2022年中考数学基础题提分讲练专题：16 一次函数综合题（含答案）

这是一份2022年中考数学基础题提分讲练专题：16 一次函数综合题（含答案），共35页。
专题16 一次函数综合题
考点分析
【例1】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．

（1）求点B的坐标和OE的长；
（2）设点Q2为(m，n)，当tan∠EOF时，求点Q2的坐标；
（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．
①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．
②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．
【答案】（1）（8，0），；（2）（6，1）；（3）①，②的长为或.
【解析】
解：（1）令，则，
∴，
∴为.
∵为，
在中，.
又∵为中点，∴.
（2）如图，作于点，则，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴为.

（3）①∵动点同时作匀速直线运动，
∴关于成一次函数关系，设，
将和代入得，解得，
∴.
②（ⅰ）当时，（如图），，
作轴于点，则.
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴.

（ⅱ）当时（如图），过点作于点，过点作于点，由得.
∵,
∴,
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.

（ⅲ）由图形可知不可能与平行.
综上所述，当与的一边平行时，的长为或.
【点睛】
此题是一次函数的综合题，主要考查了：用待定系数法求一次函数关系式，三角形相似的性质和判定，三角函数的定义，勾股定理，正方形的性质等知识，并注意运用分类讨论和数形结合的思想解决问题．
【例2】如图，已知函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与函数y＝x的图象交于点M，点M的横坐标为2．在x轴上有一点P (a，0)（其中a>2），过点P作x轴的垂线，分别交函数和y＝x的图象于点C，D．
（1）求点A的坐标；
（2）若OB＝CD，求a的值．

【答案】（1）(6，0)；（2）4.
【解析】
解：（1）∵点M在直线y=x的图象上，且点M的横坐标为2，
∴点M的坐标为（2，2），
把M（2，2）代入y=﹣x+b得﹣1+b=2，解得b=3，
∴一次函数的解析式为y=﹣x+3，
把y=0代入y=﹣x+3得﹣x+3=0，解得x=6，
∴A点坐标为（6，0）；
（2）把x=0代入y=﹣x+3得y=3，
∴B点坐标为（0，3），
∵CD=OB，
∴CD=3，
∵PC⊥x轴，
∴C点坐标为（a，﹣a+3），D点坐标为（a，a）
∴a﹣（﹣a+3）=3，
∴a=4．

考点集训
1．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数和的图象如图所示．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣6
﹣4
﹣2
0
﹣2
﹣4
﹣6
…


（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点A，B的坐标和函数的对称轴．
（2）探索思考：平移函数的图象可以得到函数和的图象，分别写出平移的方向和距离．
（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数的图象．若点和在该函数图象上，且，比较，的大小．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
解：（1），，函数的对称轴为；
（2）将函数的图象向上平移2个单位得到函数的图象；
将函数的图象向左平移2个单位得到函数的图象；
（3）将函数的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数的图象．
所画图象如图所示，当时，．

【点睛】
本题考查了一次函数与几何变换，一次函数的图象，一次函数的性质，平移的性质，正确的作出图形是解题的关键．
2．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（，），点Q的坐标为（，），且，，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．下图为点P，Q 的“相关矩形”的示意图．

（1）已知点A的坐标为（1，0）．
①若点B的坐标为（3，1）求点A，B的“相关矩形”的面积；
②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；
（2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，3）．若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．
【答案】（1）①2；②或；（2）1≤m≤5 或者．
【解析】
（1）①S=2×1=2；
②C的坐标可以为（3，2）或者（3，-2），设AC的表达式为y=kx+b，将A、C分别代入AC的表达式得到：或，解得：或，则直线AC的表达式为或；
（2）若⊙O上存在点N，使MN的相关矩形为正方形，则直线MN的斜率k=±1，即过M点作k=±1的直线，与⊙O有交点，即存在N，当k=－1时，极限位置是直线与⊙O相切，如图与，直线与⊙O切于点N，ON=，∠ONM=90°，∴与y交于（0，-2）．（，3），∴，∴=-5，∴（-5，3）；同理可得（-1，3）；
当k=1时，极限位置是直线与（与⊙O相切），可得（1，3），（5，3）．
因此m的取值范围为1≤m≤5或者．

