北师大版2022年中考数学专项复习：08特殊的四边形（含答案）

这是一份北师大版2022年中考数学专项复习：08特殊的四边形（含答案），共23页。
08特殊的四边形 【考纲要求】1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、几种特殊四边形性质、判定  四边形 性       质 判      定   边 角 对角线 矩形 对边平行且相等 四个角是直角 相等且互相平分1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形中心、轴对称图形 菱形 四条边相等 对角相等，邻角互补垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、四条边都相等的四边形是菱形；3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .中心对称图形  正方形 四条边相等 四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角1、邻边相等的矩形是正方形2、对角线垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形中心、轴对称图形  等腰梯形 两底平行，两腰相等 同一底上的两个角相等 相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.轴对称图形【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质.考点二、中点四边形相关问题中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；
若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；
若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等．【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．
考点三、重心
1.线段的中点是线段的重心；三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心；三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍.
平行四边形对角线的交点是平行四边形的重心。【典型例题】类型一、特殊的平行四边形的应用1.如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作笫三个正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的边长记为a1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，则an=___________． 【思路点拨】求a2的长即AC的长，根据直角△ABC中AB2+BC2=AC2可以计算，同理计算a3、a4．由求出的a2=a1，a3=a2…，an=an-1=（）n-1，可以找出规律，得到第n个正方形边长的表达式．【答案】（）n-1.【解析】∵a2=AC，且在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∴a2=a1=，同理a3=a2=2，,
a4=a3=2，…
由此可知：an=an-1=（）n-1故答案为：（）n-1.【总结升华】考查了正方形的性质，以及勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到an的规律是解题的关键．举一反三： 【高清课堂: 多边形与特殊平行四边形  例4】【变式】长为1，宽为a的矩形纸片（），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为­­­­________． 【答案】或.2．O是△ABC所在平面内一动点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，如果DEFG能构成四边形，
(1)如图，当O点在△ABC内部时，判断四边形DEFG是什么特殊的四边形，并证明．(2)若四边形DEFG为矩形，O点所在位置应满足什么条件？画出图形并说明理由．(3)若四边形DEFG为菱形，O点所在位置应满足什么条件？画出图形并说明理由．
【思路点拨】（2）分析：四边形DEFG是平行四边形．若要四边形DEFG为矩形，需要EF⊥FG．（3）分析：四边形DEFG是平行四边形．若要四边形DEFG为菱形，需要EF=FG．【答案与解析】（1）四边形DEFG是平行四边形．
　　    证明：∵D、G分别是AB、AC的中点，
　　　　　∴，且．
　　　　　同理，，且．
　　　　　∴，且．
　　　　　∴四边形DEFG是平行四边形．
　（2）
　解：当AO⊥BC时，四边形DEFG是矩形．
　　　连接OA，易知，．
　　　所以AO⊥BC时，EF⊥FG，此时平行四边形DEFG为矩形．
（3）　　　　　　　　　　　
　　解：当AO=BC时，四边形DEFG是菱形．
　　　　连接OA，可知，．
　　　　所以当AO=BC时，EF=FG，此时平行四边形DEFG是菱形．【总结升华】重点考查了特殊平行四边形的判定.类型二、梯形的应用3．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任取一点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F．
（1）若点F与B重合，求CE的长；
（2）若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长；
（3）设CE=x，BF=y，写出y关于x的函数关系式（直接写出结果可）．【思路点拨】（1）先证明四边形ABED为矩形，CE=BC-AD，继而即可求出答案；
（2）设AF=CE=x，则HE=x-3，BF=7-x，再通过证明△BEF∽△HDE，根据对应边成比例，然后代入求解即可；
（3）综合（1）（2）两种情况，然后代入求出解析式即可．【答案与解析】（1）∵F与B重合，且EF⊥DE，∴DE⊥BC，
∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=∠B=90°，
∴四边形ABED为矩形，
∴BE=AD=9，
∴CE=12-9=3．
 （2）作DH⊥BC于H，则DH=AB=7，CH=3．
设AF=CE=x，
∵F在线段AB上，
∴点E在线段BH上，CH=3，CE=x，
∴HE=x-3，BF=7-x，
∵∠BEF+90°+∠HED=180°，∠HDE+90°+∠HED=180°，
∴∠BEF=∠HDE，
又∵∠B=∠DHE=90°，
∴△BEF∽△HDE
∴=，
∴=，
整理得x2-22x+85=0，
（x-5）（x-17）=0，
∴x=5或17，
经检验，它们都是原方程的解，但x=17不合题意，舍去．
∴x=CE=5．
（3）作DH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12， CE=x，BF=y，
∴则HE=x-3，BF=y，
当3≤x≤12时，
易证△BEF∽△HDE，
∴=，
∴y=-x2+x-，
当0≤x＜3，
易证△BEF∽△HDE，
则HE=3-x，BF=y，
∴=，
