重庆市沙坪坝区南开中学2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试卷(word版含答案)

这是一份重庆市沙坪坝区南开中学2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试卷(word版含答案)，共39页。试卷主要包含了计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年重庆市沙坪坝区南开中学七年级（下）期末
数学试卷
一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑。
1．（3分）下列各数中，最小的是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1
2．（3分）下列以“书”为主题的LOGO设计中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A．x+3y＝0 B．x+2y﹣z＝10 C． D．xy＝3
4．（3分）下列说法中，正确的是（　　）
A．投掷一枚图钉，落地时一定是钉尖朝上
B．从邮编“400030”中任选一个数字，则数字“0”被选中的概率是
C．相等的两个角是对顶角
D．“任取两个整数，其和大于1”是一个不可能享件
5．（3分）下列对△ABC的判断，错误的是（　　）
A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
B．若∠A＝30°，∠B＝50°，则△ABC是锐角三角形
C．若AB＝AC，∠B＝40°，则△ABC是钝角三角形
D．若2∠A＝2∠B＝∠C，则△ABC是等腰直角三角形
6．（3分）周一，小南爸爸开车送小南去上学，匀速行驶了一段后，遇上了早高峰，停滞不前，之后为了不迟到，立即以较快的速度匀速到达学校．在小南爸爸开车送小南过程中x表示小南爸爸开车的时间，y表示他们离学校的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图所示，某工程队欲测量山脚两端A、B间的距离，在山旁的开阔地取一点C，连接AC、BC并分别延长至点D，点E，使得CD＝AC，CE＝BC，测得DE的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△DEC的理由是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
8．（3分）按如图所示的运算程序，若输入a＝1，b＝﹣2，则输出结果为（　　）

A．﹣3 B．1 C．5 D．9
9．（3分）为了响应建设美丽家园的号召，现计划给甲、乙两校各若干株树苗．若甲校得到乙校所有树苗的，则甲校的树苗总数变为50株．若乙校得到甲校所有树苗的，那么乙校的树苗总数也变为50株．设计划分给甲校x株树苗，乙校y株树苗，则可列二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥BA交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AC于点E，则AE的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
11．（3分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　）

A．105° B．115° C．120° D．130°
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是△ABC的角平分线，点E在AC上，过点E作EF⊥BC于点F，延长CB至点G，使BG＝2FC，连接EG交AB于点H，EP平分∠GEC，交AD的延长线于点P，连接PH，PB，PG，若∠C＝∠EGC+∠BAC，则下列结论：
①∠APE＝∠AHE；②PE＝HE；③AB＝GE；④S△PAB＝S△PGE．
其中正确的有（　　）

A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①③④
二、填空题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）请将正确答案直接填写在答题卡相应的横线上.
13．（3分）2022年3月，为深入实施国家教育数字化战略行动，满足学生、教师、家长等不同群体的实际需要，教育部正式上线了国家智慧教育公共服务平台，据统计，平台现有资源总量约达到28000条，请把数28000用科学记数法表示为 　 　．
14．（3分）若2x+1＝16，则x＝　 　．
15．（3分）如果三角形的两边长分别为2和3，且第三边是奇数，那么第三边长为 　 　．
16．（3分）近期，郑渝高铁开通，中国高铁建设又迎来了一个高光时刻，若某列高铁的行驶时间（h）与行驶路程（km）的关系如表：
时间（h）
1.5
2
2.5
3
3.5
……
行驶路程（km）
450
600
750
900
1050
……
根据表格中两者的对应关系，若时间为4.5h，则行驶路程为 　 　km．
17．（3分）谢尔宾斯基三角形通过分形可以设计出许多优美的图形，如图，是一个谢尔宾斯基三角形草坪，阴影部分小三角形是全等的等边三角形，一只蚂蚁在草坪上自由爬行，并随机停留在草坪上，则它停在空白部分的概率是 　 　．

18．（3分）若（x﹣2）（x+3）＝x2+mx+n，则m+n的值为 　 　．
19．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解中x与y的和为4，则m的值为 　 　．
20．（3分）如图，在两幅长、宽都分别为33cm、24cm的大长方形方框中，有若干块形状、大小完全相同的小长方形，拼成了“南开”两字，则每块小长方形的面积为 　 　cm2．

21．（3分）如图，已知等边△ABC的周长为24，点D在BC边上，点E是AB边上一点，连接ED，将△BDE沿着DE翻折得到△DEF，EF交AC于点G，DF交AC于点O，若OG＝OD，则△OGF的周长为 　 　．

22．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠C＝23°，∠ABC的角平分线交AC于点D，过点D作DF∥AB交BC于点F，点E是BA延长线上一点，且BE＝FC，连接EF交AC于点O，则∠EOC＝　 　．

23．（3分）如图，△ABC和△BDE均为等腰直角三角形，AB＝BC，BD＝ED，∠ABC＝∠BDE＝90°，过点A作AG⊥BD于点G，BC平分∠DBE，且点C恰好在DE上，若S△BFC＝36，则BF的长为 　 　．