考点：一次函数，函数图象，应用数学知识解决问题的能力．

3．如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根
（1）求线段BC的长度；
（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；
（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；
（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）4；（2）AC⊥AB，理由见解析；（3）D（﹣2，1）；（4）点P的坐标为（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）．
【解析】
（1）∵x2﹣2x﹣3=0，
∴x=3或x=﹣1，
∴B（0，3），C（0，﹣1），
∴BC=4；
（2）∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1），
∴OA=，OB=3，OC=1，
∴OA2=OB•OC，
∵∠AOC=∠BOA=90°，
∴△AOC∽△BOA，
∴∠CAO=∠ABO，
∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAC=90°，
∴AC⊥AB；
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（﹣，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣1，
∵DB=DC，
∴点D在线段BC的垂直平分线上，
∴D的纵坐标为1，
∴把y=1代入y=﹣x﹣1，
∴x=﹣2，
∴D的坐标为（﹣2，1），
（4）设直线BD的解析式为：y=mx+n，直线BD与x轴交于点E，
把B（0，3）和D（﹣2，1）代入y=mx+n，
∴，
解得，
∴直线BD的解析式为：y=x+3，
令y=0代入y=x+3，
∴x=﹣3，
∴E（﹣3，0），
∴OE=3，
∴tan∠BEC==，
∴∠BEO=30°，
同理可求得：∠ABO=30°，
∴∠ABE=30°，
当PA=AB时，如图1，
此时，∠BEA=∠ABE=30°，
∴EA=AB，
∴P与E重合，
∴P的坐标为（﹣3，0），
当PA=PB时，如图2，
此时，∠PAB=∠PBA=30°，
∵∠ABE=∠ABO=30°，
∴∠PAB=∠ABO，
∴PA∥BC，
∴∠PAO=90°，
∴点P的横坐标为﹣，
令x=﹣代入y=x+3，
∴y=2，
∴P（﹣，2），
当PB=AB时，如图3，
∴由勾股定理可求得：AB=2，EB=6，
若点P在y轴左侧时，记此时点P为P1，
过点P1作P1F⊥x轴于点F，
∴P1B=AB=2，
∴EP1=6﹣2，
∴sin∠BEO=，
∴FP1=3﹣，
令y=3﹣代入y=x+3，
∴x=﹣3，
∴P1（﹣3，3﹣），
若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2，
过点P2作P2G⊥x轴于点G，
∴P2B=AB=2，
∴EP2=6+2，
∴sin∠BEO=，
∴GP2=3+，
令y=3+代入y=x+3，
∴x=3，
∴P2（3，3+），
综上所述，当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）．

考点：一次函数和三角形的综合题.
4．小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：
问题情境：如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，点E为DC边的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F．求证：S四边形ABCD＝S△ABF．（S表示面积）

问题迁移：如图2，在已知锐角∠AOB内有一定点P．过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N．小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值．请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小，并说明理由．

实际应用：如图3，若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部分计划以公路OA、OB和经过防疫站的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON．若测得∠AOB＝66º，∠POB＝30º，OP＝4km，试求△MON的面积．（结果精确到0.1km2）（参考数据：sin66º≈0.91，tan66º≈2.25，≈1.73）
拓展延伸：如图4，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）、（6，3）、、（4，2），过点P的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，求其中以点O为顶点的四边形的面积的最大值．
【答案】问题情境：见解析
问题迁移：见解析
实际运用：∴。
拓展延伸：截得四边形面积的最大值为10
【解析】
问题情境：证明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠D=∠FCE。
∵点E为DC边的中点，∴DE=CE。
∵在△ADE和△FCE中，，
∴△ADE≌△FCE（AAS）。∴S△ADE=S△FCE。
∴S四边形ABCE+S△ADE=S四边形ABCE+S△FCE，即S四边形ABCD=S△ABF。
问题迁移：当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，理由如下：
如图2，过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，

设PF＜PE，过点M作MG∥OB交EF于G，
由问题情境可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=S△MON。
∵S四边形MOFG＜S△EOF，∴S△MON＜S△EOF。
∴当点P是MN的中点时S△MON最小。
实际运用：如图3，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分别为P1，M1，
在Rt△OPP1中，∵∠POB=30°，

∴PP1=OP=2，OP1=2。
由问题迁移的结论知，当PM=PN时，△MON的面积最小，
∴MM1=2PP1=4，M1P1=P1N。
在Rt△OMM1中，，即，
∴。∴。
∴。
∴。
拓展延伸：①如图4，当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长OC、AB交于点D，