∴y=x2－x＋．【总结升华】本题考查直角梯形的知识，同时考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，是一道小的综合题，注意对这些知识的熟练掌握并灵活应用．举一反三：【变式】如图为菱形ABCD与正方形EFGH的重迭情形，其中E在CD上，AD与GH相交于I点，且AD∥HE．若∠A=60°，且AB=7，DE=4，HE=5，则梯形HEDI的面积为（　　）.　　　　　　Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．10-　　　Ｄ．10+　　【答案】B.类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用【高清课堂: 多边形与特殊平行四边形  例7】4. 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，为CD边上的点，=3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．   （1）求BN的长；（2）求四边形ABNM的面积.        【思路点拨】（1）根据折叠的性质得出AM=A′M，BN=B′N，BN=B′N=x，则CN=9-x，再利用勾股定理求出即可；（2）首先求出NC的长，即可得出BN，利用角相等三角函数值就相等，即可求出AM，即可得出答案．【答案与解析】如图．（1）由题意，点A与点A′，点B与点B′分别关于直线MN对称，
∴AM=A′M，BN=B′N．
设BN=B′N=x，则CN=9-x．
∵正方形ABCD，∴∠C=90°．
∴CN2+B′C2=B′N2．
∵B′C=3，
∴（9-x）2+32=x2．
解得x=5,∴BN=5．
（2）∵正方形ABCD，
∴AD∥BC，∠A=90°．
∵点M，N分别在AD，BC边上，
∴四边形ABNM是直角梯形．
∵BN=B′N=5，BC=9，
∴NC=4．
∴sin∠1=，tan∠1=．
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1．
∴sin∠3=sin∠1=，
在Rt△DB′P中，∵∠D=90°，DB′=DC-B′C=6，sin∠3==，
∴PB′=，
∵A′B′=AB=9，
∴A′P=A′B′-PB′=，
∵∠4=∠3，
∴tan∠4=tan∠3=，
在Rt△A′MP中，∵∠A′=∠A=90°，A′P=，tan∠4==，
∴A'M=2．
∴S梯形ABNM=（AM+BN）×AB=×（2+5）×9=．【总结升华】此题主要考查了折叠问题与解直角三角形以及正方形的知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，以及解直角三角形时相等的角三角函数值相等．5．如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．【思路点拨】（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；
（2）根据△ABE≌△ACF可得=,故根据S四边形AECF =+=+=即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据=S四边形AECF-，则△CEF的面积就会最大．【答案与解析】（1）证明：连接AC，如下图所示，
 ∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，
∴∠1=∠3，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠4=60°，AC=AB，
∴在△ABE和△ACF中，，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE=CF；
（2）解：四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化．
理由：由（1）得△ABE≌△ACF，
则S△ABE=S△ACF，
故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，
作AH⊥BC于H点，则BH=2，
S四边形AECF=S△ABC=BC•AH=BC•=，
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，
又S△CEF=S四边形AECF-S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大．
∴S△CEF=S四边形AECF-S△AEF=-××=．【总结升华】考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证△ABE≌△ACF是解题的关键，有一定难度．6.如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD．已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5．
（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值；
（2）记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1-S2是常数；
（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长． 【思路点拨】（1）根据题意表示出AG、GD的长度，再由△GCD∽△APG，利用对应边成比例可解出x的值．
（2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出S1、S2，然后作差即可．
（3）延长PD交AC于点Q，然后判断△DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的长度．【答案与解析】（1）∵CG∥AP，∴△GCD∽△APG，
∴=，
∵GF=4，CD=DA=1，AF=，
∴GD=3-，AG=4-，
∴=，即y=，
∴y关于x的函数关系式为y=，
当y=3时，=3，解得x=2.5，
经检验的x=2.5是分式方程的根．故x的值为2.5；
（2）∵S1=GP•GD=••（3-）=，
S2=GD•CD=（3-x）×1=，
∴S1-S2=-=即为常数；
（3）延长PD交AC于点Q．
 ∵正方形ABCD中，AC为对角线，
∴∠CAD=45°，
∵PQ⊥AC，
∴∠ADQ=45°，
∴∠GDP=∠ADQ=45°．
∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP，
∴3-x=，
化简得：x2-5x+5=0．
解得：x=，
∵0≤x≤2.5，
∴x=，
在Rt△DGP中，PD==（3-x）=．【总结升华】此题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质及解直角三角形的知识，解答本题的关键是用移动的时间表示出有关线段的长度，然后运用所学知识进行求解．举一反三：【变式】如图，E是矩形ABCD边BC的中点，P是AD边上一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H．
（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？请予以证明；
（2）在（1）中，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？
 【答案】（1）AD=2AB．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD；
∵E是BC的中点，
∴AB=BE=EC=CD；
则△ABE、△DCE是等腰Rt△；
∴∠AEB=∠DEC=45°；
∴∠AED=90°；
四边形PFEH中，∠PFE=∠FEH=∠EHP=90°，故四边形PFEH是矩形；
（2）点P是AD的中点时，矩形PHEF变为正方形；理由如下：
由（1）可得∠BAE=∠CDE=45°；
∴∠FAP=∠HDP=45°；
又∵∠AFP=∠PHD=90°，AP=PD，
∴Rt△AFP≌Rt△DHP；
∴PF=PH；
在矩形PFEH中，PF=PH，故PFEH是正方形．.    中考总复习：特殊的四边形--巩固练习（提高） 【巩固练习】一、选择题1. 如图,E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ＋PR的值是(     )． A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．2．如图,在梯形ABCD中， AB∥CD， 中位线MN = 7,对角线AC⊥BD,∠BDC = 30°，则梯形的高为（     ）．A． 　　　B．　　　 C． 　　　D．

