北师大版2022年中考数学专项复习：09特殊三角形（含答案）

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09特殊三角形

【考纲要求】
【高清课堂：等腰三角形与直角三角形 考纲要求】
1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定．
2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题．
3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．
【知识网络】


【考点梳理】
考点一、等腰三角形
1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
2．性质：
　　(1)具有三角形的一切性质；
　　(2)两底角相等(等边对等角)；
　　(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)；
　　(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°．
　要点诠释：等边三角形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条.
3．判定：
　　(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；
　　(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
　　(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
　要点诠释：
　　(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；
　　(2)等边三角形是特殊的等腰三角形．
考点二、直角三角形
1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
2．性质：
　(1)直角三角形中两锐角互余；
　(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；
　(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；
　(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；
　(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；
　(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
要点诠释：
（1）直角三角形中，SRt△ABC=ch=ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；
（2）圆内接三角形，当一条边为直径时，该三角形是直角三角形．
3．判定：
　　(1)两内角互余的三角形是直角三角形；
　　(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形；
　　(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边．
【典型例题】
类型一、等腰三角形
1．六边形ABCDEF的每个内角都为120°,且AB=1，BC=9，CD=6，DE=8.求六边形ABCDEF的周长．

【思路点拨】考虑到每个内角为120°,则每个外角均为60°,可通过构造等边三角形来求边长及面积．
【答案与解析】


延长BC、ED交于M，DE、AF交于N，FA、CB交于P．
∵∠EDC=∠DCB=120° ∴∠DCM=∠CDM=60°，
∴△MDC为等边三角形∠M=60°，
同理△BAP，△EFN均为等边三角形．
∠M=∠N=60° ∴△MNP为等边三角形，
MD=MC=6，PB=PA=1，
NE=NF=EF，
MP=6+9+1=16=MN=NP，
EF=NF=NE=MN-ME=16-（6+8）=2．
FA=NP-NF-PA=16-1-2=13，
∴周长为1+9+6+8+2+13=39．
【总结升华】考点是多边形外角和内角的关系.
举一反三：
【变式】把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是________．
　　　　　　　

【答案】.
2．已知: 如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．
　　(1)求证:AE=AF．
　　(2)若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．






【思路点拨】菱形的定义和性质.
【答案与解析】





(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD,∠B=∠D ，
　又∵BE=DF，∴≌ ．
　∴AE=AF．
　　　　　　　　 (2)连接AC, ∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，
∴AB=AC=AD，
∵AB=BC=CD=DA ,
∴△ABC和△ACD都是等边三角形．
∴, ．
∴．
又∵AE=AF ∴是等边三角形．
【总结升华】此题涉及到三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质.

举一反三：【高清课堂：等腰三角形与直角三角形 例4】
【变式】如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE. 求证：CE=DE.







【答案】延长BD到F，使DF＝BC，连接EF，

∵等边△ABC，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝60．
∵BF＝BD+DF，BE＝AB+AE，AE＝BD，BC＝DF，
∴BF＝BE，
∴等边△BEF，
∴EF＝BE，∠F＝∠B，
∴△BCE≌△FDE（SAS）．
∴CE＝DE．
类型二、直角三角形
3．△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点．
　 　　求证：(1)△ACE≌△BCD； (2)．
　　
　　　　
【思路点拨】判定两个三角形全等时，首先要根据条件判断运用哪个判定定理.
【答案与解析】(1) ∵ ，
　　　　　　∴ ，
　　　　　　即 ．
　　　　　　 　　∵ ，
　　　　　　 　　∴ △BCD≌△ACE．
　　　　　　 (2) ∵ ，
　　　　　　 　　∴ ．
　　　　　　　　 ∵ △BCD≌△ACE，
　　　　　　 　　∴ ，
　　　　　　 　　∴ ．
　　　　　　 　　∴ ．
【总结升华】该题涉及到的知识点有全等三角形的判定及勾股定理.
4．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE，AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由．
　　　

【思路点拨】△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,为证明全等提供了等线段的条件.
【答案与解析】猜测 AE＝BD，AE⊥BD.
　　　　　　理由如下：
　　　　　　∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
　　　　　　∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．
　　　　　　∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
　　　　　　∴AC＝CD，CE＝CB．
　　　　　　∴△ACE≌△DCB（SAS）．
　　　　　　∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB．
　　　　　　∵∠AFC＝∠DFH，
　　　　　　∴∠DHF＝∠ACD＝90°，
　　　　　　∴AE⊥BD．
【总结升华】两条线段的关系包括数量关系和位置关系两种.
举一反三：
【变式】 .以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn=________.
【答案】.
类型三、综合运用
5 .如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：

如图①，连接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴=AB•PE，=AC•PF，=AB•CH．
又∵，
∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=______.点P到AB边的距离PE=________.
【思路点拨】运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．
【答案与解析】
（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴=AB•PE，=AC•PF，=AB•CH，
∵=+，
∴AB•PE=AC•PF+AB•CH，
又∵AB=AC，
∴PE=PF+CH；

