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    高中数学苏教版 (2019)必修 第一册8.2 函数与数学模型教课内容ppt课件

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    这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册8.2 函数与数学模型教课内容ppt课件,文件包含821几个函数模型的比较pptx、821几个函数模型的比较doc等2份课件配套教学资源,其中PPT共54页, 欢迎下载使用。

    1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义.2.区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异.3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题.
    通过本节的学习,使学生认识函数模型的作用,提升学生数学建模、数据分析等素养.
    问题导学预习教材必备知识探究
    互动合作研析题型关键能力提升
    拓展延伸分层精练核心素养达成
    WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
    问题导学预习教材 必备知识探究
    1.思考 (1)观察函数y=2x,y=lg2x,y=x2在区间(0,+∞)上的图象,思考以下几个问题:
    ①三个函数在区间(0,+∞)上的图象有什么特点?提示 三个函数在区间(0,+∞)上的图象都是上升的,即单调递增.②当x趋于无穷大时,三个函数中哪个函数的增长速度最快?哪个最慢?提示 三个函数的增长速度差异很大,其中y=2x的增长速度最快,y=lg2x的增长速度最慢.
    2.填空 比较三种函数模型的性质,填写下表:
    温馨提醒 当a>1,n>0时,由y=ax,y=xn,y=lgax的增长速度,知存在x0,当x>x0时,三个函数的图象由上到下依次为指数函数、幂函数、对数函数,故一定有ax>xn>lgax.
    3.做一做 (1)思考辨析,判断正误①当x增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y是x的一次函数.(  )②一个好的函数模型,既能与现有数据高度符合又能很好地推演和预测.(  )
    (2)已知函数为y=1+2x,当x减少1个单位时,y的变化情况是(  )A.y减少1个单位 B.y增加1个单位C.y减少2个单位 D.y增加2个单位解析 结合函数y=1+2x的变化特征可知C正确.
    (3)下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(  )A.y=ex B.y=ln xC.y=x2 D.y=e-x解析 结合指数函数、对数函数及幂函数的图象变化趋势可知A正确.
    HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
    互动合作研析题型 关键能力提升
    题型一 函数模型的增长差异
    例1 (1)下列函数中,增长速度最快的是(  )A.y=2 022x B.y=x2 022C.y=lg2 022x D.y=2 022x
    (2)四个变量y1,y2,y3,y4随自变量x变化的数据如下表:
    则关于x呈指数型函数变化的变量是________.
    解析 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化.
    指数函数、对数函数和幂函数增长差异的判断方法(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断.(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数;图象趋于平缓的函数是对数函数.
    训练1 函数f(x)=2x和g(x)=3x的图象如图所示,设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
    (2)结合函数图象,比较f(3),g(3),f(2 022),g(2 022)的大小.
    解 (1)C1对应的函数为g(x)=3x,C2对应的函数为f(x)=2x.(2)∵f(3)=8,g(3)=9,∴f(3)g(4),∴3x2时,f(x)>g(x),∴f(2 022)>g(2 022).又g(2 022)>g(3),∴f(2 022)>g(2 022)>g(3)>f(3).
    题型二 函数模型的选取
    例2 科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9 000万元的投资收益目标,准备制定一个激励研发人员的奖励方案:当投资收益达到 3 000万元时,按投资收益进行奖励,要求奖金 y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金总数不低于100万元,且奖金总数不超过投资收益的20%.(1)现有三个奖励函数模型:①f(x)=0.03x+8,②f(x)=0.8x+200,③f(x)=100lg20x+50,x∈[3 000,9 000].试分析这三个函数模型是否符合公司要求?
    (2)根据(1)中符合公司要求的函数模型,要使奖金额达到350万元,公司的投资收益至少要达到多少万元?