24．（3分）2022年6月5日，神舟十四号载人飞船成功发射，中国航天再次成为全球焦点．为了纪念此次太空任务成功，某校航空科技社团决定为同学们定制“胸针”、“笔记本”、“丝巾”三款神舟小礼品，其中胸针每枚6元、笔记本每本12元、丝巾每条15元．社团规定每位同学只能选两份小礼品（可以重复）．小南将同学们的登记情况分成3组，A组每人登记一枚胸针和一本笔记本；B组每人登记一枚胸针和一条丝巾；C组每人登记一本笔记本和一条丝巾，这样预计总共花费1017元．正式购买时，A组有m人换成每人购买两条丝巾，C组也有m人换成每人购买两枚胸针，购买当天发现A组与C组的实际花费之和比B组实际花费的2倍多45元，则m的值为 　 　．
三、计算题：（本大题共5个小题，25题4分，26题4分，27题5分，28题5分，29题8分，共26分）解答时给出必要的演算过程。
25．（4分）|﹣1|+（π﹣3）0+．
26．（4分）x•（2x2）2+4x5y÷（﹣2y）．
27．（5分）解方程组：．
28．（5分）解方程组：．
29．（8分）化简求值：[（x+2y）2+（3x+y）（y﹣3x）﹣5y2]÷（2x），其中x＝﹣2，y＝．
四、解答题：（本大题共6个小题，共52分）解答时给出必要的演算过程.
30．如图，已知∠MBN，点A为射线BM上一定点．
（1）尺规作图：按要求完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）：
①作线段BC＝BA，点C在射线BN上；
②作线段AB的垂直平分线DE，分别交AB、BC于点D、点E；
（2）在（1）的条件下，连接AC，AE，若AC＝AE，则∠MBN为 　 　．

31．如图所示，已知CD＝BD，点E、F分别是CD、BD的中点，∠CAF＝∠BAE，∠B＝∠C．求证：AE＝AF．

32．2022年“新课标”提出，义务教育劳动课程以丰富开放的劳动项目为载体．南开中学积极发挥劳动教育的融合性特征，从课程设计、课余生活等多维度，鼓励学生积极参与劳动．为了解七年级学生一周参与劳动时间的情况，随机抽取部分学生，统计了他们每周劳动时间（单位：h），并将收集到的数据整理分析，共分为五组：（A：x＜1，B：1≤x＜2，C：2≤x＜3，D：3≤x＜4，E：x≥4，其中每周劳动时间不少于3小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图：

结合图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的总人数为 　 　人，a＝　 　；
（2）把频数分布直方图补充完整；
（3）为了让全校学生重视劳动学习，学校准备从这些达标学生中随机抽取1名学生给全校学生分享劳动收获心得，若已知在这些达标学生中有男生13人，求抽中女生的概率．
33．今年神舟十四号成功发射，某航天博物馆顺势推出了“我要做太空人”系列航天纪念品，提供“漫步星河”、“梦想远航”两种不同的纪念品套餐供游客选择．已知购买2份“漫步星河”与5份“梦想远航”共需付款160元，购买2份“漫步星河”比购买1份“梦想远航”多付款40元．
（1）请问每份“漫步星河”多少元？每份“梦想远航”多少元？
（2）近期越来越多的学校选择来该博物馆进行研学之旅，于是该博物馆决定对纪念品推出两种优惠活动，如表所示：

“漫步星河”纪念品
“梦想远航”纪念品
活动一
每份为原价的
每份5折
活动二
每购买一份“漫步星河”纪念品，就赠送一份“梦想远航”纪念品
若某中学某年级决定购买“漫步星河”、“梦想远航”两种纪念品套餐共100份（其中“漫步星河”纪念品不超过50份），则购买“漫步星河”纪念品套餐多少份时，选择优惠一和优惠二购买所需的费用相同？
34．若在意一个三位数M，满足各数位上的数字均不为0，百位上的数字与十位上的数字的2倍之和等于十位上的数字与个位上的数字的2倍之和，则称这个三位数M为“双增数”．对于一个“双增数”M＝，规定：s＝a+c，t＝b+c，F（M）＝3s+2t．
例如，M＝243，因为2+2×4＝4+2×3，故M是一个“双增数”，s＝2+3＝5，t＝4+3＝7，则F（M）＝3×5+2×7＝29．
（1）请判断365，597是不是“双增数”，说明理由．若是，请求出F（M）的值；
（2）若三位数N为“双增数”，N的百位数字为x﹣1，个位数字为y（其中x，y是正整数，且3≤y≤7），当N各数位上的数字之和与F（N）的和能被17整除时，求所有满足条件的“双增数”N的值．
35．如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E、F在AD上，连接BE，CE，CF，延长CF交BE于点G．
（1）若AE：ED＝2：3，S△ABC＝20，则S△ABE＝　 　；
（2）若GE＝GF，∠BAE+∠ECF＝∠GEF．求证：AE＝EF；
（3）如图2，在（2）条件下，点P、M、N分别是△GEF三边上的动点，且∠BAF＝60°，∠GBC+∠GCB＝2∠ABE，当△PMN的周长最小时，直接写出的值．


