2x＋3y＋7＝0 B.3x－2y＋2＝0C.2x＋3y＋8＝0 D.3x－2y－12＝012345678910111213141516√12345678910111213141516∵直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线斜率不变，∴设对称后的直线方程l′为2x＋3y＋c＝0，又点(1，－1)到两直线的距离相等，化简得|c－1|＝7，解得c＝－6或c＝8，∴l′的方程为2x＋3y－6＝0(舍)或2x＋3y＋8＝0，即直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是2x＋3y＋8＝0.123456789101112131415164.直线m：2x＋y－4＝0关于直线n：3x＋4y－1＝0对称直线l的方程是A.2x＋11y＋16＝0 B.2x－11y＋16＝0C.11x－2y＋16＝0 D.11x＋2y＋16＝0√12345678910111213141516由直线m：2x＋y－4＝0知A(2,0)，B(0,4)为直线m上的点，设A，B关于直线n的对称点为A′(a，b)，B′(a′，b′)，1234567891011121314151612345678910111213141516即2x＋11y＋16＝0.123456789101112131415165.过点(2,1)且与点(1,3)距离最大的直线方程是A.2x－y－3＝0 B.2x＋y－5＝0C.x－2y＝0 D.x＋2y－4＝0√故过点(2,1)且与点(1,3)距离最大的直线和这两点所在直线垂直，6.已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为A.2x＋3y＋5＝0 B.3x－2y＋5＝0C.3x＋2y＋5＝0 D.2x－3y＋5＝012345678910111213141516√12345678910111213141516设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，123456789101112131415167.已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|取最小值，则点M的坐标为________.(1,0)12345678910111213141516如图，作点A关于x轴的对称点A′(－3，－8)，连接A′B，则A′B与x轴的交点即为M，连接AM.即2x－y－2＝0.令y＝0，得x＝1，所以点M的坐标为(1,0).123456789101112131415168.已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为___________.x－y＋1＝0线段PQ的垂直平分线就是直线l，又PQ的中点坐标为(2,3)，∴直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.9.已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上.若点P是直线l1上某一点，求点P到直线l3的距离.1234567891011121314151612345678910111213141516如图所示，结合图形可知，直线l1∥l3，则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离.由题意知l1与l2关于x轴对称，故l2的方程为y＝－2x＋3，l2与l3关于y轴对称，故l3的方程为y＝2x＋3.由两平行线间的距离公式，得l1与l3间的距离1234567891011121314151610.平行四边形的两邻边的方程是x＋y＋1＝0和3x－y＋4＝0，对角线的交点是O′(3,3)，求另外两边的方程.12345678910111213141516建立如图所示的直角坐标系，因为O′是对角线AC的中点，且O′为(3,3)，由x＋y＋1＝0知，kAB＝－1，所以kCD＝－1，12345678910111213141516因为kAD＝3，所以kBC＝3，所以另外两边的方程分别为x＋y－13＝0,3x－y－16＝0.1234567891011121314151611.点P(a，b)关于直线l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上，则a＋b等于A.－1 B.1 C.2 D.0√∵点P(a，b)关于l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上，∴点P(a，b)在直线l上，∴a＋b＋1＝0，即a＋b＝－1.12345678910111213141516√12345678910111213141516∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(－2,4)与B(－1,3)的距离之和，设点A(－2,4)关于x轴的对称点为A′，则A′(－2，－4).要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|＋|MB|的最小值，1234567891011121314151613.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(－1，－4)，若将军从点A(－1,2)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3.则“将军饮马“的最短总路程为√12345678910111213141516如图所示，设点B关于直线x＋y＝3的对称点为C(a，b)，在直线x＋y＝3上取点P，12345678910111213141516由对称性可得|PB|＝|PC|，所以|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PC|≥|AC|当且仅当A，P，C三点共线时，等号成立，14.已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_____________.123456789101112131415166x－y－6＝012345678910111213141516设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，又反射光线经过点N(2,6)，1234567891011121314151615.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4)，B(0，－5)，C(10,0)，线段AC的垂直平分线为l.点P在直线l上运动，当|AP|＋|BP|最小时，此时点P的坐标是√线段AC的中点为(6,2)，所以直线l的方程为y－2＝2(x－6)，即2x－y－10＝0.所以直线BC与直线l的交点即为使|AP|＋|BP|最小的点.1234567891011121314151616.已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4).(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；1234567891011121314151612345678910111213141516设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，故A′(－2,8).因为P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，12345678910111213141516故所求的点P的坐标为(－2,3).(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大.1234567891011121314151612345678910111213141516A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，故所求的点P的坐标为(12,10).