高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第8章 函数应用8.2 函数与数学模型同步测试题

8.2  函数与数学模型 同步课时训练

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题(共40分)

1、(4分)某商品自上市后前两年价格每年递增10%，第三年价格下降了20%，则第三年降价后与上市时价格相比，变化情况是(   )

A.不增不减 B.下降了2.8％ C.增加了2.8% D.下降了3.2％

2、(4分)中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了（    ）  

A.10％                B. 20％ C. 30％ D. 50％

3、(4分)螃蟹素有“一盘蟹，顶桌菜”的民谚，它不但味美，且营养丰富，是一种高蛋白的补品，假设某池塘里的螃蟹繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为，假设该池塘第一年繁殖数量有200只，则第3年它们繁殖数量为(   )

A.400 B.600 C.800 D.1600

4、(4分)苏格兰数学家科林麦克劳林（ColinMaclaurin）研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：，试根据此公式估计下面代数式的近似值为(   )

（可能用到数值）

A.3.23 B.2.881                C.1.881                D.1.23

5、(4分)在流行病学中，基本传染数指每名感染者平均可传染的人数.当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长，当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散，广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数.假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗(称为接种率)，那么1个感染者新的传染人数为.已知新冠病毒在某地的基本传染数，为了使1个感染者新的传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为(   )

A.50% B.60% C.70% D.80%

6、(4分)地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准.震级M用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示.里氏震级的计算公式为：（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅；是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）.地震的能量E是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量.（单位：焦耳），其中M为地震震级.已知甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的倍，若乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A，则甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为(   )

A.2A B.10A C.100A D.1000A

7、(4分)衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸的体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为.新丸经过50天后，体积变为.若一个新丸体积变为，则需经过的天数为(   )
A.75 B.100 C.125 D.150

8、(4分)某企业的生产废水中某重金属对环境有污染，因此该企业研发了治理回收废水中该重金属的过滤装置，废水每通过一次该装置，可回收的该重金属．若当废水中该重金属含量低于最原始的时，至少需要经过该装置的次数为（    ）（参考数据：）

A.13 B.14 C.15 D.16

9、(4分)某商用无人机公司从2016年1月份开始投产，已知前4个月的产量分别为1万台，1.2万台，1.3万台，1.35万台，由于产品技术先进、质量可靠，前几个月的产品销售情况良好，为了方便营销人员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测后几个月的产量，通过模拟多个函数模型，发现模拟函数比较接近客观实际，用该函数模型估计第5个月的产量是（单位：万台）（    ）

A. B. C. D.

10、(4分)碳十四断代法(Carbon-14 dating)，又称“碳-14年代测定法”或“放射性碳定年法(Radiocarbon dating)”，是根据碳l4的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法，这一原理通常用来测定古生物化石的年代，碳14的半衰期(消耗一半所花费的时间)约为5730年.今有考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定，检测出碳14的剩余量约为初始的量的32%，以此推算出该文物距今约为(参考数据：，)(   )

A.3287年 B.3187年 C.3087年 D.2987年

二、填空题(共25分)

11、(5分)土壤沙化危害严重，影响深远，因沙漠化每年给我国造成的直接经济损失达540亿元，而间接经济损失更是直接经济损失的2～3倍，甚至10倍以上，若某一块绿地，每经过一年，沙漠吞噬其绿地面积的，经过x年，该绿地被沙漠吞噬了原来面积的，则x为__________.

12、(5分)某医用放射性物质原来的质量为a，每年衰减的百分比相同，当衰减一半时，所用的时间是10年.已知到今年为止，剩余的质量为原来的，则该放射物质已经衰减了__________年.

13、(5分)为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的_____倍.（结果精确到0.01.当较小时，）

14、(5分)某林场年初有木材存量，木材以每年的增长率增长，而每年末要砍伐固定的木材量，为实现经过两次砍伐后的木材存量增加，则的值是_______.

15、(5分)某商品一直打7折出售，利润率为47%，购物节期间，该商品恢复了原价，并参加了“买一件送同样一件”的活动，则此时的利润率为___________.(注：利润率=(销售价格-成本）)÷成本)

三、解答题(共35分)

16、(8分)一片矿山原来的体积为a，计划每年开采一些矿石，且每年开矿体积的百分比相等，当开采到原体积的一半时所需要的时间是12年，为保护生态环境，造福下一代，矿山至少要保留原体积的，已知到今年为止，矿山剩余为原来的.

（1）求每年开采矿山的百分比.

（2）到今年为止，该矿山已开采了多少年？

（3）今后最多还能开采多少年？

17、(9分)某公司计划在报刊与网络媒体上共投放30万元的广告费，根据计划，报刊与网络媒体分别至少要投资4万元，根据市场前期调研可知，在报刊上投放广告的收益P与广告费x满足，在网络媒体上投放广告的收益Q与广告费y满足，设在报刊上投放的广告费为x（单位：万元），总收益为（单位：万元）.