2021-2022学年重庆市沙坪坝区南开中学七年级（下）期末
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑。
1．（3分）下列各数中，最小的是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1
【分析】根据正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可得出答案．
【解答】解：∵2＜3，
∴﹣2＞﹣3，
∴﹣3＜﹣2＜0＜1，
∴最小的是﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键．
2．（3分）下列以“书”为主题的LOGO设计中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进而判断得出答案．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
3．（3分）下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A．x+3y＝0 B．x+2y﹣z＝10 C． D．xy＝3
【分析】利用二元一次方程的定义判断从而得到答案．
【解答】解：A、符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意；
B、含有三个未知数，不是二元一次方程，故本选项不合题意；
C、分母中含有未知数，是分式方程，不是二元一次方程，故本选项不合题意；
D、含未知数的项的次数为2，不是二元一次方程，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
4．（3分）下列说法中，正确的是（　　）
A．投掷一枚图钉，落地时一定是钉尖朝上
B．从邮编“400030”中任选一个数字，则数字“0”被选中的概率是
C．相等的两个角是对顶角
D．“任取两个整数，其和大于1”是一个不可能享件
【分析】由随机事件的定义、概率公式、对顶角的定义分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A．投掷一枚图钉，落地时不一定是钉尖朝上，故选项A不符合题意；
B．从邮编“400030”中任选一个数字，则数字“0”被选中的概率是＝，故选项B符合题意；
C．相等的两个角不一定是对顶角，故选项C不符合题意；
D．“任取两个整数，其和大于1”是一个随机事件，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了概率公式、随机事件以及对顶角等知识，熟练掌握概率公式和随机事件定义是解题的关键．
5．（3分）下列对△ABC的判断，错误的是（　　）
A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
B．若∠A＝30°，∠B＝50°，则△ABC是锐角三角形
C．若AB＝AC，∠B＝40°，则△ABC是钝角三角形
D．若2∠A＝2∠B＝∠C，则△ABC是等腰直角三角形
【分析】根据等腰三角形，等边三角形，直角三角形的判定以及三角形的内角和定理即可作出判断．
【解答】解：A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，故此选项判断正确，不符合题意；
B．若∠A＝30°，∠B＝50°，则∠C＝100°，所以△ABC是钝角三角形，故此选项判断不正确，符合题意；
C．若AB＝AC，∠B＝40°，则∠B＝∠C＝40°，∠A＝100°，所以△ABC是钝角三角形，故此选项判断正确，不符合题意；
D．若2∠A＝2∠B＝∠C，则∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，故此选项判断正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的判定，直角三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识点，能熟记等腰三角形的性质和判定定理是解此题的关键．
6．（3分）周一，小南爸爸开车送小南去上学，匀速行驶了一段后，遇上了早高峰，停滞不前，之后为了不迟到，立即以较快的速度匀速到达学校．在小南爸爸开车送小南过程中x表示小南爸爸开车的时间，y表示他们离学校的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可得离学校的距离越来越近，根据途中堵车，可得路程不变，根据加速行驶，可得路程变化快，最后到达学校．
【解答】解：由题意得：离学校的距离越来越近，直线呈下降趋势，
根据途中堵车，可得路程不变，时间加长，直线呈水平状态，
后来加速行驶，可得路程变化快，直线下降更快，只有A符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了函数图象，理解题意是解题关键：匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加．
7．（3分）如图所示，某工程队欲测量山脚两端A、B间的距离，在山旁的开阔地取一点C，连接AC、BC并分别延长至点D，点E，使得CD＝AC，CE＝BC，测得DE的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△DEC的理由是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】图形中隐含对顶角的条件，利用两边且夹角相等容易得到两个三角形全等．
【解答】证明：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS），
故选：B．

【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等解决实际问题．
8．（3分）按如图所示的运算程序，若输入a＝1，b＝﹣2，则输出结果为（　　）

A．﹣3 B．1 C．5 D．9
【分析】根据新定义的要求进行整式混合运算，代入数值进行实数四则运算．
【解答】解：∵输入a＝1，b＝﹣2，a＞b，
∴a2+b2＝1+4＝5，
输出结果为5．
故选：C．
【点评】本题考查了整式运算、实数运算的新定义，关键是要读懂题意，能正确代入数据求解．
9．（3分）为了响应建设美丽家园的号召，现计划给甲、乙两校各若干株树苗．若甲校得到乙校所有树苗的，则甲校的树苗总数变为50株．若乙校得到甲校所有树苗的，那么乙校的树苗总数也变为50株．设计划分给甲校x株树苗，乙校y株树苗，则可列二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“若甲校得到乙校所有树苗的，则甲校的树苗总数变为50株．若乙校得到甲校所有树苗的，那么乙校的树苗总数也变为50株”即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【解答】解：根据题意得：．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥BA交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AC于点E，则AE的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，根据含30°角的直角三角形的性质可得AD的长，再求出EC的长，即可确定AE的长．
【解答】解：∵AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥BA，
∴∠BAD＝90°，
设AD＝x，则BD＝2x，
根据勾股定理，可得62+x2＝（2x）2，
解得x＝或x＝﹣（舍去），
∴AD＝，
∵∠DAC＝120°﹣90°＝30°，
∴∠C＝∠DAC，
∴DC＝AD＝，
∵DE⊥BC，
∴∠EDC＝90°，
设ED＝m，则EC＝2m，
根据勾股定理，得，
∴m＝2或m＝﹣2（舍去），
∴EC＝2m＝4，
∴AE＝6﹣4＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
11．（3分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　）