∵C，∴∠AOC=45°。∴AO=AD。
∵A（6，0），∴OA=6。∴AD=6。
∴。
由问题迁移的结论可知，当PN=PM时，△MND的面积最小，
∴四边形ANMO的面积最大。
作PP1⊥OA，MM1⊥OA，垂足分别为P1，M1，
∴M1P1=P1A=2。∴OM1=M1M=2，∴MN∥OA。
∴。
②如图5，当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB交x轴于T，
设直线BC的解析式为y=kx+b，

∵C、B（6，3），
∴，解得：。
∴直线BC的解析式为。
当y=0时，x=9，∴T（9，0）。
∴。
由问题迁移的结论可知，当PM=PN时，△MNT的面积最小，
∴四边形CMNO的面积最大。
∴NP1=M1P1，MM1=2PP1=4。∴，解得x=5。∴M（5，4）。
∴OM1=5。
∵P（4，2），∴OP1=4。∴P1M1=NP1=1。∴ON=3。∴NT=6。
∴。
∴。
∴综上所述：截得四边形面积的最大值为10。
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．
（1）当t=秒时，点Q的坐标是　 　；
（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；
（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．

【答案】（1）（4，0）；（2）①当0＜t≤1时，S =t2；②当1＜t≤时，S =﹣t2+18t；③当＜t≤2时， S =﹣3t2+12；（3）OT+PT的最小值为．
【解析】
（1）令y=0，
∴﹣x+4=0，
∴x=6，
∴A（6，0），
当t=秒时，AP=3×=1，
∴OP=OA﹣AP=5，
∴P（5，0），
由对称性得，Q（4，0）；
（2）当点Q在原点O时，OQ=6，
∴AP=OQ=3，
∴t=3÷3=1，
①当0＜t≤1时，如图1，令x=0，

∴y=4，
∴B（0，4），
∴OB=4，
∵A（6，0），
∴OA=6，
在Rt△AOB中，tan∠OAB=，
由运动知，AP=3t，
∴P（6﹣3t，0），
∴Q（6﹣6t，0），
∴PQ=AP=3t，
∵四边形PQMN是正方形，
∴MN∥OA，PN=PQ=3t，
在Rt△APD中，tan∠OAB=，
∴PD=2t，
∴DN=t，
∵MN∥OA
∴∠DCN=∠OAB，
∴tan∠DCN=，
∴CN=t，
∴S=S正方形PQMN﹣S△CDN=（3t）2﹣t×t=t2；
②当1＜t≤时，如图2，同①的方法得，DN=t，CN=t，

∴S=S矩形OENP﹣S△CDN=3t×（6﹣3t）﹣t×t=﹣t2+18t；
③当＜t≤2时，如图3，S=S梯形OBDP=（2t+4）（6﹣3t）=﹣3t2+12；

（3）如图4，由运动知，P（6-3t，0），Q（6-6t，0），
∴M（6-6t，3t），
∵T是正方形PQMN的对角线交点，
∴T（6-），
∴点T是直线y=-x+2上的一段线段，（-3≤x＜6），
同理：点N是直线AG：y=-x+6上的一段线段，（0≤x≤6），
∴G（0，6），
∴OG=6，
∵A（6，0），
∴AG=6，在Rt△ABG中，OA=6=OG，
∴∠OAG=45°，
∵PN⊥x轴，
∴∠APN=90°，
∴∠ANP=45°，
∴∠TNA=90°，
即：TN⊥AG，
∵T正方形PQMN的对角线的交点，
∴TN=TP，
∴OT+TP=OT+TN，
∴点O，T，N在同一条直线上（点Q与点O重合时），且ON⊥AG时，OT+TN最小，
即：OT+TN最小，
∵S△OAG=OA×OG=AG×ON，
∴ON==．
即：OT+PT的最小值为3

【点睛】
此题是一次函数综合题，主要考查了正方形的面积，梯形，三角形的面积公式，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键，找出点T的位置是解本题（3）的难点．
6．如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根．

（1）求C点坐标；
（2）求直线MN的解析式；
（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．
【答案】（1）C（0，6）．
（2）y=x+6．
（3）P1（4，3），P2（）P3（），P4（）．
【解析】
（1）解方程x2-14x+48=0得
x1=6，x2=8
∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根
∴OC=6，OA=8
∴C（0，6）
（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）
由（1）知，OA=8，则A（8，0）
∵点A、C都在直线MN上
∴
解得，
∴直线MN的解析式为y=-x+6
（3）

