高中数学苏教版 (2019)必修 第一册8.2 函数与数学模型测试题

8.2　函数与数学模型

8.2.1　几个函数模型的比较

基础过关练

题组　不同函数增长的差异

1.当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.y=5x B.y=log5x

C.y=x5 D.y=5x

2.以下四种说法中,正确的是(　　)

A.幂函数的增长速度比一次函数的增长速度快

B.对任意的x>0,xn>logax

C.对任意的x>0,ax>logax

D.不一定存在x0,当x>x0时,总有ax>xn>logax

3.下列函数中,y随x的增大而增大,且增长速度最快的是(　　)

A.y=2 019ln x B.y=ex

C.y=2 019x D.y=2 019·2x

4.(2019湖南益阳高一上学期期末)已知三个变量y1,y2,y3随变量x的变化情况如下表:

则反映y1,y2,y3随x的变化情况拟合较好的一组函数模型是(　　)

A.y1=x2,y2=2x,y3=log2x

B.y1=2x,y2=x2,y3=log2x

C.y1=log2x,y2=x2,y3=2x

D.y1=2x,y2=log2x,y3=x2

5.函数y=x2与函数y=xln x在区间(0,+∞)上增长较快的是　　　　. 

6.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1, f2(x)=x2, f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1).有以下结论:

①当x>1时,甲走在最前面;

②当x>1时,乙走在最前面;

③当0<x<1时,丁走在最前面,当x>1时,丁走在最后面;

④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;

⑤如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是甲.

其中,正确结论的序号为　　　　. 

7.函数f(x)=2x和g(x)=3x的图象如图所示,设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.

(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;

(2)结合函数的图象,比较f(3),g(3), f(2 019),g(2 019)的大小.

8.若x∈(0,+∞),试分别写出使不等式:①log2x<2x<x2;②log2x<x2<2x成立的自变量x的取值范围.

答案全解全析

8.2　函数与数学模型

8.2.1　几个函数模型的比较

基础过关练

1.D　几种函数模型中,指数函数增长最快,故选D.

2.D　对于A,幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响,幂指数与一次项系数不确定,增长速度不能比较;对于B,C,当0<a<1时,显然不成立;对于D,当a>1,n>0时,一定存在x0,使得当x>x0时,总有ax>xn>logax,但若去掉限制条件“a>1,n>0”,则结论不一定成立.故选D.

3.B　由于指数型函数的增长是爆炸式增长,所以当x越来越大时,函数y=ex与y=2 019·2x的增长速度越来越快,又e>2,所以当x超过某一个值时,函数y=ex的值会超过y=2 019·2x的值,故选B.

4.B　从题表中可以看出,三个变量y1,y2,y3都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y1的增长速度最快,呈指数型函数变化,变量y3的增长速度最慢,呈对数型函数变化,变量y2的增长速度介于变量y1与变量y3的增长速度之间,根据增长方式,符合幂函数变化,故选B.

5.答案　y=x2

解析　由于对数函数y=ln x在区间(0,+∞)上的增长速度慢于一次函数y=x的增长速度,所以函数y=x2比函数y=xln x在区间(0,+∞)上增长得快,故填y=x2.

6.答案　③④⑤

解析　四个函数的大致图象如图所示,根据图象易知,③④⑤正确.

7.解析　(1)C1对应的函数为g(x)=3x,

C2对应的函数为f(x)=2x.

(2)∵f(3)=8,g(3)=9,

∴f(3)<g(3),

又f(4)>g(4),

∴3<x2<4.

从图象上可以看出,当x>x2时, f(x)>g(x),

∴f(2 019)>g(2 019).

又g(2 019)>g(3),

∴f(2 019)>g(2 019)>g(3)>f(3).

8.解析　在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=x2,y=log2x的图象,可得22=4,24=42=16,下面借助图象解决问题.

①∵log2x<2x<x2,

∴2<x<4,

∴自变量x的取值范围为(2,4);

②∵log2x<x2<2x,

∴0<x<2或x>4,

∴自变量x的取值范围为(0,2)∪(4,+∞).