A．105° B．115° C．120° D．130°
【分析】过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，可证得△ABG≌△AB′G（ASA），所以∠E′B′G＝∠E′BG，由“直角三角形两锐角互余”可得∠AB′F′＝40°＝∠ABE，所以∠BE′F′＝50°，由此可得结论．
【解答】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图，
此时BE+EF最小．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，
∴∠AE′F′＝65°，
∵BB′⊥AD，
∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，
∵AG＝AG，
∴△ABG≌△AB′G（ASA），
∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G，
∴AD垂直平分BB′，
∴BE＝BE′，
∴∠E′B′G＝∠E′BG，
∵∠BAC＝50°，
∴∠AB′F′＝40°，
∴∠ABE＝40°，
∴∠BE′F′＝50°，
∴∠AE′B＝115°．
故选：B．

【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，轴对称最值问题，直角三角形的性质等知识，根据轴对称最值问题作出辅助线是解题关键．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是△ABC的角平分线，点E在AC上，过点E作EF⊥BC于点F，延长CB至点G，使BG＝2FC，连接EG交AB于点H，EP平分∠GEC，交AD的延长线于点P，连接PH，PB，PG，若∠C＝∠EGC+∠BAC，则下列结论：
①∠APE＝∠AHE；②PE＝HE；③AB＝GE；④S△PAB＝S△PGE．
其中正确的有（　　）

A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①③④
【分析】过点P分别作GE，AB，AC的垂线，垂足分别为I，M，N，根据角平分线的性质定理可知，PM＝PN＝PI，易证PH平分∠BGE，即∠PHM＝∠PHI．设∠PEH＝α，∠PAB＝β，由外角的性质可得∠APE＝α﹣β，∠AHE＝2α﹣2β，所以∠APE＝∠AHE；故①正确；由外角的性质可得∠PHE＝90°﹣α+β，由三角形内角和可得，∠HPE＝180°﹣α﹣（90°﹣α+β）＝90°﹣β，所以∠PHE≠∠HPE，即PE≠HE；故②不正确；在射线AC上截取CK＝EC，延长BC到点L，使得CL＝FC，连接BK，LK，易证△EFC≌△KLC（ASS），所以EF＝LK，∠L＝∠EFC＝90°，易证FG＝BL，所以△GEF≌△BKL（SAS），所以∠EGF＝∠KBC，GE＝BK，由由外角的性质可知，∠BAC＝∠BKC，所以AB＝BK＝GE，故③正确；因为S△PAB＝•AB•PM，S△PGE＝GE•PI，且AB＝GE，PM＝PI，所以S△PAB＝S△PGE．故④正确．
【解答】解：过点P分别作GE，AB，AC的垂线，垂足分别为I，M，N，
∵AP平分∠BAC，PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PM＝PN，∠PAB＝∠PAC，
∵PE平分∠GEC，PN⊥AC，PI⊥EH，
∴PI＝PN，∠PEH＝∠PEN，
∴PM＝PN＝PI，
∴∠PMH＝∠PIH，
∵PH＝PH，
∴∠PHM＝∠PHI，
∴Rt△PMH≌Rt△PIH（HL），
∴∠PHM＝∠PHI，
设∠PEH＝α，∠PAB＝β，
∴∠PEN＝α，∠BAN＝β，
对于△APE，∠PEC＝∠PAE+∠APE，
∴∠APE＝α﹣β，
对于△AEH，∠HEC＝∠BAC+∠AHE，
∴∠AHE＝2α﹣2β，
∴∠APE＝∠AHE；故①正确；
∵∠AHE+∠MHE，∠PHM＝∠PHI，
∴∠PHE＝90°﹣α+β，
∴∠HPE＝180°﹣α﹣（90°﹣α+β）＝90°﹣β，
∴∠PHE≠∠HPE，即PE≠HE；故②不正确；
在射线AC上截取CK＝EC，延长BC到点L，使得CL＝FC，连接BK，LK，
∵∠ECF＝∠LCK，
∴△EFC≌△KLC（ASS），
∴EF＝LK，∠L＝∠EFC＝90°，
∵BG＝2FC，FC＝CL，
∴BG＝FL，
∴FG＝BL，
∴△GEF≌△BKL（SAS），
∴∠EGF＝∠KBC，GE＝BK，
∵∠ACB＝∠EGC+∠BAC，∠ACB＝∠KBC+∠BKC，
∴∠BAC＝∠BKC，
∴AB＝BK，
∴GE＝AB，故③正确；
∵S△PAB＝•AB•PM，S△PGE＝GE•PI，
又∵AB＝GE，PM＝PI，
∴S△PAB＝S△PGE．故④正确．
故选：D．

