高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.1 随机抽样教案

【新教材】9.1.2 分层随机抽样 教学设计（人教A版）

本节是在学习了简单随机抽样的基础上，结合随机抽样特点和适用范围，针对总体的复杂性，为提高样本的代表性，有学习掌握分层抽样这种随机抽样的必要性；为下节“用样本估计总体”的学习打下了基础．因此本节内容具有承前启后的作用，地位重要.

课程目标

1．理解分层抽样的基本思想和适用情形．

2．掌握分层抽样的实施步骤．

3．了解两种抽样方法的区别和联系．

数学学科素养

1.数学抽象：分层抽样的相关概念；

2.数据分析：分层抽样的应用；

3.数学运算：分层抽样中各层样本容量的计算.

重点：正确理解分层抽样的定义，灵活应用分层抽样抽取样本．

难点：选择合适的抽样方法解决现实生活中的抽样问题.

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、    情景导入

由上一节知道，简单随机抽样抽取样本会出现极端现象，那么有没有一种抽取方式可以规避这种情况？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本181-184页，思考并完成以下问题

1、什么情况下适用分层抽样？分层抽样的步骤是？

2、简单随机抽样和分层抽样有什么区别与联系？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1．定义

 一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫分层抽样．

2．适用范围

当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往采用分层抽样．

3．分层抽样的步骤

（1）根据已掌握的信息，将总体分成若干部分.

（2）根据总体中的个体数N和样本容量n计算出抽样比k＝.

（3）根据抽样比k计算出各层中应抽取的个体数：·Ni (其中Ni为第i层所包含的个体总数)．

（4）按步骤3所确定的数在各层中随机抽取个体，并合在一起得到容量为n的样本．

探究： 计算各层所抽取个体的个数时，若Ni·的值不是整数怎么办，分层抽样公平吗？

答案 为获取各层的入样数目，需先正确计算出抽样比，若Ni·的值不是整数，可四舍五入取整，也可先将该层等可能地剔除多余的个体．分层抽样中，每个个体被抽到的可能性是相等的，与层数、分层无关.

4. 两种抽样方法的区别和联系

四、典例分析、举一反三

题型一  分层抽样的概念

例1为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(　　)

A．简单随机抽样    B．按性别分层抽样

C．按学段分层抽样  D．无法确定

【答案】C

【解析】由于该地区的中小学生人数比较多，不能采用简单随机抽样，所以排除A项；由于该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，可采取按照学段进行分层抽样，而男女生视力情况差异不大，不能按照性别进行分层抽样，所以排除B，D项．

解题技巧（分层抽样的依据）

(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．

(2)样本能更充分地反映总体的情况．

(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．

跟踪训练一

1.下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是(　　)

A．从10名同学中抽取3人参加座谈会

B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本

C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间

D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量

【答案】B．

【解析】A项中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C项和D项中总体所含个体无差异，不适合用分层抽样；B项中总体所含个体差异明显，适合用分层抽样．

题型二  分层抽样中各层样本容量的计算

例2　某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表.

由于不小心，表格中A，C产品的有关数据丢失，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10.根据以上信息，可得C产品的数量是________件．

【答案】800．

【解析】因为C产品的数量为y，则A产品的数量为x＝3 000－1 300－y＝1 700－y，又C产品的样本容量为n，则A产品的样本容量为m＝10＋n，由分层抽样的定义可知＝＝＝，解得y＝800.

解题技巧 (分层抽样中每层抽取的个体数的确定方法)

(1)已知总体容量、样本容量及各层的个体数时，首先确定抽样比，其中N为总体容量，n为样本容量；然后确定每层抽取的个体的个数ni＝Ni×，其中Ni为第i(i＝1,2，…，k)层的个体数，ni为第i层应抽取的个体数．

(2)已知各层个体数之比为m1∶m2∶…∶mk，样本容量为n时，每层抽取的个体数为ni＝n×(i＝1,2，…，k)．

跟踪训练二

1.某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(　　)

A．100  B．150 

C．200  D．250

【答案】A．

【解析】　n＝(3 500＋1 500)×703 500＝100.故选A项．

题型三  分层抽样的应用

例3 一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了了解与身体状况有关的某项指标，要从所有职工中抽取100名职工作为样本，若职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？

【答案】见解析

【解析】　用分层抽样来抽取样本，步骤是：

(1)分层．按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工，35岁至49岁的职工，50岁以上的职工．

(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为＝，则在不到35岁的职工中抽125×＝25(人)；在35岁至49岁的职工中抽280×＝56(人)；在50岁以上的职工中抽95×＝19(人)．

(3)在各层分别按抽签法或随机数法抽取样本．

(4)综合每层抽样，组成样本．

解题技巧（分层抽样注意事项）

(1)分层抽样实质是利用已知信息尽量使样本结构与总体结构相似．在实际操作时，并不排斥与其他抽样方法联合使用．

(2)在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容量之比．

跟踪训练三

1.在100个产品中，有一等品20个，二等品30个，三等品50个，现要抽取一个容量为30的样本，请说明抽样过程．

【答案】见解析.

【解析】先将产品按等级分成三层；第一层，一等品20个；第二层，二等品30个；第三层，三等品50个．然后确定每一层抽取的个体数，因为抽样比为＝，所以应在第一层中抽取产品20×＝6(个)，在第二层中抽取产品30×＝9(个)，在第三层中抽取产品50×＝15(个)．分别给这些产品编号并贴上标签，用抽签法或随机数表法在各层中抽取，得到一等品6个，二等品9个，三等品15个，这样就通过分层抽样得到了一个容量为30的样本．

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本184页练习，188页习题9.1的5、7题.

本班学生对本章节的基本知识、基本技能掌握情况良好，具体表现在：概念比较清晰，基础扎实，掌握情况总体不错。大部分学生掌握了一定的解题技巧，具有一定的分析问题、解决问题的能力。但也存在着以下缺失：书写不认真，数字抄错，提取有效信息的能力有待加强。