2022年中考数学基础题提分讲练专题：02 方程（组）（含答案）

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必考点1 一元一次方程
（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）
（2）一元一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）
（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。
【典例1】关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）
A．9B．8C．5D．4
【答案】C
【解析】
解：因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1，
可得：a-2=1，2+m=4，
解得：a=3，m=2，
所以a+m=3+2=5，
故选：C．
【点睛】
此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．
必考点2 一元一次方程的应用
【典例2】一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店（ ）
A．不盈不亏 B．盈利20元 C．亏损10元 D．亏损30元
【答案】C
【解析】
设两件衣服的进价分别为x、y元，
根据题意得：120-x=20%x，y-120=20%y，
解得：x=100，y=150，
∴120+120-100-150=-10（元）．
故选：C．
点睛：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【举一反三】
1．已知九年级某班30位同学种树72棵，男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生x人，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
设男生x人，则女生有(30－x)人，由题意得：，故选D.
【点睛】
本题考查列一元一次方程，解题的关键是读懂题意，得出一元一次方程.
必考点3 二元一次方程组：
一般形式：（不全为0）
解法：代入消远法和加减消元法
【典例3】方程组的解是_______．
【答案】
【解析】
解：，
②﹣①得：
，
把代入①得：
，
解得：，
方程组的解为：，
故答案为：
【点睛】
考查了解二元一次方程组，正确掌握加减消元法是解题的关键．
必考点4 一元二次方程组的应用
【典例4】《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱。问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（）
A．1,11B．7,53C．7,61D．6,50
【答案】B
【解析】
解设人数x人，物价y钱.
解得：
故选B.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意列出等量关系式是解题的关键.
【举一反三】
2. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何?”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
设马每匹x两，牛每头y两，由题意得
.
故选D.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可.
必考点5 分式方程
（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
（2）分式方程的解法：
一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。
特殊方法：换元法。
（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。
【典例5】分式方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
根据分式方程的解法去分母得x(x-5)+2(x-1)=x(x-1)
化简得2x=-2,
解得x=-1，
故选A.
【点睛】
此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是熟知分式方程的求解.
【举一反三】
3 .关于x的方程的解为正数，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】C
【解析】
解：分式方程去分母得：，
解得：，
根据题意得：，且，
解得：，且．
故选：C．
【点睛】
本题考查分式方程，解题的关键是掌握分式方程的求解方法.
4. 易错若方程有增根,则增根可能是（ ）
A．0或2B．0或-2C．2D．0
【答案】C
【解析】
分式方程，
最简公分母x（x-2），
去分母得：4-x2=0，
整理得：x2=4，
解得：x=±2，
把x=2代入x（x-2）=0，
则x=2是原分式方程的增根，原分式方程的解为-2．
故选C．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
必考点6 分式方程的应用
【典例6】小明15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本(两人的钱恰好用完)，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
找到等量关系为两人买的笔记本数量
故选A
【点睛】
本题考查分式方程的简单应用，本题关键在于找出等量关系
【举一反三】
5. 世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自此有了5G 网络．5G网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输兆数据，依题意，可列方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
解：设网络的峰值速率为每秒传输兆数据，依题意，可列方程是：
．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确等量关系得出等式是解题关键．
必考点7 一元二次方程
（1）一元二次方程的一般形式：（其中x是未知数，a、b、c是已知数，a≠0）
（2）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
（3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如果没有要求，一般不用配方法。
（4）一元二次方程的根的判别式：
当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根；
当Δ=0时方程有两个相等的实数根；
当Δ< 0时方程没有实数根，无解；
当Δ≥0时方程有两个实数根
（5）一元二次方程根与系数的关系：
若是一元二次方程的两个根，那么：，
（6）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：
【典例7】已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（ ）
A．0B．C．1D．
【答案】D
【解析】
解：∵关于x的一元二次方程有一个根为，
∴，，
则a的值为：．
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义.
【举一反三】
6. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
解：
，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查配方法的掌握，关键在于一次项的系数等于2倍的二次项系数和常数项的乘积.
7.一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是（ ）
A．16B．12C．14D．12或16
【答案】A
【解析】
解方程，得：或，
若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，
故选：A．
【点睛】
此题考查三角形三边关系，等腰三角形的性质，解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握运算法则
8.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A．B．且C．D．且
【答案】D
【解析】
（k-2）x2-2kx+k-6=0，
∵关于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6有实数根，
∴，
解得：且k≠2．
故选D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
9.若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．﹣2B．6C．﹣4D．4
【答案】A
【解析】
解：是一元二次方程的两个实数根，
，，，
故选．
【点睛】
本题考查了方程的解、根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则.
必考点8 一元二次方程的应用
【典例8】 某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：
．
故选：D．
【点睛】
考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键．
【举一反三】
10. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
设这种植物每个支干长出个小分支，
依题意，得：，
解得： （舍去），．
故选：C．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程
11.在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：
x（x﹣1）＝36，
故选：A．
【点睛】
此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系.
1. 已知是方程组的解，则的值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣5D．5
【答案】A
【解析】
将代入，
可得：，
两式相加：，
故选A．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法.
2. 《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其的钱给乙．则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y；
由甲得乙半而钱五十，可得：
由甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50；可得：
故答案为:A
【点睛】
本题考查了列二元一次方程组解实际问题，解题的关键在于，找到正确的等量关系.
3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，
故选A．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键．
4. 一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
【答案】C
【解析】
∵a＝1，b＝﹣2，c＝3，
∴b2﹣4ac＝4＝4﹣4×1×3＝﹣8＜0，
∴此方程没有实数根.
故选C.
【点睛】
此题主要考查了根的判别式，当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根.