【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，角平分线的性质与判定，三角形外角的性质定理，作出辅助线，构造全等是解题关键．
二、填空题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）请将正确答案直接填写在答题卡相应的横线上.
13．（3分）2022年3月，为深入实施国家教育数字化战略行动，满足学生、教师、家长等不同群体的实际需要，教育部正式上线了国家智慧教育公共服务平台，据统计，平台现有资源总量约达到28000条，请把数28000用科学记数法表示为 　2.8×104　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：28000＝2.8×104，
故答案为：2.8×104．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．（3分）若2x+1＝16，则x＝　3　．
【分析】根据乘方：24＝16可得答案．
【解答】解：由题意得：x+1＝4，
解得：x＝3，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了乘方，关键是掌握乘方的意义．an＝a•a•a•a•…•a（n个a相乘）．
15．（3分）如果三角形的两边长分别为2和3，且第三边是奇数，那么第三边长为 　3　．
【分析】根据三角形的三边关系定理可得3﹣2＜x＜2+3，再解即可．
【解答】解：由题意得：3﹣2＜x＜2+3，
即：1＜x＜5，
又第三边是奇数，
∴x的值是：3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
16．（3分）近期，郑渝高铁开通，中国高铁建设又迎来了一个高光时刻，若某列高铁的行驶时间（h）与行驶路程（km）的关系如表：
时间（h）
1.5
2
2.5
3
3.5
……
行驶路程（km）
450
600
750
900
1050
……
根据表格中两者的对应关系，若时间为4.5h，则行驶路程为 　1350　km．
【分析】根据表中的数据求出速度，再求时间为4.5h行驶的路程．
【解答】解：高铁的行驶的速度为600÷2＝300（km/h），
所以当时间为4.5h时，行驶的路程为300×4.5＝1350（km）．
故答案为：1350．
【点评】本题考查了时间、速度、路程的关系，关键是理解表格中的数据．
17．（3分）谢尔宾斯基三角形通过分形可以设计出许多优美的图形，如图，是一个谢尔宾斯基三角形草坪，阴影部分小三角形是全等的等边三角形，一只蚂蚁在草坪上自由爬行，并随机停留在草坪上，则它停在空白部分的概率是 　　．

【分析】它停在空白部分的概率是空白部分的面积与等边三角形面积的比．
【解答】解：设每个小等边三角形的面积为1，则大等边三角形的面积为15，空白部分的面积为6，
所以，它停在空白部分的概率是＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
18．（3分）若（x﹣2）（x+3）＝x2+mx+n，则m+n的值为 　﹣5　．
【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题．
【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝x2+3x﹣2x﹣6＝x2+x﹣6．
∵（x﹣2）（x+3）＝x2+mx+n，
∴m＝1，n＝﹣6．
∴m+n＝1+（﹣6）＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题主要多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．
19．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解中x与y的和为4，则m的值为 　2　．
【分析】观察方程组的特点，巧用等式的性质，两方程相加出现x、y相加和为关于m的代数式，再求关于m的方程即可．
【解答】解：，
①+②得2x+2y＝2m+4，
即x+y＝m+2，
∵x与y的和为4，
∴m+2＝4，
∴m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解以及等式的性质，关键要掌握二元一次方程组的解意义和等式的性质．
20．（3分）如图，在两幅长、宽都分别为33cm、24cm的大长方形方框中，有若干块形状、大小完全相同的小长方形，拼成了“南开”两字，则每块小长方形的面积为 　27　cm2．

【分析】设每块小长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意：在两幅长、宽都分别为33cm、24cm的大长方形方框中，有若干块形状、大小完全相同的小长方形，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
【解答】解：设每块小长方形的长为xcm，宽为ycm，
由题意得：，
解得：，
则每块小长方形的面积＝xy＝9×3＝27（cm2），
故答案为：27．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
21．（3分）如图，已知等边△ABC的周长为24，点D在BC边上，点E是AB边上一点，连接ED，将△BDE沿着DE翻折得到△DEF，EF交AC于点G，DF交AC于点O，若OG＝OD，则△OGF的周长为 　8　．

【分析】由折叠可知，∠B＝∠F＝∠C，易证△GOF≌△DOC（AAS），所以GF＝DC，OF＝OC，所以△OGF的周长为OG+OF+GF＝OD+OC+DC＝BC，再由等边三角形的周长为24，可得BC＝8，由此可得出结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，
由折叠可知，∠B＝∠F，
∴∠C＝∠F＝60°，
∵OG＝OD，∠GOF＝∠DOC，
∴△GOF≌△DOC（AAS），
∴GF＝DC，OF＝OC，
∴△OGF的周长为OG+OF+GF＝OD+OC+DC＝BC，
∵等边三角形的周长为24，
∴BC＝8．
∴△OGF的周长为8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，折叠的性质等相关知识，得出三角形全等是解题关键．
22．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠C＝23°，∠ABC的角平分线交AC于点D，过点D作DF∥AB交BC于点F，点E是BA延长线上一点，且BE＝FC，连接EF交AC于点O，则∠EOC＝　96°　．