∵A（8，0），C（0，6）
∴根据题意知B（8，6）
∵点P在直线MN y=-x+6上
∴设P（a，--a+6）
当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：
①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3）；
②当PC=BC时，a2+（-a+6-6）2=64
解得，a=±，则P2（-，），P3（，）
③当PB=BC时，（a-8）2+（-a+6-6）2=64
解得，a=，则-a+6=-
∴P4（，）
综上所述，符合条件的点P有：P1（4，3），P2(-，)，P3(，)，P4（，-）
考点：一次函数综合题．
7．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B，

（1）k的值是　 　；
（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．
①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求▱OCED的周长；
②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为，请直接写出点C的坐标．
【答案】（1）；（2）①▱OCED的周长8+4；②C的坐标为（﹣3，）或（11，）．
【解析】
（1）将A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4，
解得：k＝．
故答案为．
（2）①由（1）可知直线AB的解析式为y＝x+4．
当x＝0时，y＝x+4＝4，
∴点B的坐标为（0，4），
∴OB＝4．
∵点E为OB的中点，
∴BE＝OE＝OB＝2．
∵点A的坐标为（8，0），
∴OA＝8．
∵四边形OCED是平行四边形，
∴CE∥DA，
∴，
∴BC＝AC，
∴CE是△ABO的中位线，
∴CE＝OA＝4．
∵四边形OCED是平行四边形，
∴OD＝CE＝4，OC＝DE．
在Rt△DOE中，∠DOE＝90°，OD＝4，OE＝2，
∴DE＝，
∴C平行四边形OCED＝2（OD+DE）＝2（4+2）＝8+4．
②设点C的坐标为（x，+4），则CE＝|x|，CD＝|x+4|，
∴S△CDE＝CD•CE＝|﹣x2+2x|＝，
∴x2+8x+33＝0或x2+8x﹣33＝0．
方程x2+8x+33＝0无解；
解方程x2+8x﹣33＝0，得：x1＝﹣3，x2＝11，
∴点C的坐标为（﹣3，）或（11，）．

【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、勾股定理、平行四边形的周长、三角形的面积、解一元二次方程以及三角形的中位线，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出k值；（2）①利用勾股定理及三角形中位线的性质，求出CE，DE的长；②利用三角形的面积公式结合△CDE的面积为，找出关于x的方程．
8．在平面直角坐标系中，已知，动点在的图像上运动（不与重合），连接，过点作，交轴于点，连接．

（1）求线段长度的取值范围；
（2）试问：点运动过程中，是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．
（3）当为等腰三角形时，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）为定值，=30°；（3）， ，，
【解析】
解：（1）作，则
∵点在的图像上
∴，
∵，
∴
∴
（2）①当点在第三象限时，
由，可得、、、四点共圆，
∴
②当点在第一象的线段上时，
由，可得、、、四点共圆，
∴，又此时
∴
③当点在第一象限的线段的延长线上时，
由，可得，
∴、、、四点共圆，
∴
（3）设，则：
∵，∴
∴：
∴
∴，

①当时，则
整理得： 解得：
∴，
②当时，则
整理得：
解得：或
当时，点与重合，舍去，
∴，∴
③当时，
则
整理得：
解得：
∴


【点睛】
本题为一次函数综合题，涉及到待定系数法求函数解析式、三角函数、等腰三角形判定和性质以及圆的相关性质等知识点，其中（2）（3），要注意分类求解，避免遗漏．
9．如图，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为（6，8），直线CD交AB于点D（6，3），交x轴于点C（12，0）．
（1）求直线CD的函数表达式；
（2）动点P在x轴上从点（﹣10，0）出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t．
①点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA=∠B？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O，B，M，Q为顶点的四边形为菱形，并求出此时t的值．

【答案】（1）直线CD的解析式为y=﹣x+6；（2）①满足条件的点P坐标为（，0）或（，0）．②满足条件的t的值为或．
【解析】
（1）设直线CD的解析式为y=kx+b，则有
，
解得，
∴直线CD的解析式为y=﹣x+6．
（2）①如图1中，作DP∥OB，则∠PDA=∠B．

∵DP∥OB，
∴，
∴，
∴，
∴OP=6﹣，
∴P（，0），
根据对称性可知，当AP=AP′时，P′（，0），
∴满足条件的点P坐标为（，0）或（，0）．
②如图2中，当OP=OB=10时，作PQ∥OB交CD于Q．

∵直线OB的解析式为y=x，
∴直线PQ的解析式为y=x+，
由，
解得，
∴Q（﹣4，8），
∴PQ==10，
∴PQ=OB．
∵PQ∥OB，
∴四边形OBQP是平行四边形．
∵OB=OP，
∴四边形OBQP是菱形，此时点M与的Q重合，满足条件，t=0．
如图3中，当OQ=OB时，设Q（m，﹣m+6），

