苏教版 (2019)必修 第一册第8章 函数应用8.2 函数与数学模型教学设计

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函数模型的应用实质是揭示了客观世界中量的相互依存有互有制约的关系，因而函数模型的应用举例有着不可替代的重要位置，又有重要的现实意义。通过经历由实际问题建立函数模型，再利用模型分析、解决问题的过程，学生体验了数学在解决实际问题中的价值和作用，体验了数学与日常生活的联系，有助于增强学生的应用意识，激发他们学习数学的兴趣，发展他们的实践能力。
1.教学重点：建立函数模型解决实际问题；
2.教学难点：选择适当的方案和函数模型解决实际问题。
1．一种新型电子产品投产，计划两年后使成本降低36%，那么平均每年应降低成本为________．
答案：20%
2．将进价为8元的商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，若这种商品销售价每上涨1元，则销售量减少10个，为了获取最大利润，则此商品的售价应定为________元．
解析：设销售价上涨x元，利润为y元，则
y＝(10＋x－8)(100－10x)
＝(2＋x)(100－10x)＝－10(x－4)2＋360.
即当x＝4时获得最大利润，
故售价应定为14元．
答案：14
3．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，汽车离开A地的距离S随时间t变化的关系式为________．
答案：S＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60t 0≤t≤2.5，,150 2.5＜t≤3.5，,325－50t 3.5＜t≤6.5))
4．某林场现有木材贮量3万立方米，如果每年平均增长5%，则林场木材贮量增加到4万立方米时，大约经过________年．
(参考数据：lg 2＝0.301 0；lg 3＝0.477 1；lg 1.05＝0.021 2)
解析：由题设，得x年后木材贮量y＝3(1＋5%)x.依题意，3(1＋5%)x＝4⇒1.05x＝eq \f(4,3).
∴x＝lg1.05eq \f(4,3)＝eq \f(2lg 2－lg 3,lg 1.05)≈6.
答案：6
知识点一 几类已知函数模型
知识点二 应用函数模型解决问题的基本过程
用函数模型解应用题的四个步骤
(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
(3)求模——求解数学模型，得出数学模型；
(4)还原——将数学结论还原为实际问题．
典型例题
类型一 利用已知函数模型求解实际问题
例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程．
解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120 ＝eq \f(11,5) (h)，所以0≤t≤eq \f(11,5).
因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t km，所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是S＝13＋120teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤t≤\f(11,5))).2 h内火车行驶的路程S＝13＋120×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(10,60)))＝233(km)．
总结 在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，这时可借助待定系数法求出函数解析式，再根据解题需要研究函数性质．
跟踪训练1 如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．
答案 2eq \r(6)
解析 以拱顶为原点，过原点与水面平行的直线为x轴，建立平面直角坐标系(如图)，则水面和拱桥交点A(2，－2)，设抛物线所对应的函数关系式为y＝ax2(a≠0)，则－2＝a·22，∴a＝－eq \f(1,2)，∴y＝－eq \f(1,2)x2.当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B(b，－3)，将B点的坐标代入到y＝－eq \f(1,2)x2中，得b＝±eq \r(6)，因此水面宽2eq \r(6)米．
类型二 自建确定性函数模型解决实际问题
例2 某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4 200元/米2，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.
(1)设AD的长为x米，试写出总造价Q(单位：元)关于x的函数解析式；
(2)问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值．
解 (1)设AM＝y，AD＝x，
则x2＋4xy＝200，∴y＝eq \f(200－x2,4x).
故Q＝4 200x2＋210×4xy＋80×2y2
＝38 000＋4 000x2＋eq \f(400 000,x2)(0(2)令t＝x2，则Q＝38 000＋4 000eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(100,t)))，
且0∵函数u＝t＋eq \f(100,t)在(0,10]上单调递减，在[10,200)上单调递增，
∴当t＝10时，umin＝20.
故当x＝eq \r(10)时，Qmin＝118 000(元)．
总结 自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．
求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．
跟踪训练2 某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．
旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入．(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得)
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？
解 (1)当3≤x≤6时，y＝50x－115，令50x－115＞0，
解得x＞2.3.
又因为x∈N，所以3≤x≤6，且x∈N.
当6＜x≤20，且x∈N时，
y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115，
综上可知
y＝f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(50x－115，3≤x≤6，x∈N，,－3x2＋68x－115，6＜x≤20，x∈N.))
(2)当3≤x≤6，且x∈N时，因为y＝50x－115是增函数，所以当x＝6时，ymax＝185元．
当6＜x≤20，且x∈N时，
y＝－3x2＋68x－115＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(34,3)))2＋eq \f(811,3)，
所以当x＝11时，ymax＝270元．
综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元．
类型三 建立拟合函数模型解决实际问题
例3 某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表.
该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算，请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．
解 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示．
观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图①所示．取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，所以y＝－0.15(x－4)2＋2.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图②所示．
设y＝kx＋b(k≠0)，取点(1,0.30)和(4,1.20)代入，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.30＝k＋b，,1.2＝4k＋b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝0.3，,b＝0.))
所以y＝0.3x.
设第七个月投入A，B两种商品的资金分别为x万元，(12－x)万元，总利润为W万元，那么W＝yA＋yB
＝－0.15(x－4)2＋2＋0.3(12－x)，
所以W＝－0.15(x－3)2＋0.15×9＋3.2.
当x＝3时，W取最大值，约为4.6万元，此时B商品的投资为9万元．
故该经营者下个月把12万元中的3万元投资A种商品，9万元投资B种商品，可获得最大利润，约为4.6万元．
总结 在建立和应用函数模型时，准确地把题目要求翻译成数学问题非常重要，另外实际问题要注意实际意义对定义域、取值范围的影响．
跟踪训练3 某商场经营一批进价为每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x元与日销量y件之间有如下关系：
(1)在所给坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y＝f(x)．
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润．
解 实数对(x，y)对应的点如图所示，由图可知y是x的一次函数．
(1)设f(x)＝kx＋b，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60＝30k＋b，,30＝40k＋b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－3，,b＝150.))
所以f(x)＝－3x＋150,30≤x≤50，检验成立．
(2)P＝(x－30)·(－3x＋150)
＝－3x2＋240x－4 500,30≤x≤50，
所以对称轴x＝－eq \f(240,2×－3)＝40∈[30,50]．
答 当销售单价为40元时，所获利润最大．
本节课是一节数学建模课，教学活动中，解决问题时，学生通过联系实际，不断反思和改进数学模型，最终得到实际问题的结果，这种反思贯穿于数学建模的全过程。加强了数学建模核心素养的培养，有利于学生形成用数学的语言表达实际问题的能力。课程目标
学科素养
1.能利用已知函数模型求解实际问题.
2.能自建确定性函数模型解决实际问题.
3.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性．
1.数学抽象：将实际问题转化为数学问题；
2.逻辑推理：由数学式子解决实际问题；
3.数学运算：由函数解析式求值和有关函数解析式的计算；
4.数学模型：由实际问题构造合理的函数模型。
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝eq \f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
对数型函数模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
幂函数型模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
投资A种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
投资B种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.30
0.59
0.88
1.20
1.51
1.79
销售单价x(元)
30
40
45
50
日销售量y(件)
60
30
15
0