（1）当在报刊上投放的广告费是18万元时，求此时公司总收益；

（2）试问如何安排报刊、网络媒体的广告投资费，才能使总收益最大？

18、(9分)某车间产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物的数量P mg/L与时间t h之间的关系为(其中表示初始废气中污染物的数量，e是自然对数的底数).经过5 h后，经测试，消除了20%的污染物.问：

(1)15 h后还剩多少污染物(用百分数表示)？

(2)污染物减少36%需要花多长时间？

19、(9分)某种生物身体的长度（单位：米）与其生长年限（单位：年）大致关系如下：（其中为自然对数的底，该生物出生时）．

（1）求需要经过多少年，该生物身长才能超过8米（精确到0.1）；

（2）该生物出生年后的一年里身长生长量可以表示为，求的最大值（精确到0.01）．

参考答案

1、答案：D

解析：本题考查函数模型与生活中的应用.设商品原价格为a元，则，下降了.

2、答案：C

解析：

3、答案：C

解析：本题考查指数函数模型的应用.由题意得，，，则第3年数量.

4、答案：B

解析：





所以


的近似值为
 

5、答案：D

解析：解：为了使1个感染者新的传染人数不超过1，即，，，，，即.

6、答案：C

解析：设甲地地震震级为，乙地地震震级为，因为甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的倍，所以，故，又乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A，因为，所以，解得：，甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为.

7、答案：A

解析：由题意，得，解得.令，即，则，即需经过的天数为75.

8、答案：B

解析：设至少需要经过该装置的次数为，

则，即，

∴，又，

∴.

故选：B.

9、答案：B

解析：对于函数模型，将前三个月产量的坐标代入，有，

解得，，，则，

当时，，与实际产量相符，

即由前4个月产量可得函数，

所以当时，，

故选：B

10、答案：B

解析：设该文物距今x年，剩余量占初始量的比重为y，

则，由题知，而，

，，

以此推算出该文物距今约为3187年，故选B.

11、答案：3

解析：本题考查指数函数在生活中的应用.先求绿地剩余面积y随时间x（年）变化的函数关系式，设绿地最初的面积为1，则经过1年，，经过2年，，…，那么经过x年，则.依题意得，解得.

12、答案：5

解析：设衰减的百分比为x，，由题意知，，解得，设经过m年剩余的质量为原来的，则，即，解得.

13、答案：1.26

解析：由题意，两颗星的星等与亮度满足：，

令“心宿二”的星等，“天津四“的星等，

则，

所以，即，

所以，

则”心宿二“的亮度大约是”天津四“的1.26倍，

故答案为：1.26.

14、答案：

解析：根据题意，第一次砍伐后木材的存量为;
第二次砍伐后木材存量为 ， 所以, 即
，解得. 故答案为:.

15、答案：5%

解析：设商品的原价为x元，成本为y元，则，.若该商品参加“买一件送同样一件”的活动，则每件售价为，利润率为.

16、答案：（1）

（2）到今年为止，已开采了6年

（3）今后最多还能开采18年

解析：（1）设每年开采体积的百分比为x()，则，解得.

（2）设经过m年剩余体积为原来的，
则，即，解得，
故到今年为止，已开采了6年.

（3）设从今年开始，再开采n年，则n年后剩余体积为.
令，即，，解得，
故今后最多还能开采18年.

17、答案：(1)总收益为16万元.

(2)当在报刊上投放的8万元广告费，在网络媒体上投放22万元广告费时，总收益最大，且最大总收益为17万元.

解析：(1)当时，此时在网络媒体上的投资为12万元，

总收益(万元).

(2)由题知，在报刊上投放的广告费为x万元，则在网络媒体上投放广告费为万元，

依题意得，解得，

所以，，

令，则，所以.

当，即万元时，y的最大值为17万元.

所以，当在报刊上投放的8万元广告费，在网络媒体上投放22万元广告费时，总收益最大，且最大总收益为17万元.

18、答案：(1)15 h后还剩51.2%的污染物

(2)污染物减少36%需要花10 h

解析：(1)由题意得，则，

故当，.

故15 h后还剩51.2%的污染物.

(2)由题意得，即，

即，则，解得，故污染物减少36%需要花10 h.

19、答案：（1）6.8年（2）

解析：（1）由题意得，

即，

解得：，

因为，

所以，

因为，

所以，

又因为，

所以，

即约需要6.8年．

（2），

令，

则

因为，当且仅当即时，等号成立，

所以，

所以的最大值为．