高中苏教版 (2019)8.2 函数与数学模型教学设计

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函数模型及其应用是中学重要内容之一，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数模型的应用实质是揭示了客观世界中量的相互依存有互有制约的关系，因而函数模型的应用举例有着不可替代的重要位置，又有重要的现实意义。本节课要求学生利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价,发展学生数学建模、数学直观、数学抽象、逻辑推理的核心素养。
教学重点：利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题．
教学难点：对给定的函数模型进行简单的分析评价．
1．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是________．
解析：能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)＜0.而x3两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件．
答案：x3
2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点估计可以取的初始区间是________．
答案：[－2，－1]
3．用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c＝eq \f(3,2)，则下一个含根的区间是________．
解析：令f(x)＝ln x－2＋x，∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝ln eq \f(3,2)－eq \f(1,2)＜0，∴下一个含根的区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))
知识点 函数模型
一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．
典型例题
类型一 几类函数模型的增长差异
例1 (1)下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝50x B．y＝x50
C．y＝50x D．y＝lg50x(x∈N*)
答案 C
解析 四个函数中，增长速度由慢到快依次是y＝lg50x，
y＝50x，y＝x50，y＝50x.
(2)函数y＝2x－x2的大致图象为( )
答案 A
解析 在同一平面直角坐标系内作出y1＝2x，y2＝x2的图象(图略)．易知在区间(0，＋∞)上，当x∈(0,2)时，2x＞x2，即此时y＞0；当x∈(2,4)时，2x＜x2，即y＜0；
当x∈(4，＋∞)时，2x＞x2，即y＞0；当x＝－1时，y＝2－1－1＜0.据此可知只有选项A中的图象符合条件．
总结 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝lgax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝lgax(a＞1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有lgax＜xn＜ax.
类型二 函数模型的增长差异在函数图象上的体现
例2 高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )
答案 B
解析 v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.
总结 一般来说，函数模型的增长速度与图象关系如下表：
类型三 函数模型的应用
命题角度1 选择函数模型
例3 某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系，则可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
答案 D
解析 四个函数中，A的增长速度不变，B，C增长速度越来越快，其中C增长速度比B更快，D增长速度越来越慢，故只有D能反映y与x的关系．
总结 根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型．同时，要注意利用函数图象的直观性来确定适合题意的函数模型．
变式训练 (2017·河南安阳检测)四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝lg2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝lg2x D．f4(x)＝2x
答案 D
解析 四个函数模型中，增长速度最快的为f4(x)＝2x.
存在x0，当x>x0时，有2x>x2>4x>lg2x.
即时间足够长时，f4(x)路程最远．故选D.
命题角度2 用函数模型决策
例4 某公司预投资100万元，有两种投资可供选择：
甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；
乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．
哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)
解 按甲，每年利息100×10%＝10,5年后本息合计150万元；
按乙，第一年本息合计100×1.09，第二年本息合计100×1.092，…，5年后本息合计100×1.095≈153.86(万元)．
故按乙方案投资5年可多得利3.86万元，乙方案投资更有利．
总结 建立函数模型是为了预测和决策，预测过程就是依据模型研究相应性质，得到结论后再返回实际问题给出决策．
变式训练 一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价eq \f(2,3)优惠．”这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．
解 设家庭中孩子数为x(x≥1，x∈N*)，旅游收费为y，旅游原价为a.
甲旅行社收费：y＝a＋eq \f(a,2)(x＋1)＝eq \f(a,2)(x＋3)；
乙旅行社收费：y＝eq \f(2a,3)(x＋2)．
∵eq \f(2a,3)(x＋2)－eq \f(a,2)(x＋3)＝eq \f(a,6)(x－1)，
∴当x＝1时，两家旅行社收费相等．
当x＞1时，甲旅行社更优惠.
函数模型的教学应立足于用待定系数法确定函数的模型的简单问题，不要在难度、复杂背景上给学生设置障碍．有关数据拟合的问题，在后面学习还将涉及，在此不要求学生处理．课程目标
学科素养
1.了解指数函数、对数函数及幂函数等函数模型的增长差异.
2.会根据函数的增长差异选择函数模型．
a.数学抽象：由实际问题建立函数模型；
b.逻辑推理：选择合适的函数模型；
c.数学运算：运用函数模型解决实际问题；
d.直观想象：运用函数图像分析问题；
e.数学建模：由实际问题建立函模型；
f.数据分析：通过数据分析对应的函数模型；
增长速度
越来越快
不变
越来越慢
图象
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