（2）∵在△ACH中，∠A=30°，
∴AC=2CH．
∵=AB•CH，AB=AC，
∴×2CH•CH=49，
∴CH=7．
分两种情况：
①P为底边BC上一点，如图①．
∵PE+PF=CH，
∴PE=CH-PF=7-3=4；
②P为BC延长线上的点时，如图②．
∵PE=PF+CH，
∴PE=3+7=10．
故答案为7；4或10．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中.
6．在△ＡＢＣ中，AC=BC，，点D为AC的中点．
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作 ，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
　　　　　　　　
【思路点拨】根据条件判断FH=FC,要证FH=FC一般就要证三角形全等.
【答案与解析】（1）FH与FC的数量关系是：．
　　　　　 　









延长交于点G，
　　　　　　　　由题意，知 ∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF．
　　　　　　　　∴DG∥CB．
　　　　　　　　∵点D为AC的中点，
　　　　　　　　∴点G为AB的中点，且．
　　　　　　　　∴DG为的中位线．
　　　　　　　　∴．
　　　　　　　　∵AC=BC，
　　　　　　　　∴DC=DG．
　　　　　　　　∴DC- DE =DG- DF．
　　　　　　　　即EC =FG．
　　　　　　　　∵∠EDF =90°，，
　　　　　　　　∴∠1+∠CFD =90°，∠2+∠CFD=90°．
　　　　　　　 ∴∠1 =∠2．
　　　　　　　　∵与都是等腰直角三角形，
　　　　　　　　∴∠DEF =∠DGA = 45°．
　　　　　　　 ∴∠CEF =∠FGH = 135°．
　　　　　　　 ∴△CEF ≌△FGH．
　　　　　　　　∴ FH=FC．
　　 （2）FH与FC仍然相等．
【总结升华】对于特殊三角形的判定及性质要记住并能灵活运用，注重积累解题思路和运用数学思想和方法解决问题的能力和培养.
举一反三：
【高清课堂：等腰三角形与直角三角形 例7】
【变式】如图， △ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=; ②S⊿ABC+S⊿CDE≥S⊿ACE ; ③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个






【答案】D.

中考总复习：全等三角形—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1．　已知等边△ABC的边长为a，则它的面积是（ ）
　A．a2　　　 B．a2 　　　C．a2 　　　D．a2
2．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．那么在下列四个结论中：（1）AC⊥BD；（2）BC=DE；（3）∠DBC=∠DAB；（4）△ABE是正三角形，其中正确的是（　　）
A．（1）和（2） B．（2）和（3） C．（3）和（4） D．（1）和（4）　
3.如图，等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，在底边BC上截取BD=AB，过D作DE⊥BC交AC于E，连接AD，则图中等腰三角形的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4

4.如图，三角形纸片ABC中，∠B=2∠C，把三角形纸片沿直线AD折叠，点B落在AC边上的E处，那么下列等式成立的是（　　）A．AC=AD+BD B．AC=AB+BD C．AC=AD+CD D．AC=AB+ CD

5．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（　　）
A. B． C． D.
6. 用含30°角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形，其中可以被拼成的图形是（　　）
A．①② B．①③ C．③④ D．①②③
二、填空题
7．如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：
① AD=BE；② PQ∥AE；③ AP=BQ；④ DE=DP；　⑤ ∠AOB=60°.
恒成立的有______________(把你认为正确的序号都填上).
8．如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点在小量角器上对应的度数为，那么在大量角器上对应的度数为_____（只需写出～的角度）．　　　　
9. 若直角三角形两直角边的和为3，斜边上的高为，则斜边的长为 .
10.如图，已知正方形ABCD的边长为2，△BPC是等边三角形，则△CDP的面积是_________；△BPD的面积是_________.
　　　　　　　　
11．如图，P是正三角形 ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB ，则点P与点P′ 之间的距离为_________，∠APB=_________.
　　　　
12．.以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn=________.
三、解答题
13. 已知：在△ABC中，∠ABC=90°，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM，DM．

（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；
（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；
（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系． 　






14. (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.
　 求证：BE＝CF.
　　　　
图1
(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°, EF＝4.求GH的长.
　　　　
　　　　　　　　图2
(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,∠FOH＝90°,EF＝4. 直接写出下列两题的答案：
①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；
②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).
　　
图3　　　　　　　图4
　　



15．①如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．
下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．
证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，
　　　AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．
　　　（下面请你完成余下的证明过程）
　　　　　
　　②若将①中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．
　　　　　
　　③若将①中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCD…X”，请你做出猜想：
　　　当∠AMN=_____________°时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）
　


　
16.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
　　⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
　　⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
　　　 ②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
　　⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.
　