【分析】由平行线夹角平分线可得△BDF是等腰三角形，即BF＝BD，由平行线的性质可得∠DFC＝∠ABC；根据SAS可得出△BEF≌△FCD，由此可得∠E＝∠C＝23°，由平行线的性质可得∠EFD＝23°，再由三角形的外角性质可得出结论、
【解答】解：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝50°，
∴∠ABD＝∠FBD＝25°，
∵AB∥DF，
∴∠DFC＝∠ABC＝50°，∠BDF＝∠ABD＝25°，
∴∠BDF＝∠FBD，
∴BF＝FD，
∵BE＝FC，
∴△BEF≌△FCD（SAS），
∴∠E＝∠C＝23°，
∵AB∥DF，
∴∠EFD＝∠E＝23°，
∴∠OFC＝∠EFD+∠DFC＝73°，
∴∠EOC＝∠OFC+∠C＝96°．
故答案为：96°．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，外角的性质等相关知识，根据条件得出三角形全等是解题关键．
23．（3分）如图，△ABC和△BDE均为等腰直角三角形，AB＝BC，BD＝ED，∠ABC＝∠BDE＝90°，过点A作AG⊥BD于点G，BC平分∠DBE，且点C恰好在DE上，若S△BFC＝36，则BF的长为 　12　．

【分析】由全等三角形的性质可证BG＝FG＝CD，由三角形的面积公式可求BG，即可求解．
【解答】解：∵△ABC和△BDE均为等腰直角三角形，
∴∠DBE＝∠CAB＝45°，
∵BC平分∠DBE，
∴∠DBC＝22.5°＝∠CBE，
∴∠ABG＝67.5°，
∵AG⊥BD，
∴∠GAB＝22.5°，
∴∠FAG＝∠BAG＝22.5°，
在△ABG和△AFG中，
，
∴△ABG≌△AFG（ASA），
∴BG＝FG，
在△ABG和△BCD中，
，
∴△ABG≌△BCD（AAS），
∴BG＝CD，
∵S△BFC＝36＝×BF×CD＝×2BG×BG，
∴BG＝6，
∴BF＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24．（3分）2022年6月5日，神舟十四号载人飞船成功发射，中国航天再次成为全球焦点．为了纪念此次太空任务成功，某校航空科技社团决定为同学们定制“胸针”、“笔记本”、“丝巾”三款神舟小礼品，其中胸针每枚6元、笔记本每本12元、丝巾每条15元．社团规定每位同学只能选两份小礼品（可以重复）．小南将同学们的登记情况分成3组，A组每人登记一枚胸针和一本笔记本；B组每人登记一枚胸针和一条丝巾；C组每人登记一本笔记本和一条丝巾，这样预计总共花费1017元．正式购买时，A组有m人换成每人购买两条丝巾，C组也有m人换成每人购买两枚胸针，购买当天发现A组与C组的实际花费之和比B组实际花费的2倍多45元，则m的值为 　9　．
【分析】可设A组有a人，B组有b人，C组有c人，根据A组每人登记一枚胸针和一本笔记本；B组每人登记一枚胸针和一条丝巾；C组每人登记一本笔记本和一条丝巾，这样预计总共花费1017元，可得6a+7b+9c＝339①，根据正式购买时，A组有m人换成每人购买两条丝巾，C组也有m人换成每人购买两枚胸针，购买当天发现A组与C组的实际花费之和比B组实际花费的2倍多45元，可得6a﹣14b+9c＝m+15②，①﹣②得m＝324﹣21b③，再根据a，b，c，m都为正整数，m＜a，m＜c，依此可求m的值．
【解答】解：设A组有a人，B组有b人，C组有c人，
依题意有：18a+21b+27c＝1017，
解得6a+7b+9c＝339①，
依题意有：18（a﹣m）+30m+27（c﹣m）+12m＝2×21b+45，
解得6a﹣14b+9c＝m+15②，
①﹣②得m＝324﹣21b③，
∵a，b，c，m都为正整数，m＜a，m＜c，
∴b＝15，m＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了应用类问题，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
三、计算题：（本大题共5个小题，25题4分，26题4分，27题5分，28题5分，29题8分，共26分）解答时给出必要的演算过程。
25．（4分）|﹣1|+（π﹣3）0+．
【分析】根据绝对值、零指数幂和负整数指数幂的性质化简，再计算即可．
【解答】解：原式＝1+1+9＝11．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握绝对值、零指数幂和负整数指数幂的性质是解题关键．
26．（4分）x•（2x2）2+4x5y÷（﹣2y）．
【分析】根据整式的混合运算法则，先计算乘方，再计算乘除，最后计算加法．
【解答】解：x•（2x2）2+4x5y÷（﹣2y）
＝x•4x4+4x5y÷（﹣2y）
＝4x5﹣2x5
＝2x5．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则是解决本题的关键．
27．（5分）解方程组：．
【分析】运用加减消元法解这个二元一次方程组．
【解答】解：将x﹣2y＝﹣1记作①，2x﹣y＝4记作②．
①×2，得2x﹣4y＝﹣2③．
②﹣③，得3y＝6．
∴y＝2．
将y＝2代入①，得x﹣4＝﹣1．
∴x＝3．
∴这个方程组的解为
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
28．（5分）解方程组：．
【分析】运用加减消元法解决此题．
【解答】解：由，得
将3x﹣2y＝16记作①，5x+4y＝12记作②．
①×2，得6x﹣4y＝32③．
∴②+③，11x＝44．
∴x＝4．
将x＝4代入①，得12﹣2y＝16．
∴y＝﹣2．
∴这个方程组的解为
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
29．（8分）化简求值：[（x+2y）2+（3x+y）（y﹣3x）﹣5y2]÷（2x），其中x＝﹣2，y＝．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：[（x+2y）2+（3x+y）（y﹣3x）﹣5y2]÷（2x）
＝（x2+4xy+4y2+y2﹣9x2﹣5y2）÷（2x）
＝（﹣8x2+4xy）÷（2x）
＝﹣4x+2y，
当x＝﹣2，y＝时，原式＝﹣4×（﹣2）+2×
＝8+1
＝9．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
四、解答题：（本大题共6个小题，共52分）解答时给出必要的演算过程.
30．如图，已知∠MBN，点A为射线BM上一定点．
（1）尺规作图：按要求完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）：
①作线段BC＝BA，点C在射线BN上；
②作线段AB的垂直平分线DE，分别交AB、BC于点D、点E；
（2）在（1）的条件下，连接AC，AE，若AC＝AE，则∠MBN为 　36°　．

