数学必修 第二册9.1 随机抽样导学案

9.1.1 简单随机抽样 

A.理解分层抽样的基本思想和适用情形.

B.掌握分层抽样的实施步骤，会计算总体平均数．

C.了解二种抽样方法的区别和联系．

重点：理解分层抽样的基本思想和适用情形.

难点：掌握分层抽样的实施步骤，会计算总体平均数．

1、简单随机抽样的概念:

设一个总体含有有限个个体，并记其个体数为N．如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的机会相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.

2、简单随机抽样的特点:

①总体个数有限；②逐个进行抽取；③机会均等抽样.

3、简单随机抽样的常用方法：

①抽签法； ②随机数表法.

     抽样调查最核心的问题是样本的代表性，简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本，

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一、情境与问题

   问题1,在对树人中学高一年级学生身高的调查中,可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形,这种“极端”样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数,从而使得估计出现较大的误差.

能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢？

在对树人中学高一年级学生身高的调查中， 采取简单随机抽样的方式抽取了50名学生。

1.抽样调查最核心的问题是什么？

2.会不会出现样本中  50  个个体大部分来自高个子或矮个子的情形？

3.为什么会出现这种“极端样本”？

4.如何避免这种“极端样本”？

样本代表性;会;抽样结果的随机性个体差异较大;分组抽样，减少组内差距

 在树人中学高一年级的 712 名学生中， 男生有 326  名、女生有 386 名。

样本量在男生、女生中应如何分配？

     假设某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人，此地教育部门为了了解本地区中小学的近视情况及其形成原因，要从本地区的小学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？

你认为哪些因素影响学生视力？抽样要考虑哪些因素？

分层抽样

每一层抽取的样本数=

       一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样（stratified random sampling），每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.×总样本量

做一做

1.下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是(　　)

A．从10名同学中抽取3人参加座谈会

B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本

C．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间

D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量

2．某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1 200辆，6 000辆和2 000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取________辆、________辆、________辆.

1.分层抽样的步骤

2.分层抽样的特点有哪些？

3.　计算各层所抽取个体的个数时，若Ni·的值不是整数怎么办？

探究3　分层抽样公平吗？

4.　简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的各自特点及适用范围有什么异同？

两种抽样方法的特点及其适用范围如下表：

两种抽样方法的特点及其适用范围如下表：

总体信息，得到的样本比前两种抽样方法都具有代表性．

分层随机抽样的平均数

问题探究

１.在简单随机抽样中如何估计总体平均数？

２.那么在分层随机抽样中如何估计总体平均数呢？

是否也可以直接用样本平均数进行估计？

（1）在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n．我们用X1，X2，…，XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，y2，…，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则：

分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数

第1层的总体平均数和样本平均数为:

第2层的总体平均数和样本平均数为:

总体平均数和样本平均数为:

由于用第一层的样本平均数 可以估计第１层的总体平均数    ，第二层的样本平均数 　可以估计第2层的总体平均数,因此我们可以用

估计总体平均数

对各层样本平均数加权（层权）求和

;

分层随机抽样如何估计总体平均数

在比例分配的分层随机中抽样中

例1.在树人中学高一年级的 712 名学生，男生有 326  名、女生有 386 名，分别抽取的男生23名男生、27名女生样本数据如下

样本女生平均身高=160.6,样本男生平均身高=170.6

     高一年级有男生490人，女生510人，张华按照男生女生进行分层，得到男生女生平均身高分别为170.2cm和160.8cm。

（1）如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100.那么男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高一年级全体学生的平均身高。

（2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高一全体学生的平均身高。

1．下列实验中最适合用分层抽样法抽样的是(　　)

A．从一箱3 000个零件中抽取5个入样

B．从一箱3 000个零件中抽取600个入样

C．从一箱30个零件中抽取5个入样

D．从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个入样

2．一批灯泡400只，其中20 W、40 W、60 W的数目之比是4∶3∶1，现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为(　　)

A．20,15,5　　　　　B．4,3,1    C．16,12,4        D．8,6,2

3．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上(包括50岁)的人，用分层抽样的方法从中抽20人，各年龄段分别抽取的人数为(　　)

A．7,5,8            B．9,5,6    C．7,5,9　        D．8,5,7

4．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：

由于不小心，表格中A，C两种产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是________件．

5．某市化工厂三个车间共有工人1 000名，各车间男、女工人数如下表：

已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是0.15.

(1)求x的值；

(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？

1、分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：

（1）分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，面层之间的样本差异要大，且互不重叠。

（2）为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样。

（3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样的方法进行抽样。

2、分层抽样的优点是：使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法。

3、分层随机抽样中如何用样本估计总体平均值。

；

参考答案：

知识梳理

学习过程

1. 【解析】A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样．

【答案】　B　

2． 【解析】　三种型号的轿车共9 200辆，抽取样本为46辆，则按＝的比例抽样，所以依次应抽取1 200×＝6(辆)，6 000×＝30(辆)，2 000×＝10(辆)．

【答案】　6　30　10

2. 【提示】　(1)分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的；

(2)分成的各层互不交叉；

(3)各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量．

3.　 【提示】　为获取各层的入样数目，需先正确计算出抽样比，若Ni·的值不是整数，可四舍五入取整，也可先将该层等可能地剔除多余的个体．

探究3　 【提示】　分层抽样中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数、分层无关．

如果总体的个数为N，样本容量为n，Ni为第i层的个体数，则第i层抽取的个体数ni＝n·，每个个体被抽到的可能性是＝·n·＝.

4.　 【提示】　简单随机抽样是最基本的抽样方法，应用于系统抽样和分层抽样中．简单随机抽样所得样本的代表性与个体编号无关．

系统抽样容易实施，可节约抽样成本．系统抽样所得样本的代表性与个体编号有关，如果个体随编号呈现某种特征，所得样本代表性很差．分层抽样应用最广泛，它充分利用

问题探究

１.在简单随机抽样中如何估计总体平均数？

２.那么在分层随机抽样中如何估计总体平均数呢？

是否也可以直接用样本平均数进行估计？

例1. 样本女生平均身高=160.6,样本男生平均身高=170.6

     高一年级有男生490人，女生510人，张华按照男生女生进行分层，得到男生女生平均身高分别为170.2cm和160.8cm。

（1）如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100.那么男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高一年级全体学生的平均身高。

（2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高一全体学生的平均身高。

   小明用比例分配的分层抽样方法，从高一年级的学生中抽取了十个样本量为50的样本，计算出样本平均数。与相同样本量的简单随机抽样的结果比较。

达标检测

1．【答案】　D

【解析】　D中总体有明显差异，故用分层抽样．

2．【答案】　A【解析】　三种灯泡依次抽取的个数为40×＝20,40×＝15,40×＝5.

3．【答案】　B

【解析】　由于样本容量与总体个体数之比为＝，故各年龄段抽取的人数依次为45×＝9(人)，

25×＝5(人)，20－9－5＝6(人)．

4． 【解析】　抽样比为130∶1 300＝1∶10，即每10个产品中抽取1个个体，又A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，故C产品的数量是[(3 000－1 300)－100]×＝800(件)．

【答案】　800

5． 【解】　(1)由＝0.15，得x＝150.

(2)∵第一车间的工人数是173＋177＝350，第二车间的工人数是100＋150＝250，

∴第三车间的工人数是1 000－350－250＝400.

设应从第三车间抽取m名工人，则由＝，得m＝20.

∴应在第三车间抽取20名工人．