【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D.
2.【答案】B.
【解析】此题采取排除法做．
（1）AB=AE，所以△ABE是等腰的，等腰三角形底角∠AEB不可能90°，所以AC⊥BD不成立．排除A，D；（2）∵AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．∴△DAE≌△CAB，∴BC=DE成立，排除C．
3.【答案】D．
【解析】三角形ABC是等腰三角形，且∠BAC=90°，所以∠B=∠C=45°，又DE⊥BC，所以∠DEC=∠C=
45°，所以△EDC是等腰三角形，BD=AB，所以△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠BDA，而∠EAD=
90°-∠BAD，∠EDA=90°-∠BDA，所以∠EAD=∠EDA，所以△EAD是等腰三角形，因此图中等腰三角形共4个．
4.【答案】B.
【解析】根据题意证得AB=AE，BD=DE，DE=EC．据此可以对以下选项进行一一判定．选B.
5.【答案】A.
6.【答案】B.
【解析】 当把完全重合的含有30°角的两块三角板拼成的图形有三种情况：
（1）当把60度角对的边重合，且两个直角的顶角也重合时，所成的图形是等边三角形；
（2）当把30度角对的边重合，且两个直角的顶角也重合时，所成的图形是等腰三角形；
（3）当斜边重合，且一个三角形的30度角的顶点与另一个三角形60度角的顶点重合时，所成的图形是矩形，矩形也是平行四边形．选B
二、填空题
7．【答案】①②③⑤.
【解析】提示：证△ACD≌△BCE, △ACP≌△BCQ.
8．【答案】50°.
9．【答案】.
【解析】设直角边为a,b,斜边为c，则+=3，，，代入即可.
10．【答案】1， .
【解析】

∵△BPC是等边三角形，∴∠PCD=30°
做PE⊥CD,得PE=1，即△CDP的面积是=×2×1=1；
根据即可推得.
11．【答案】6 ，150°.
12．【答案】.
三、解答题
13.【答案与解析】
（1）结论：BM=DM，∠BMD=2∠BCD．
理由：∵BM、DM分别是Rt△DEC、Rt△EBC的斜边上的中线，
∴BM=DM=CE；
又∵BM=MC，∴∠MCB=∠MBC，即∠BME=2∠BCM；
同理可得∠DME=2∠DCM；
∴∠BME+∠DME=2（∠BCM+∠DCM），即∠BMD=2∠BCD．
（2）在（1）中得到的结论仍然成立．即BM=DM，∠BMD=2∠BCD
证法一：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴BM=EC=MC，又点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴DM=EC=MC，
∴BM=DM；
∵BM=MC，DM=MC，
∴∠CBM=∠BCM，∠DCM=∠CDM，
∴∠BMD=∠EMB+∠EMD=2∠BCM+2∠DCM=2（∠BCM+∠DCM）=2∠BCD，
即∠BMD=2∠BCD．
证法二：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴BM=EC=ME；
又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，
∴DM=EC=MC，
∴BM=DM；
∵BM=ME，DM=MC，
∴∠BEC=∠EBM，∠MCD=∠MDC，
∴∠BEM+∠MCD=∠BAC=90°-∠BCD，
∴∠BMD=180°-（∠BMC+∠DME），=180°-2（∠BEM+∠MCD）=180°-2（90°-∠BCD）=2∠BCD，
即∠BMD=2∠BCD．
（3）所画图形如图所示：

图1中有BM=DM，∠BMD=2∠BCD；
图2中∠BCD不存在，有BM=DM；
图3中有BM=DM，∠BMD=360°-2∠BCD．
解法同（2）．
14.【答案与解析】(1) 证明：
如图1，∵ 四边形ABCD为正方形，
　　　∴ AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，
　　　∴ ∠EAB+∠AEB=90°.
　　　∵ ∠EOB=∠AOF＝90°,
　　　∴ ∠FBC+∠AEB=90°，∴ ∠EAB=∠FBC，
　　　∴ △ABE≌△BCF ， ∴ BE=CF．
(2) 解：如图2,过点A作AM//GH交BC于M，
　过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/，
　则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，
　∴ EF=BN,GH=AM，
　∵ ∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴ ∠NO/A=90°,
　故由(1)得, △ABM≌△BCN， ∴ AM=BN，
　∴ GH=EF=4．
　(3) ① 8．② 4n．
15.【答案与解析】（1）∵AE=MC,∴BE=BM, ∴∠BEM=∠EMB=45°,
∴∠AEM=1355°,
　　 　　 ∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°
　　 　 在△AEM和△MCN中：∵∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN
　　　　（2）仍然成立．
　　 　　　　在边AB上截取AE=MC，连接ME
　　 　　　　∵△ABC是等边三角形，
　　 　　　　∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，
　　 　　　　∴∠ACP=120°．
　　 　　　　∵AE=MC，∴BE=BM
　　 　　　　∴∠BEM=∠EMB=60°
　　 　　　　∴∠AEM=120°．
　　 　　　　∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，
　　 　　　　∴∠AEM=∠MCN=120°
　　 　　　　∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM
　　 　　　　∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN
　　　　（3）
16.【答案与解析】⑴ ∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°.
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
即∠BMA＝∠NBE.
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）.
　　　　　　　　









⑵ ①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM＋BM＋CM的值最小.
理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形.
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.
根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.
　　　　　　　　⑶ 过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.
在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，
∴（）2＋（x＋x）2＝.
解得，x＝（舍去负值）.
∴正方形的边长为.