    解 (1)由题意符合公司要求的函数f(x)在[3 000,9 000]上为增函数,
    ①对于函数f(x)=0.03x+8,当x=3 000时,f(3 000)=98<100,不符合要求;②对于函数f(x)=0.8x+200为减函数,不符合要求;③对于函数f(x)=100lg20x+50,x∈[3 000,9 000],显然f(x)为增函数,且当x=3 000时,f(3 000)>100lg2020+50=150≥100;又因为f(x)≤f(9 000)=100lg209 000+50<100lg20160 000+50=450;
    (2)由100lg20x+50≥350得lg20x≥3,所以x≥8 000,所以公司的投资收益至少要达到8 000万元.
    不同的函数增长模型的特点对于函数模型选择的问题,熟悉各种函数模型的增长特点是关键.一次函数模型的增长是匀速的,二次函数模型是对称的,一侧增,一侧减;指数型函数模型适合描述增长速度很快的变化规律;对数型函数模型比较适合描述增长速度平缓的变化规律;幂型函数模型介于指数型函数模型和对数型函数模型之间,适合描述不快不慢的变化规律.
    训练2 某汽车制造商在2022年初公告:公司计划2022年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示:
    如果我们分别将2019,2020,2021,2022年定义为第一、二、三、四年,现在你有两个函数模型:二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指数型函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1).哪个模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系?
    解 建立生产量y与年份x的函数,可知函数图象必过点(1,8),(2,18),(3,30).(1)构造二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),将点的坐标代入,
    则f(x)=x2+7x,故f(4)=44,与计划误差为1.(2)构造指数型函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),
    由(1)(2)可得f(x)=x2+7x能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系.
    1.掌握4类不同增长的函数模型(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型.(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型.(4)增长速度平稳的函数模型是幂型函数模型.2.注意1个易错实际应用题易忘记定义域.
    TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
    拓展延伸分层精练 核心素养达成
    1.下表是函数值y随自变量x变化而变化的一组数据,它最可能的函数模型是(  )
    A.一次函数模型 B.幂函数模型C.指数函数模型 D.对数函数模型解析 根据已知数据可知自变量每增加1函数值增加2,因此函数值的增量是均匀的,故为一次函数模型.
    2.某研究小组在一项实验中获得一组关于y,t的数据,将其整理得到如图所示的图形.下列函数中最能近似刻画y与t之间关系的是(  )
    A.y=2t B.y=2t2C.y=t3 D.y=lg2t解析 由图知该函数可能是y=lg2t.故选D.
    3.某新款电视投放市场后第一个月销售了100台,第二个月销售了200台,第三个月销售了400台,第四个月销售了790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4,x∈N*)之间关系的是(  )A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100x解析 将数据代入各函数中,易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应.
    4.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(  )
    解析 代入数据验证近似值,可知B符合,故选B.
    5.2003年至2015年河北省电影放映场次(单位:万次)的情况如图所示,下列函数模型中最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是(  )
    A.f(x)=aln x+bB.f(x)=aex+bC.f(x)=eax+bD.f(x)=ax2+bx+c
    6.某学校开展研究性学习活动,一组同学获得了下面的一组试验数据:
    解析 画出散点图如图所示,由图可知上述散点大体在函数y=lg2x上,故函数y=lg2x可以近似地反映这些数据的规律.
    7.工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x满足关系y=a·0.5x+b,现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件,则此工厂3月份生产该产品________万件.
    ∴y=-2×0.5x+2,∴3月份该产品的产量为y=-2×0.53+2=1.75(万件).
    8.已知14C的半衰期为5 730年(是指经过5 730年后,14C的残余量占原始量的一半).设14C的原始量为a,经过x年后的残余量为b,残余量b与原始量a的关系如下:b=ae-kx,其中x表示经过的时间,k为一个常数.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今________年(已知lg20.767≈-0.4).
    9.某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5~8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现:该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多,然后向两边递减.(1)下列几个模拟函数中:①y=ax2+bx;②y=kx+b;③y=lgax+b;④y=ax+b(x表示人均GDP,单位:千美元,y表示年人均A饮料的销售量,单位:L).用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适?说明理由.
    (2)若人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为2 L;人均GDP为4千美元时,年人均A饮料的销售量为5 L,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区中,年人均A饮料的销售量最多是多少?