           第1题                      第2题                          第3题3. 四边形ABCD的对角线AC=BD，且AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，得到四边形EFGH，则它是（     ）.A．正方形 　　　B．菱形 　　　C．矩形　　　 D．任意四边形4如图，矩形ABCD中，其长为a，宽为b，如果，则的值为（    ）.
A．　　　 B．　　　 C． 　　　D．
5.如图，在菱形ABCD中，，的垂直平分线FE交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF．则等于（     ）．　A． 　　　B． 　　　C．　　　 D．
           第5题                    第6题6.如图，梯形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，E点在CD上，且DE：EC=1：4．若AB=5，BC=4，AD=8，则四边形ABCE的面积为（　　）.    A.24      B.25       C.26          D.27 二、填空题7. 如图，点E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH=AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为___________．
　              第7题                     第8题8. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O．下面结论正确的是_________．
①AC=BD；②∠DAO=∠DBC；③S△BOC=S梯形ABCD；④△AOB≌△DOC．9. 已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=2，那么AP的长为_____.10.如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若=，则△ABC的边长是_________.                第10题                        第11题                       第12题11.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BE平分∠ABC且交CD于E，E为CD的中点，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，当AD=2，BC=12时，四边形BGEF的周长为_________． 12.如图，以菱形ABCD各边的中点为顶点作四边形A1B1C1D1，再以A1B1C1D1各边的中点为顶点作四边形A2B2C2D2，…，如此下去，得到四边形A2018B2018C2018D2018，若ABCD对角线长分别为a和b，请用含a、b的代数式表示四边形A2018B2018C2018D2018的周长_________________. 三、解答题13. 已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．
　　(1)当DG=2时，求△FCG的面积；
　　(2)设DG=，用含的代数式表示△FCG的面积；
　　(3)判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．  14.在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，△MPN为直角三角形，∠MPN=90°．正方形ABCD保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F．
（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为______；
（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；
（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为_______；位置关系为_________．
      15．如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．
（1）猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；
（2）当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
   16.如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），∠OBA=90°，BC∥OA，OB=8，点E从点B出发，以每秒1个单位长度沿BC向点C运动，点F从点O出发，以每秒2个单位长度沿OB向点B运动．现点E、F同时出发，当点F到达点B时，E、F两点同时停止运动．
（1）求梯形OABC的高BG的长；
（2）连接E、F并延长交OA于点D，当E点运动到几秒时，四边形ABED是等腰梯形；
（3）动点E、F是否会同时在某个反比例函数的图象上？如果会，请直接写出这时动点E、F运动的时间t的值；如果不会，请说明理由．    【答案与解析】一.选择题1．【答案】A．2．【答案】B.3．【答案】A.4．【答案】A.【解析】由题意，，.5．【答案】D.6．【答案】C.【解析】连接AC，     
∵梯形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，AB=5，BC=4，AD=8，
∴S梯形ABCD=•（AD+BC）•AB==30，S△ABC=AB•BC=×5×4=10，
∴S△ACD=30-10=20，
∵DE：EC=1：4，∴S△ACE=20×=16，∴S四边形ABCE=10+16=26．故选C．二．填空题7．【答案】.【解析】 把△APD旋转到△DCM，把△ABF旋转到△BCN， 则多边形PFBNMD的面积被分成10份，阴影部分占4份.8．【答案】①②④.9．【答案】或. 10.【答案】12.【解析】设正△ABC的边长为x，则高为x，S△ABC=x•x=x2，
∵所分成的都是正三角形，∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为x-，较短的对角线为（x-）=x-1，
∴黑色菱形的面积=（x-）（x-1）=（x-2）2，
∴=，整理得，11x2-144x+144=0，
解得x1=（不符合题意，舍去），x2=12，所以，△ABC的边长是12．11.【答案】28.【解析】先根据EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G得出四边形BGEF是平行四边形，再由BE平分∠ABC且交CD于E可得出∠FBE=∠EBC，由EF∥BC可知，∠EBC=∠FEB，故∠FBE=FEB，由此可判断出四边形BGEF是菱形，再根据E为CD的中点，AD=2，BC=12求出EF的长，进而可得出结论．12．【答案】.【解析】结合图形，脚码为奇数时，四边形A2n-1B2n-1C2n-1D2n-1是矩形，长为 ，宽为 ；
脚码为偶数时，四边形A2nB2nC2nD2n是菱形，边长为 ，
∴四边形A2010B2010C2010D2010是菱形，边长为 ，
周长为 ，即 ．
∴四边形A2018B2018C2018D2018是矩形，长为，宽为，
∴四边形A2018B2018C2018D2018的周长为：2（+）=．故答案为：．三.综合题13．【解析】(1).
