高中第九章 统计9.1 随机抽样优秀学案及答案

随机抽样

【学习目标】

1．理解全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量、样本数据等概念

2．理解简单随机抽样的概念，掌握简单随机抽样的两种方法：抽签法和随机数法

3．理解分层随机抽样的概念，并会解决相关问题

【学习重难点】

1．抽样调查

2．简单随机抽样

3．分层随机抽样

【学习过程】

一、问题导学

预习教材内容，思考以下问题：

1．全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量、样本数据的概念是什么？

2．什么叫简单随机抽样？

3．最常用的简单随机抽样方法有哪两种？

4．抽签法是如何操作的？

5．随机数法是如何操作的？

6．什么叫分层随机抽样？

7．分层随机抽样适用于什么情况？

8．分层随机抽样时，每个个体被抽到的机会是相等的吗？

9．获取数据的途径有哪些？

二、合作探究

总体、样本等概念辨析题

例1：为了调查参加运动会的1 000名运动员的平均年龄，从中抽取了100名运动员进行调查，下面说法正确的是（）

A．1 000名运动员是总体

B．每个运动员是个体

C．抽取的100名运动员是样本

D．样本量是100

简单随机抽样的概念

例2：下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？

（1）从无数个个体中抽取50个个体作为样本；

（2）仓库中有1万支奥运火炬，从中一次抽取100支火炬进行质量检查；

（3）某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区开展救灾工作．

抽签法及随机数法的应用

例3：某班有50名学生，要从中随机地抽出6人参加一项活动，请分别写出利用抽签法和随机数法抽取该样本的过程．

分层随机抽样中的有关计算

例4：（1）某单位共有老、中、青年职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工身体状况，现采用分层随机抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工的人数为Ｗ．

（2）某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：

其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取人．

样本平均数的求法

例5：（1）甲在本次飞镖游戏中的成绩为8，6，7，7，8，10，9，8，7，8．求甲在本次游戏中的平均成绩．

（2）在了解全校学生每年平均阅读多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6．已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，求合在一起后的样本均值．

【学习小结】

1．全面调查与抽样调查

（1）对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查Ｗ．

（2）在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体Ｗ．

（3）根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查Ｗ．

（4）把从总体中抽取的那部分个体称为样本Ｗ．

（5）样本中包含的个体数称为样本量Ｗ．

（6）调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据．

2．简单随机抽样

（1）有放回简单随机抽样

一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n<N）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样．

（2）不放回简单随机抽样

如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．

（3）简单随机抽样

放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．

（4）简单随机样本

通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本．

（5）简单随机抽样的常用方法

实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法．

3．总体平均数与样本平均数

（1）总体平均数

①一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝＝Yi为总体均值，又称总体平均数．

②如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi（i＝1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝fiYiＷ．

（2）样本平均数

如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝＝yi为样本均值，又称样本平均数．在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数．

4．分层随机抽样

（1）分层随机抽样

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层Ｗ．

（2）比例分配

在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．

5．分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数

（1）在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n．我们用X1，X2，…，XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，y2，…，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则：①第1层的总体平均数和样本平均数分别为＝＝Xi，＝＝xi．

②第2层的总体平均数和样本平均数分别为＝＝Yi，＝＝yi．

③总体平均数和样本平均数分别为＝，＝Ｗ．

（2）由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数．因此我们可以用＝＋估计总体平均数．

（3）在比例分配的分层随机抽样中，＝＝，可得＋＝＋＝．因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数．

6．获取数据的途径

获取数据的基本途径有：（1）通过调查获取数据；（2）通过试验获取数据；（3）通过观察获取数据；（4）通过查询获取数据

【精炼反馈】

1．在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性（）

A．与第几次抽样有关，第一次抽中的可能性要大些

B．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等

C．与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性要大些

D．每个个体被抽中的可能性无法确定

2．若对某校1 200名学生的耐力做调查，抽取其中120名学生，测试他们1 500米跑的成绩，得出相应的数值，在这项调查中，样本是指（）

A．120名学生

B．1 200名学生

C．120名学生的成绩

D．1 200名学生的成绩

3．（2019·广西钦州市期末考试）某中学共有1 000名学生，其中高一年级350人，该校为了了解本校学生视力情况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽出一个容量为100的样本进行调查，则应从高一年级抽取的人数为（）

A．20 B．25

C．30  D．35

4．在调查某中学的学生身高时，利用分层抽样的方法抽取男生20人，女生15人，得到了男生身高的平均值为170，女生身高的平均值为165．试估计该中学所有学生的平均身高是多少？

【参考答案】

二、合作探究

例1：【答案】D

【解析】根据调查的目的可知，总体是这1 000名运动员的年龄，个体是每个运动员的年龄，样本是抽取的100名运动员的年龄，样本量为100．故答案为D．

例2：【答案】（1）不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．

（2）不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．（3）不是简单随机抽样．因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个

个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．

例3：【答案】（1）利用抽签法步骤如下：

第一步：将这50名学生编号，编号为01，02，03，…，50．

第二步：将50个号码分别写在纸条上，并揉成团，制成号签．

第三步：将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀．

第四步：从容器中逐一抽取6个号签，并记录上面的号码．

对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生．

（2）利用随机数法步骤如下：

第一步：将这50名学生编号，编号为1，2，3，…，50．

第二步：用随机数工具产生1～50范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的学生进入样本．

第三步：重复第二步的过程，直到抽足样本所需人数．

对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生．

例4：【答案】（1）18

（2）6

【解析】（1）设该单位老年职工人数为x，由题意得3x＝430－160，解得x＝90．则样本中的老年职工人数为90×＝18．

（2）法一：因为“泥塑”社团的人数占总人数的，

故“剪纸”社团的人数占总人数的，

所以“剪纸”社团的人数为800×＝320；

因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为＝＝，

所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×＝96．

由题意知，抽样比为＝，

所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×＝6．

法二：因为“泥塑”社团的人数占总人数的，

故“剪纸”社团的人数占总人数的，

所以抽取的50人的样本中，“剪纸”社团中的人数为50×＝20．

又“剪纸”社团中高二年级人数比例为＝＝，

所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20×＝6．

例5：【答案】（1）甲在本次游戏中的平均成绩为＝7．8．

（2）合在一起后的样本均值为＝＝．

【精炼反馈】

1．【答案】B

【解析】选B．在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性都相等，与第几次抽样无关．

2．【答案】C

【解析】选C．本题抽取的是120名学生的成绩，因此每个学生的成绩是个体，这120名学生的成绩构成一个样本．

3．【答案】D

【解析】选D．高一年级抽取的人数为×100＝35．故选D．

4．【答案】解：＝＝167．即该中学所有学生的平均身高为167．

第四步，把与号码相对应的人抽出，即可得到所要的样本．