高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.1 随机抽样精品同步练习题

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知识精讲
知识点01分层随机抽样的定义
分层随机抽样：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为，每一个子总体称为．在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
【即学即练1】 某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是( )
A．抽签法B．随机数法
C．分层随机抽样D．其他抽样方法
反思感悟使用分层随机抽样的前提
分层随机抽样的使用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小．
知识点02分层随机抽样的应用
按比例分层随机抽样的实施步骤：
第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层)；
第二步，计算各层所占比例．所占比例＝eq \f(各层总的个体数,总体中的个体数)；
第三步，计算各层抽取的个体数，各层抽取的个体数＝样本量×各层所占比例；
第四步，按简单随机抽样从各层抽取样本；
第五步，综合每层抽样，组成总样本．
【即学即练2】某地甲、乙、丙三所学校举行校级联考，三所学校参加联考的人数分别为300,400,500，现为了调查联考数学学科的成绩，采用按比例分配分层随机抽样的方法在这三所学校中抽取一个容量为120的样本，那么在乙学校中抽取的数学成绩的份数为( )
A．30B．40C．50D．80
知识点03用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数
【即学即练3】某校高二有重点班学生400人，普通班学生800人，为调查总体学生数学成绩的平均值，按比例分配进行分层随机抽样，从重点班抽出20人，从普通班抽出40人，通过计算重点班平均成绩为125分，普通班平均成绩为95分，则高二总体数学成绩平均值为( )
A．110B．125C．95D．105
能力拓展
考法01 分层抽样的定义
【典例1】分层随机抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体被等可能抽取，必须进行( )
A．每层等可能抽样
B．每层可以不等可能抽样
C．所有层按比例分配等可能抽样
D．所有层抽取个体数量相同
【变式训练】某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的体重状况，从男生中随机抽取25人，从女生中随机抽取20人进行调查．这种抽样方法是( )
A．分层随机抽样B．抽签法
C．随机数法D．其他随机抽样
考法02 分层随机抽样的应用
【典例2】某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为7∶10.为了了解职工的身体情况，现采用按比例分配分层随机抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人，则抽取的老年职工的人数为( )
A．14B．20C．21D．70
【变式训练】某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于( )
A．9B．10C．12D．13
考法03 用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数
【典例3】某校有初中、高中两个部门，其中初中有学生850人，高中有学生650人，小军想要进行一个视力调查，对学校按部门进行按比例分配分层随机抽样，得到初中生、高中生平均视力分别为1.0,0.8，其中样本量为60，则在初中部、高中部各抽取多少人？整个学校平均视力是多少？
【变式训练】某校高二年级化生史组合只有2个班，且每班50人，在一次数学测试中，从两个班各抽取了20名学生的数学成绩进行分析，统计得在该次测试中，两班中各抽取的20名学生的平均成绩分别为110分和106分，则该组合学生的平均成绩约为________分．
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．一个田径队，有男运动员56人，女运动员42人，比赛后，立即用分层抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为28的样本进行尿样兴奋剂检查，其中男运动员应抽的人数为（）
A．16B．14C．28D．12
2．某电器城为应对即将到来的空调销售旺季，批发了一批新型号空调，其中甲品牌60台，乙品牌45台，丙品牌30台，为了确保产品质量，质检员要在这批空调中采用分层抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行安全性能检验，若甲品牌空调抽取了12台，则 SKIPIF 1 < 0 （）
A．18B．21C．24D．27
3．某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为
A．84B．78
C．81D．96
4．某村有旱地与水田若干公顷，现在需要估计平均产量.用按 SKIPIF 1 < 0 分层抽样的方法抽取15公顷旱地和45公顷水田进行调查，则这个村的旱地与水田的公顷数分别为（）
A．150，450B．300，900C．660，600D．75，225
5．某中学拟举行“长征英雄事迹我来讲”主题活动，用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取一个容量为50的样本，已知高三年级有750名学生，高二年级有850名学生，高一年级有900名学生，则高一年级抽取的学生人数为（）
A．15B．17C．18D．21
6．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡四百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有400人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人（用分层抽样的方法），则北面共有（）人．”
A．200B．100C．120D．140
二、多选题
7．某公司生产三种型号的轿车，年产量分别为1500辆、6000辆和2000辆．为检验产品质量，公司质检部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（）
A．应采用分层随机抽样抽取B．应采用抽签法抽取
C．三种型号的轿车依次应抽取9辆、36辆、12辆D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的可能性相同
8．对下面三个事件最适宜采用的抽样方法判断正确的是（）
①从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验;
②在一次诗词朗读比赛中，有10人的成绩在91~100分，40人的成绩在81~90分，10人的成绩低于80分，现在从中抽取12人的成绩了解有关情况;
③运动会服务人员为参加400m决赛的6名同学安排跑道.
A．①②适宜采用分层随机抽样
B．②③适宜采用分层随机抽样
C．②适宜采用分层随机抽样
D．③适宜采用简单随机抽样
三、填空题
9．某学校的学生由小学部，初中部，高中部构成，其中小学部与初中部共有700人，该校领导采用分层抽样的方法抽取12名学生进行家访，由于领导公务繁忙，只记得高中部抽取了5名学生，问该校高中部有__________名学生.
10．某校高二年级有1000名学生，其中文科生有300名，按文理生比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为50的样本，则应抽取的理科生人数为________.
11．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从40只“冰墩墩”，30只“雪容融”和20个北京2022年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则n为__________．
12．某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人，为了了解普通话在该校教师中的推广普及情况，用分层随机抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应抽取的人数是______．
四、解答题
13．某校高中部有高一学生600人，高二学生480人，高三学生420人．某研究小组为了调查该校高中部不同年级学生课后作业量的情况，现采用分层随机抽样的方法在三个年级共抽取100名学生，应抽取高一学生的人数为多少？
14．年龄在60岁以上（含60岁）的人称为老龄人，某小区的老龄人有350位，他们的健康状况如下表：
其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，-1代表“生活不能自理”.