则有m2+（﹣m+6）2=102，解得m=，
∴点Q 的横坐标为或，
设点M的横坐标为a，则有：或，
∴a=或，
∴满足条件的t的值为或．
点睛：本题考查了一次函数综合题、待定系数法、菱形的判定、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标．
10．如图，直线与坐标轴分别交于点A、B，与直线交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．
（1）求点P运动的速度是多少？
（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？
（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．

【答案】（1）点P运动的速度是每秒2个单位长度；（2）2秒或4秒；（3）当t=4时，S的最大值为：16.
【解析】
解：（1）∵直线与坐标轴分别交于点A、B，
∴x=0时，y=4；y=0时，x=8．
∴BO=4，AO=8．
∴.
当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，
∵EP∥BO，
∴△ABO∽△AEP.
∴，即.
∴AP=2t
∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，
∴点P运动的速度是每秒2个单位长度.
（2）∵当OP=OQ时，PE与QF重合，此时t=，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，
∴分0＜t＜和＜t≤4两种情况讨论：
如图1，当0＜t＜,即点P在点Q右侧时，若PQ=PE，矩形PEFQ为正方形， 

∵OQ=FQ=t，PA=2t，
∴QP=8－t－2t=8－3t.
∴8－3t=t.
解得：t=2
如图2，当＜t≤4，即点P在点Q左侧时，若PQ=PE，矩形PEFQ为正方形，
∵OQ=t，PA=2t
∴OP=8－2t

∴
∴
解得：t=4.
∴当t为2秒或4秒时，矩形PEFQ为正方形.
（3）同（2）分0＜t＜和＜t≤4两种情况讨论：
如图1，当0＜t＜时，Q在P点的左边
∵OQ=t，PA=2t，∴QP=8－t－2t=8－3t，
∴．
∴当t=时，S的最大值为，
如图2，当＜t≤4时，Q在P点的右边，
∵OQ=t，PA=2t，∴.
∴.
∵当＜t≤4时，S随t的增大而增大，
∴t=4时，S的最大值为：3×42﹣8×4=16.
综上所述，当t=4时，S的最大值为：16.
【点睛】
本题考查一次函数的综合，相似三角形性质，二次函数最值.能根据题意表示相关线段的长度是解决此题的关键.
11．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点是点，的融合点.
例如：，，当点满是，时，则点是点，的融合点，

（1）已知点，，，请说明其中一个点是另外两个点的融合点.
（2）如图，点，点是直线上任意一点，点是点，的融合点.
①试确定与的关系式.
②若直线交轴于点，当为直角三角形时，求点的坐标.
【答案】（1）点是点，的融合点；（2）①，②符合题意的点为， .
【解析】
（1）解：，
∴点是点，的融合点
（2）解：①由融合点定义知，得．
又∵，得
∴，化简得．
②要使为直角三角形，可分三种情况讨论：
（i）当时，如图1所示，

设，则点为．
由点是点，的融合点，
可得或，
解得，∴点．
（ii）当时，如图2所示，

则点为．
由点是点，的融合点，
可得点．
（iii）当时，该情况不存在．
综上所述，符合题意的点为，
【点睛】
本题是一次函数综合运用题，涉及到勾股定理得运用，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解．
12．在平面直角坐标系中，直线l：与直线，直线分别交于点A，B，直线与直线交于点．
（1）求直线与轴的交点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段围成的区域（不含边界）为．
①当时，结合函数图象，求区域内的整点个数；
②若区域内没有整点，直接写出的取值范围．
【答案】（1）直线与轴交点坐标为（0,1）；（2）①整点有（0，-1），（0,0），（1，-1），（1,0），（1,1），（1,2）共6个点，②-1≤k＜0或k=-2.
【解析】
解：（1）令x=0，y=1，
∴直线l与y轴的交点坐标（0，1）；
（2）由题意，A（k，k2+1），B，C（k，-k），
①当k=2时，A（2，5），B，C（2，-2），
在W区域内有6个整数点：（0，0），（0，-1），（1，0），（1，-1），（1，1），（1，2）；
②直线AB的解析式为y=kx+1，
当x=k+1时，y=-k+1，则有k2+2k=0，
∴k=-2，
当0＞k≥-1时，W内没有整数点，
∴当0＞k≥-1或k=-2时W内没有整数点；
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的特征；能够数形结合解题，根据k变化分析W区域内整数点的情况是解题的关键．