人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案，共5页。教案主要包含了拓展提高，课堂总结，作业布置等内容，欢迎下载使用。

课题
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
单元
第六单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
本节内容是分类加法计数原理与分步乘法计数原理，由使用字母或数字为教室座位编号情境导入，学习分类加法计数原理、分步乘法计数原理这些知识点，为分类加法计数原理与分步乘法计数原理的运用做铺垫.
教学目标与核心素养
1.数学抽象：通过具体案例将分类加法与分步乘法具体化；
2.逻辑推理：通过新知导入逐步培养学生的逻辑思维能力；
3.数学建模：掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理的相关知识，为排列组合的学习打好基础的同时，也能学习利用计数原理解决实际问题；
4.直观想象：通过分类与分步的直观动画，展示完成一件事需要的过程；
5.数学运算:能够正确判断分类与分步问题，并进行计算；
6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性.
重点
分类加法计数原理；分步乘法计数原理.
难点
分类加法计数原理与分步乘法计数原理计算.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
新知导入：
情境一：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？
答：因为大写英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36个不同的号码.
情境二：从甲地到乙地，可以乘火车或乘汽车或乘轮船.其中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班.那么从甲地到乙地共有多少种不同的方法?
答：从甲地到乙地可以乘火车（4班）、乘汽车（2班）、乘轮船（3班），所以 从甲地到乙地共有4 + 2 + 3 = 9种方法.

思考：你能说出上述两个问题有什么共同特征吗？
答：要完成上述两件事情（给座位编号、从甲地到乙地），都有不同的方案（每种方案包含多种方法）可以独立完成需求.
思考：你能举出生活中类似的例子吗？
答：如一个班学生站成一排照相，有多少不同的站法？
学校食堂打菜，总共5个菜，每人选3个不同的菜，有多少种不同的选择？
情境三：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，...，B1，B2，...的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？ 答：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各个不同，因此共有6×9＝54个不同的号码.
思考：该问题与前一个问题有什么区别？
答：该问题中，要完成编号，既要有大写英文字母，又要有阿拉伯数字，只有两者同时存在，才能完成座位编号；上一问题中，只要有英文字母或者数字中的一个即可完成座位编号.
思考：你能说出上述问题有什么特征吗？
答：要完成上述事情，既要找出大写英文字母又要找到阿拉伯数字，然后结合这两步才能将这件事最终完成.
问:你能通过这些得出分类加法计数原理与分步乘法计数原理的计算方法吗？
学生思考问题，引出本节新课内容.

设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课.
讲授新课
新知讲解（一）：分类加法计数原理
定义：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m+n种不同的方法.
说明：每类中的任意一种方法都能独立完成这件事情.
课堂练习：
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.( × )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.( √ )
例题讲解：例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
A大学
B大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
工程学
答：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所，在A大学中可以选择5种专业，在B大学中可以选择4种专业，根据分类加法计数原理，共有5+4=9种专业可以选择
思考：如果完成一件事有三类不同的方案，每类方案中又分别有m,n,k种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
答：N=m+n+k
思考：如果完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，则完成这件事共有多少种不同的方法？
答：N= m1+m2+… + mn

新知讲解（二）：分步乘法计数原理
定义：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法则完成这件事共有N= m × n 种不同的方法.
说明：只有各个步骤都完成才算做完这件事情.
课后练习：(1)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( √ )
(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.( × )
例题讲解：例2 设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
答：第一步，从30名男生中选出1名，有30种不同选择；第二步，从24名女生中选出1名，有24种不同选择．根据分步乘法计数原理，共有30×24=720种不同的选法．
例题讲解：例3 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有
2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第1、 2、 3层各取
1本书,有多少种不同取法?
答：(1)从书架上个任取一本书，可以有三种方案：第一种方案从第一层取一本计算机书，有4种方法；第二种方案从第二层取一本文艺书，有3种方法；第三种方案从第三层取一本体育书，有2种方法．根据分类加法计数原理，共有4+3+2=9种.
(2)分3步完成：第一步从第一层取一本计算机书，有4种方法；第二步从第二层取一本文艺书，有3种方法；第三步从第三层取一本体育书，有2种方法．根据分步乘法计数原理，共有4×3×2=24种.
课堂练习：
1、完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ C ）
A．5种 B．4种 C．9种 D．20种
2、我校教学楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼共有（ B ）种走法
A．10种 B．16种 C．25种 D．32种
3、某公司利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____54________.
4、现有5种不同的颜色要对图形中(如图)的四个部分涂色,要求有公共边的两部分不能用同一颜色,则不同的涂色方法有__180__种.
拓展提高一：
5、现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人,高三年级9人.
(1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？
(2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)选两人作为代表,要求这两人来自不同的年级，有多少种不同的选法？
答：(1) 13+12+9=34
(2) 13×12×9＝1404
(3)分三种情况讨论：①若选出的是高一、高二学生，有13×12＝156种情况;②若选出的是高一、高三学生，有13×9＝117种情况;③若选出的是高二、高三学生，有12×9＝108种情况.
由分类加法原理可得，共有156+117+108＝381种选法
链接高考：
6、（2020 全国高三模拟）某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表所示，现有小华、小李两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的.
乘坐站数
036票价（元）
2
3
4
（1）若小华、小李两人共付费5元，则小华、小李下地铁的方案共有多少种？
（2）若小华、小李两人共付费6元，求小华比小李先下地铁的方案共有多少种？
答：(1)小华、小李两人共付费5元，所以小华、小李一人付费2元一人付费3元，付费2元的乘坐站数有1，2，3三种选择，付费3元的乘坐站数有4，5，6三种选择.如果小华付费2元，小李付费3元，有3+3=6种方案；如果小李付费2元，小华付费
3元，也有3+3=6种方案.所以小华、小李下地铁的方案共有6+6=12 种
(2)小华、小李两人共付费6元，所以小华、小李一人付费2元一人付费4元或两人都付费3元.
①如果小华、小李一人付费2元一人付费4元，且要满足小华比小李先下地铁，只能是小华付费2元（乘坐站数有1，2，3三种方法），小李付费4元（乘坐站数有7，8，9三种方法），所以共有3×3=9种方法;②如果两人都付费3元，且要满足小华比小李先下地铁，则可能有：小华坐了4站，小李坐了5或6站2种方法；小华坐了5站，小李坐了6站1种方法.共有2+1=3种方法.所以，共有9+3=12种方案.
学生根据不同的情境问题，探究分类加法计数原理.
利用例题引导学生掌握并灵活运用分类加法计数原理.
学生根据不同的情境问题，探究分步乘法计数原理的计算方法.
利用例题引导学生掌握并灵活运用分步乘法计数原理.
通过课堂练习，检验学生对本节课知识点的掌握程度，同时加深学生对本节课知识点的掌握及运用.
利用不同的情境问题，探究分类加法计数原理的计算方法，培养学生探索的精神.
加深学生对基础知识的掌握，并能够灵活运用基础知识解决具体问题.
利用不同的情境问题，探究分步乘法计数原理的计算方法，培养学生探索的精神.
加深学生对基础知识的掌握，并能够灵活运用基础知识解决具体问题.
通过练习，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神.
课堂小结
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
学生回顾本节课知识点，教师补充.
让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用.
板书
§6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、新知导入 三、例题讲解
二、新知讲解 四、课堂练习
1.分类加法计数原理 五、拓展提高
2.分步乘法计数原理 六、课堂总结
七、作业布置
教学反思