   (2)作FM⊥DC，M为垂足，连结GE，
∵ AB∥CD，∴ ∠AEG=∠MGE，
　　　　　　　 ∵ HE∥GF，∴ ∠HEG=∠FGE．
　　　　　　　 ∴ ∠AEH=∠MGF。
　　　　　　　 在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，
　　　　　　　 ∴ △AHE≌△MFG。
　　　　　　　 ∴ FM=HA=2，
　　　　　　　 即无论菱形EFGH如何变化，点F的直线CD的距离始终为定值2.
因此
(3)若，由，得，此时在△DGH中，.
相应地，在△AHE中，，即点E已经不在边AB上.
故不可能有.14．【解析】（1）OE=OF（相等）；
（2）OE=OF，OE⊥OF；
证明：连接BO，
∵在正方形ABCD中，O为AC中点，
∴BO=CO，BO⊥AC，∠BCA=∠ABO=45°，
∵PF⊥BC，∠BCO=45°，
∴∠FPC=45°，PF=FC．
∵正方形ABCD，∠ABC=90°，
∵PF⊥BC，PE⊥AB，
∴∠PEB=∠PFB=90°．
∴四边形PEBF是矩形，
∴BE=PF．
∴BE=FC．
∴△OBE≌△OCF，
∴OE=OF，∠BOE=∠COF，
∵∠COF+∠BOF=90°，
∴∠BOE+∠BOF=90°，
∴∠EOF=90°，
∴OE⊥OF．
（3）OE=OF（相等），OE⊥OF（垂直）．15．【解析】（1）四边形EFGH是菱形．
（2）成立．理由：连接AD，BC．
∵∠APC=∠BPD，
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD．
即∠APD=∠CPB．
又∵PA=PC，PD=PB，
∴△APD≌△CPB（SAS）∴AD=CB．
∵E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，
∴EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线．
∴EF=BC，FG=AD，GH=BC，EH=AD．
∴EF=FG=GH=EH．∴四边形EFGH是菱形．
（3）补全图形．
判断四边形EFGH是正方形．
理由：连接AD，BC．
∵（2）中已证△APD≌△CPB．
∴∠PAD=∠PCB．
∵∠APC=90°，
∴∠PAD+∠1=90°．
又∵∠1=∠2．
∴∠PCB+∠2=90°．
∴∠3=90°．
∵（2）中已证GH，EH分别是△BCD，△ACD的中位线，
∴GH∥BC，EH∥AD．
∴∠EHG=90°．
又∵（2）中已证四边形EFGH是菱形，
∴菱形EFGH是正方形.16.【解析】（1）根据题意，AB==6,
∵2S△AOB=AB•OB=AO•BG，∴BG===4.8；
（2）设当E点运动到x秒时，四边形ABED是等腰梯形，则BE=x，OF=2x，
∵BC∥OA，
∴=，即=，解得OD=，
过E作EH⊥OA于H，
∵四边形ABED是等腰梯形，
∴DH=AG=，HG=BE=x，
∴DH=10--x-3.6=3.6，解得x=；

（3）会同时在某个反比例函数的图象上．
根据题意，OG=AO-AG=10-3.6=6.4，
∴点E（6.4-t，4.8），
∵OF=2t，
∴2tcos∠AOB=2t×=t，2tsin∠AOB=2t×=t，
∴点F的坐标为（t，t）
假设能在同一反比例函数图象上，则t×t=（6.4-t）×4.8，
整理得：2t2+5t-32=0，
△=25-4×2×（-32）=281＞0，
∴方程有解，即E、F会同时在某一反比例函数图象上，此时，t=，
因此E、F会同时在某个反比例函数的图象上，t=．