高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第九章 统计9.1 随机抽样学案

9.1.2分层随机抽样

9.1.3获取数据的途径

【学习目标】

【自主学习】

一．    分层抽样的概念

1.定义

一般地，按            把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中     地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．

2.适用范围

当总体是由       的几个部分组成时，往往采用分层随机抽样．

3.比例分配

在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．

二．    分层随机抽样的步骤

三．    样本平均数

在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层样本的平均数分别为和，则样本的平均数＝      ＋      ＝     ＋      .

在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数.

四．    获取数据的途径

获取数据的基本途径有             、             、             、            等.

【小试牛刀】

思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)在统计实践中选择哪种抽样方法关键是看总体容量的大小.(　　)

(2)分层随机抽样中，个体数量较少的层抽取的样本数量较少，这是不公平的.(　　)                             (　　)

(3)从全班50名同学中抽取5人调查作业完成情况适合用分层随机抽样.(　　)               (　　)

(4) 要了解一批节能灯的使用寿命，可以采用普查的方式.(　　)

(5)普查获取的资料更加全面、系统，抽样调查更方便、快捷.(　　)

【经典例题】

题型一　对分层随机抽样概念的理解

例1 下列实验中最适合用分层随机抽样法抽样的是(　　)

A．从一箱3 000个零件中抽取5个入样

B．从一箱3 000个零件中抽取600个入样

C．从一箱30个零件中抽取5个入样

D．从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个入样

【跟踪训练】1分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行(　　)

A．每层等可能抽样

B．每层可以不等可能抽样

C．所有层按同一抽样比等可能抽样

D．所有层抽取的个体数量相同

题型二 分层随机抽样的应用

例2 一批产品中有一级品100个，二级品60个，三级品40个，用分层随机抽样法从这批产品中抽取一个容量为20的样本. 请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程．

【跟踪训练】2 某市的3个区共有高中学生20 000人，且3个区的高中学生人数之比为2︰3︰5，现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况，试写出抽样过程.

题型三　分类抽样的相关计算

点拨：1.进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的两个关系

①＝；

②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.

2.样本的平均数和各层的样本平均数的关系为：

＝＋＝＋.

例3 当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户，270户，180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层随机抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为(　 　)

A．40        B．30        C．20    D．36

【跟踪训练】3 分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为____.

【当堂达标】

1.下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是(　　)

A．从10名同学中抽取3人参加座谈会

B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本

C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间

D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量

2．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为(　　)

A．30      B．25      C．20 D．15

3.某全日制大学共有学生5 600人，其中专科生有1 300人，本科生有3 000人，研究生有1 300人，现采用分层随机抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本量为280，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取      人，     人，     人．

4.某学院的A，B，C三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取________名学生．

5.将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2.A，B，C三层的样本的平均数分别为15,30,20，则样本的平均数为________．

6.某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程．

【课堂小结】

一．如何选择抽样方法：

(1)当总体和样本量都较小时，采用抽签法；当总体量较大，样本量较小时，采用随机数法；

(2)当总体可以分为若干个层时，采用分层随机抽样．

二．分层抽样比例关系

①＝；

②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.

三．样本的平均数和各层的样本平均数的关系为：

＝＋＝＋.

【参考答案】

【自主学习】

一个或多个变量  独立 差异明显             

通过调查获取数据  通过试验获取数据   通过观察获取数据  通过查询获得数据

【小试牛刀】

(1)×　 (2)×　 (3)×  (4)×　(5)√

【经典例题】

例1 D 解析：D中总体有明显差异，故用分层随机抽样．

【跟踪训练】1  C 解析：保证每个个体等可能地被抽取是简单随机抽样和分层随机抽样的共同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．

例2 解：第一步：确定抽样比，因为100＋60＋40＝200，所以＝，

第二步：确定各层抽取的样本数，一级品：100×＝10，二级品：60×＝6，三级品：40×＝4.

第三步：采用简单随机抽样的方法，从各层分别抽取样本．

第四步：把抽取的个体组合在一起构成所需样本．

【跟踪训练】2解： ①由于该市高中学生的视力有差异，按3个区分成三层，用分层随机抽样来抽取样本.

②确定每层抽取个体的个数，在3个区分别抽取的学生人数之比也是2︰3︰5，所以抽取的学生人数分别是200×＝40；200×＝60；200×＝100．

③在各层分别按随机数法抽取样本.

④综合每层抽样，组成容量为200的样本.

例3 A 解析：抽样比为＝，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为360×＝40，故选A.

【跟踪训练】3 6 解析： ＝×3＋×8＝6．

【当堂达标】

1.B　解析：A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样．

2.C解析：样本中松树苗为4 000×＝4 000×＝20(棵)．

3. 65  150  65 解析：抽样比是＝，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取1 300×＝65(人)，3 000×＝150(人)，1 300×＝65(人).

4.40 解析：C专业的学生有1 200－380－420＝400(名)，由分层随机抽样原理，应抽取120×＝40(名)．

5. 20.5 解析：由题意可知样本的平均数为＝×15＋×30＋×20＝20.5.

6.解：抽样过程如下：

第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为＝.

第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×＝2(人)；从教师中抽取112×＝14(人)；从后勤人员中抽取32×＝4(人)．

第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师人员14人，后勤人员4人．

第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．