【分析】（1）①以B为圆心，BA为半径作弧交BN于点C，点C即为所求；
②根据要求作出图形即可；
（2）证明∠BCA＝∠BAC＝2∠B，可得结论．
【解答】解：（1）①如图，点C即为所求；
②如图，直线DE即为所求；

（2）∵BA＝BC，AC＝AE，
∴∠BAC＝∠ACB＝∠AEC，
∵DE垂直平分线段AD，
∴EA＝EB，
∴∠ABE＝∠BAE，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE，
∴∠AEC＝∠ACB＝∠BAC＝2∠B，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°，
故答案为：36°．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，射线，线段，直线，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
31．如图所示，已知CD＝BD，点E、F分别是CD、BD的中点，∠CAF＝∠BAE，∠B＝∠C．求证：AE＝AF．

【分析】利用AAS证明△ACE≌△ABF，即可解决问题．
【解答】证明：∵CD＝BD，点E、F分别是CD、BD的中点，
∴CE＝BF，
∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠CAF﹣∠EAF＝∠BAE﹣∠EAF，
∴∠CAE＝∠BAF，
在△ACE和△ABF中．
，
∴△ACE≌△ABF（AAS），
∴AE＝AF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ACE≌△ABF．
32．2022年“新课标”提出，义务教育劳动课程以丰富开放的劳动项目为载体．南开中学积极发挥劳动教育的融合性特征，从课程设计、课余生活等多维度，鼓励学生积极参与劳动．为了解七年级学生一周参与劳动时间的情况，随机抽取部分学生，统计了他们每周劳动时间（单位：h），并将收集到的数据整理分析，共分为五组：（A：x＜1，B：1≤x＜2，C：2≤x＜3，D：3≤x＜4，E：x≥4，其中每周劳动时间不少于3小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图：

结合图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的总人数为 　50　人，a＝　36　；
（2）把频数分布直方图补充完整；
（3）为了让全校学生重视劳动学习，学校准备从这些达标学生中随机抽取1名学生给全校学生分享劳动收获心得，若已知在这些达标学生中有男生13人，求抽中女生的概率．
【分析】（1）根据C组的频数和百分比求出总人数，再用D组频数除以总人数求出a的值；
（2）先求出B组人数，再补全频数分布直方图；
（3）用达标学生中女生的人数除以达标总人数即可．
【解答】解：（1）12÷24%＝50（人），
即调查的总人数为60人，
a%＝＝36%，a＝36．
故答案为50，36；
（2）B组人数为50﹣（2+12+18+10）＝8（人）．
补全频数分布直方图如下图所示：

（3）∵每周劳动时间不少于3小时为达标，
∴达标总人数为18+10＝28（人），
∵这些达标学生中有男生13人，
∴女生有28﹣13＝15（人），
∴抽中女生的概率为．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、概率公式等知识，解题的关键是掌握基本概念，属于中考常考题型．
33．今年神舟十四号成功发射，某航天博物馆顺势推出了“我要做太空人”系列航天纪念品，提供“漫步星河”、“梦想远航”两种不同的纪念品套餐供游客选择．已知购买2份“漫步星河”与5份“梦想远航”共需付款160元，购买2份“漫步星河”比购买1份“梦想远航”多付款40元．
（1）请问每份“漫步星河”多少元？每份“梦想远航”多少元？
（2）近期越来越多的学校选择来该博物馆进行研学之旅，于是该博物馆决定对纪念品推出两种优惠活动，如表所示：