5. 若关于x的方程kx2﹣x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＝0B．k≥﹣且k≠0C．k≥﹣D．k＞﹣
【答案】C
【解析】
∵关于x的方程kx2﹣x﹣＝0有实数根
∴
解得：k≥﹣
故选C
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的情况与的关系是解题关键.
6. 等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（ ）
A．8B．9C．8或9D．12
【答案】B
【解析】
解：①当等腰三角形的底边为2时，
此时关于x的一元二次方程x2−6x＋k＝0的有两个相等实数根，
∴△＝36−4k＝0，
∴k＝9，
此时两腰长为3，
∵2＋3＞3，
∴k＝9满足题意，
②当等腰三角形的腰长为2时，
此时x＝2是方程x2−6x＋k＝0的其中一根，
代入得4−12＋k＝0，
∴k＝8，
∴x2−6x＋8＝0
求出另外一根为：x＝4，
∵2＋2＝4，
∴不能组成三角形，
综上所述，k＝9，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质．
7. 关于x的一元二次方程有两个实数根，，则k的值（ ）
A．0或2B．-2或2C．-2D．2
【答案】D
【解析】
解：由韦达定理，得：
＝k－1，,
由，得：
，
即，
所以，,
化简，得：，
解得：k＝±2，
因为关于x的一元二次方程有两个实数根，
所以，△＝＝〉0，
k＝－2不符合，
所以，k＝2
故选：D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.
8. 方程的解为（ ）.
A．；B．；C．；D．.
【答案】C
【解析】
解：
，
∴，
∴；
将检验是方程的根，
∴方程的解为；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了分式方程及其解法，解分式方程的步骤为：去分母，化为整式方程；移项、合并同类项；系数化为1；检验；结论，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键.
9. 已知：关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）
A．-4或6B．-4或1C．6或1D．-4或6或1
【答案】D
【解析】
解：两边都乘以 (x+2)(x-2),得
2(x+2)+mx=3(x-2)
当m=1时，2(x+2)+mx=3(x-2)无解，分式方程无解；
当x=2时，2(x+2)+mx=3(x-2)
8+2m=0
m= -4
当x=-2时，2(x+2)+mx=3(x-2)
0-2m=-12
m=6
故选D.
【点睛】
此题主要考查了分式方程无解的判断，注意m=1的情况.
10.某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是______元.
【答案】2000，
【解析】
设这种商品的进价是x元，
由题意得，(1+40%)x×0.8＝2240，
解得：x＝2000，
故答案为：2000.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用——销售问题，弄清题意，熟练掌握标价、折扣、实际售价间的关系是解题的关键.
11. 《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛。”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛＝________斛米.（注：斛是古代一种容量单位）
【答案】
【解析】
设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，
根据题意得： ，
解得： .
∴x+y=.
故答案为：
【点睛】
此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于列出方程
12. 设、是方程的两个实数根，则的值为_____．
【答案】-2017
【解析】
∵、是方程的两个实数根，
∴，，
∴．
故答案为：-2017．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
13. 解方程
（1） （2）
【答案】（1）;（2）
【解析】
(1)x2-2x=5，
x2-2x+1=5+1，
(x-1)2=6，
x-1=±，
∴；
(2)方程两边同时乘以(x-2)(x+1)，得
x+1=4(x-2)，
解得：x=3，
检验：当x=3时，(x-2)(x+1)≠0，
所以x=3是原方程的解.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解分式方程，熟练掌握相关解法是解题的关键.解分式方程时注意要进行检验.
14. 已知关于的方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设方程的两根分别是、，且，试求k的值．
【答案】(1)；(2).
【解析】
(1)解：∵原方程有实数根，
∴，∴，
∴.
(2)∵，是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：
，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解之，得：，．
经检验，都符合原分式方程的根，
∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k的取值范围，此题难度不大．
16. 小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？
（3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．
【答案】（1）；（2）10元；（3）x为12时，日销售利润最大，最大利润960元
【解析】
解：（1）根据题意得，，
故y与x的函数关系式为；
（2）根据题意得，，解得：，（不合题意舍去），
答：要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元；
（3）根据题意得，，
，
∴当时，w随x的增大而增大，
当时，，
答：当x为12时，日销售利润最大，最大利润960元．
【点睛】
此题考查了一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键．
17.网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）若农贸公司每天销售该特产的利润要达到3100元，则销售单价x应定为多少元？
（3）设每天销售该特产的利润为W元，若，求：销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）；（2）销售单价x应定为15元；（3）当时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．
【解析】
解：（1）由图象知，当时，；
当时，设，将，代入得，解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
综上所述，；
（2），
∵，∴，
∴，
解得：（不合题意舍去），，
答：销售单价x应定为15元；
（3）当时，，
∵，，
∴当时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．
【点睛】
本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的实际应用，正确理解题意求出函数关系式、熟练掌握一元二次方程的解法和求二次函数的最值的方法是解题的关键.
18.近期猪肉价格不断走高，引起市民与政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格.
（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%，某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？
（2）5月20日猪肉价格为每千克40元，5月21日，某市决定投入储备猪肉，并规定其销售价格在5月20日每千克40元的基础上下调a%出售，某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了,求a的值.
【答案】（1）25元；（2）a=20.
【解析】
解：（1）设今年年初猪肉价格为每千克x元；
根据题意得：2.5×（1+60%）x≥100，解得：x≥25．
答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元；
（2）设5月20日两种猪肉总销量为1；
根据题意得：40（1﹣a%）×（1+a%）+40×（1+a%）=40（1+a%），令a%=y，原方程化为：40（1﹣y）×（1+y）+40×（1+y）=40（1+y），整理得：，解得：y=0.2，或y=0（舍去），则a%=0.2，∴a=20．
答：a的值为20．