    10.某工厂生产一种产品,根据预测可知该产品的产量平稳增长,记2016年为第1年,第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示:
    现有三种函数模型:f(x)=ax+b,f(x)=a·2x+b,f(x)=lg0.5x+a(1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后选取x=1,3这两年的数据求出相应的函数解析式;
    解 符合条件的函数模型是f(x)=ax+b;若模型为f(x)=a·2x+b,
    ∴f(2)=5,f(4)=11,与已知差距较大;若模型为f(x)=lg0.5x+a,f(x)为减函数,与已知不符;
    (2)因受市场环境的影响,2022年的年产量估计要比预计减少30%,试根据所建立的函数模型,估计2022年的年产量.
    13×(1-30%)=9.1,所以估计2022年产量应为9.1万件.
    11.(多选)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为:f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=lg2(x+1),以下说法正确的是(   )A.当x>1时,乙走在最前面B.当01时,丁走在最后面C.丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面D.如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是甲
    解析 f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=lg2(x+1)相应的函数模型分别是指数型函数,二次函数,一次函数和对数型函数模型.当x=5时,f1(5)=31,f2(5)=25,∴A不正确;根据四种函数的变化特点,对数型函数的变化是先快后慢,当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合,从而可知当01时,丁走在最后面,B正确;指数函数变化是先慢后快,当运动的时间足够长,最前面的一定是按照指数型函数运动的物体,即一定是甲物体,∴D正确;结合对数型和指数型函数的图象变化情况,可知丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面,C正确.
    12.已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减,现给某病人静脉注射了该药物2 500 mg,设经过x个小时后,药物在病人血液中的量为y mg.(1)y与x的关系式为____________________;(2)当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时,才有疗效;而低于500 mg时,病人就有危险.则要使病人没有危险,再次注射该药物的时间不能超过________小时(精确到0.1).(参考数据:0.20.3≈0.6,0.82.3≈0.6,0.87.2≈0.2,0.89.9≈0.1)
    y=2 500×0.8x
    解析 (1)由题意知,该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减,给某病人注射了该药物2 500 mg,经过x个小时后,药物在病人血液中的量为y=2 500×(1-20%)x=2 500×0.8x(mg),即y与x的关系式为y=2 500×0.8x.(2)当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时,才有疗效,而低于500 mg时,病人就有危险,∴令2 500×0.8x≥500,即0.8x≥0.2.∵0.87.2≈0.2,y=0.8x是单调递减函数,∴x≤7.2,∴要使病人没有危险,再次注射该药物的时间不能超过7.2小时.
    13.假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元.下表给出了两种价格增长方式,其中P1是按直线上升的房价,P2是按指数增长的房价,t是2002年以来经过的年数.
    (1)求函数P1=f(t)的解析式;
    解 因为P1是按直线上升的房价,设f(t)=kt+b(k≠0),t≥0,由f(0)=k·0+b=20,f(10)=k·10+b=40,可得k=2,b=20,即P1=2t+20,t≥0.
    (2)求函数P2=g(t)的解析式;
    (3)完成上表空格中的数据,并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象,然后比较两种价格增长方式的差异.
    当t=20时,P1=60,P2=80,则表格如下:
    则图象为:根据表格和图象可知:房价按函数P1=f(t)呈直线上升,每年的增加量相同,保持相同的增长速度;按函数P2=g(t)呈指数增长,每年的增加量越来越大,开始增长慢,然后会越来越快,但保持相同的增长比例.
    已知第10天的日销售收入为121元.(1)求k的值.
    解 依题意知第10天的日销售收入为
    (2)给出以下四种函数模型:①Q(x)=ax+b;②Q(x)=a|x-25|+b;③Q(x)=a·bx;④Q(x)=a·lgbx.请你根据上表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系,并求出该函数的解析式.
    (3)求该小物品的日销售收入f(x)(1≤x≤30,x∈N*)(单位:元)的最小值.
    所以当x=10时,f(x)取得最小值,f(x)min=121;
    综上所述,当x=10时,f(x)取得最小值,f(x)min=121.所以该小物品的日销售收入的最小值为121元.
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