(1)该小区80岁以下的老龄人生活能够自理的频率是多少？
(2)按健康指数大于0和不大于0进行分层随机抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，被抽取的5位老龄人中，健康指数大于0的老龄人有多少？健康指数不大于0的老龄人有多少？
题组B 能力提升练
1．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A．简单随机抽样B．按性别分层随机抽样
C．按学段分层随机抽样D．其他抽样方法
2．要完成下列两项调查：(1)某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查有关消费购买力的某项指标；(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习情况．应采用的抽样方法分别是( )
A．(1)用简单随机抽样，(2)用分层随机抽样
B．(1)用分层随机抽样，(2)用其他抽样方法
C．(1)用分层随机抽样，(2)用简单随机抽样
D．(1)(2)都用分层随机抽样
3．某校有高一学生400人，高二学生380人，高三学生220人，现教育局督导组欲用按比例分配分层随机抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是( )
A．高一学生被抽到的可能性最大
B．高二学生被抽到的可能性最大
C．高三学生被抽到的可能性最大
D．每位学生被抽到的可能性相等
4．从一个容量为m(m≥3，m∈N)的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是eq \f(1,3)，则选取按比例分配的分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是( )
A.eq \f(1,5)B.eq \f(1,4)C.eq \f(1,2)D.eq \f(1,3)
5．某校有男教师160人，女教师140人，为了调查教师的运动量的平均值(通过微信步数)，按性别比例分配进行分层随机抽样，通过对样本的计算，得出男教师平均微信步数为
12500步，女教师平均微信步数为8600步，则该校教师平均微信步数为( )
A．12500B．10680
C．8600D．10550
6．(多选)某公司生产甲、乙、丙三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，公司质监部门用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取46辆进行检验，则( )
A．在每一种型号的轿车中可采用抽签法抽取
B．抽样比为eq \f(1,200)
C．三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆
D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的
7．某企业共有职工150人，其中高级职称职工15人，中级职称职工45人，初级职称职工90人，现采用按比例分配分层随机抽样抽取30人，则抽取的高级职称职工的人数为________．
8．高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过按比例分配分层随机抽样的方法抽取了160个样本，得到两个年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则
(1)高一、高二抽取的样本量分别为________；
(2)高一和高二数学竞赛的平均分约为________．
9．某城市有210家百货商店，其中大型商店20家、中型商店40家、小型商店150家，为了掌握各商店的营业情况，计划抽取一个容量为21的样本，按比例分配分层随机抽样的方法抽取时，各种百货商店分别要抽取多少家？写出抽样过程．
10．某武警大队共有第一、第二、第三三支中队，人数分别为30,30,40.为了检测该大队的射击水平，从整个大队用按比例分配分层随机抽样共抽取了30人进行射击考核，统计得三个中队参加射击比赛的平均环数分别为8.8,8.5，8.1，试估计该武警大队队员的平均射击水平．
题组C 培优拔尖练
1．为调查某快餐店各分店的经营状况，某统计机构用按比例分配分层随机抽样的方法，从A，B，C三个城市中抽取若干家分店组成样本进行深入研究，有关数据见下表：(单位：个)
则样本量为( )
A．4B．6C．10D．12
2．某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，采用按比例分配分层随机抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈，如果选出的人中有6人对户外运动持“喜欢”态度，有1人对户外运动持“不喜欢”态度，有3人对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的人数为( )
A．36B．6C．12D．18
3．(多选)在分层随机抽样中，每个个体等可能地被抽取，下列说法错误的是( )
A．每层的个体数必须一样多
B．每层抽取的个体数相等
C．每层抽取的个体数可以不一样多，但必须满足ni＝n·eq \f(Ni,N)(i＝1,2，…，k)，其中i是层数，n是样本量，Ni是第i层所包含的个体数，N是总体容量
D．只要抽取的样本量一定，每层抽取的个体数没有限制
4．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300，现在按eq \f(1,100)的比例分配分层随机抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为________．
5．(多选)在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人持钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法正确的是( )
A．甲应付51eq \f(41,109)钱
B．乙应付32eq \f(24,109)钱
C．丙应付16eq \f(56,109)钱
D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少
6．某市两所高级中学在暑假联合组织全体教师外出旅游，活动分为两条线路：华东五市游和长白山之旅，且每位教师至多参加其中的一条线路．在参加活动的教师中，高一教师占42.5%，高二教师占47.5%，高三教师占10%.参加华东五市游的教师占参加活动总人数的eq \f(1,4)，且该组中，高一教师占50%，高二教师占40%，高三教师占10%.为了了解各条线路不同年级的教师对本次活动的满意程度，现用按比例分配分层随机抽样的方法从参加活动的全体教师中抽取一个样本容量为200的样本．试确定：
(1)参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别所占的比例；
(2)参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别应抽取的人数．课程标准
课标解读
1.理解分层随机抽样的概念.2.掌握用分层随机抽样从总体中抽取样本.3.掌握两种抽样的区别与联系．
通过阅读课本抽样调查最核心的问题是样本的代表性．简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本．例如，在对某中学高一年级学生身高的调查中，可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形．这种“极端”样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数，从而使得估计出现较大的误差．能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢？
健康指数
2
1
0
-1
60岁至79岁的人数
120
133
34
13
80岁及以上的人数
9
18
14
9
城市
某快餐店数量
抽取数量
A
26
2
B
13
x
C
39
y