“漫步星河”纪念品
“梦想远航”纪念品
活动一
每份为原价的
每份5折
活动二
每购买一份“漫步星河”纪念品，就赠送一份“梦想远航”纪念品
若某中学某年级决定购买“漫步星河”、“梦想远航”两种纪念品套餐共100份（其中“漫步星河”纪念品不超过50份），则购买“漫步星河”纪念品套餐多少份时，选择优惠一和优惠二购买所需的费用相同？
【分析】（1）设每份“漫步星河”纪念品套餐x元，每份“梦想远航”纪念品套餐y元，根据购买2份“漫步星河”与5份“梦想远航”共需付款160元及购买2份“漫步星河”比购买1份“梦想远航”多付款40元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买“漫步星河”纪念品套餐m（0＜m＜10）份，则购买“梦想远航”纪念品套餐（100﹣m）份，选择优惠活动一所需费用为（15m+1000）元，选择优惠活动一所需费用为（﹣10m+2000）元，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设每份“漫步星河”纪念品套餐x元，每份“梦想远航”纪念品套餐y元，
依题意得：，
解得：．
答：每份“漫步星河”纪念品套餐30元，每份“梦想远航”纪念品套餐20元．
（2）设购买“漫步星河”纪念品套餐m（0＜m＜10）份，则购买“梦想远航”纪念品套餐（100﹣m）份，选择优惠活动一所需费用为30×m+20×0.5（100﹣m）＝（15m+1000）元，选择优惠活动一所需费用为30m+20（100﹣m﹣m）＝（﹣10m+2000）元，
依题意得：15m+1000＝﹣10m+2000，
解得：m＝40．
答：购买“漫步星河”纪念品套餐40份时，选择优惠一和优惠二购买所需的费用相同．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
34．若在意一个三位数M，满足各数位上的数字均不为0，百位上的数字与十位上的数字的2倍之和等于十位上的数字与个位上的数字的2倍之和，则称这个三位数M为“双增数”．对于一个“双增数”M＝，规定：s＝a+c，t＝b+c，F（M）＝3s+2t．
例如，M＝243，因为2+2×4＝4+2×3，故M是一个“双增数”，s＝2+3＝5，t＝4+3＝7，则F（M）＝3×5+2×7＝29．
（1）请判断365，597是不是“双增数”，说明理由．若是，请求出F（M）的值；
（2）若三位数N为“双增数”，N的百位数字为x﹣1，个位数字为y（其中x，y是正整数，且3≤y≤7），当N各数位上的数字之和与F（N）的和能被17整除时，求所有满足条件的“双增数”N的值．
【分析】（1）根据“双增数”的概念判断即可．
（2）根据条件，建立关于x，y的方程求解．
【解答】解：（1）∵3+6×2＝15，6+2×5＝16，
∴365不是“双增数”．
∵5+9×2＝9+7×2＝23，
∴597是“双增数”．
（2）设N的十位数字是a，
∵N是“双增数”，
∴x﹣1+2a＝a+2y，
∴a＝2y﹣x+1，
s＝x﹣1+y，t＝a+y＝3y﹣x+1，
∴F（N）＝3（x﹣1+y）+2（3y﹣x+1）
＝x+9y﹣1，
∴N各数位上的数字之和与F（N）的和＝x﹣1+a+y+x+9y﹣1
＝x﹣1+2y﹣x+1+y+x+9y﹣1
＝12y+x﹣1，
∵N各数位上的数字之和与F（N）的和能被17整除，3≤y≤7，
∴当y＝4，x＝4符合题意，此时N＝354，
当y＝5，x＝9合题意，此时N＝825，
∴符合条件的N有：354，825
【点评】本题考查用新定义解题，理解新定义是求解本题的关键．
35．如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E、F在AD上，连接BE，CE，CF，延长CF交BE于点G．
（1）若AE：ED＝2：3，S△ABC＝20，则S△ABE＝　4　；
（2）若GE＝GF，∠BAE+∠ECF＝∠GEF．求证：AE＝EF；
（3）如图2，在（2）条件下，点P、M、N分别是△GEF三边上的动点，且∠BAF＝60°，∠GBC+∠GCB＝2∠ABE，当△PMN的周长最小时，直接写出的值．

【分析】（1）由AD是中线可得S△ABD＝S△ADC＝S△ABC，再由题意可知S△ABE：S△BED＝2：3，进而可求解；
（2）延长ED至Q，使DQ＝ED，则可证△BDE≌△CDQ（SAS），再证明△ABE≌△ECF（AAS），即可求解；
（3）作P点关于GE的对称点K，连接GK，KP，作P点关于GF的对称点L，连接GL，PL，连接KL交GE于M，交GF于N，连接MP，NP，则△PMN的周长≥KL，设∠GBC+∠GCB＝α，在△GEC中，α++60°+90°﹣＝180°，可得α＝30°，从而得到△GLK是等边三角形，当GP最小时，LK就最小，从而可得＝．
【解答】（1）解：∵AD是BC边上的中线，
∴S△ABD＝S△ADC＝S△ABC，
∵S△ABC＝20，
∴S△ABD＝10，
∵AE：ED＝2：3，
∴S△ABE：S△BED＝2：3，
∴S△ABE＝S△ABD＝4，
故答案为：4；
（2）证明：如图1，延长ED至Q，使DQ＝ED，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵∠BDE＝∠CDQ，
∴△BDE≌△CDQ（SAS），
∴CQ＝BE，
∵GE＝GF，
∴∠GEF＝∠GFE，
∵∠GFE＝∠QFC，
∴CF＝CQ，
∴BE＝CF，
∵∠BAE+∠ECF＝∠GEF，∠GFE＝∠ECF+∠FEC，
∴∠BAE＝∠FEC，
∵∠GEF＝∠BAE+∠ABE，∠GFE＝∠FEC+∠ECF，
∴∠ABE＝∠ECF，
∴△ABE≌△ECF（AAS），
∴AE＝EF；
（3）解：如图2，作P点关于GE的对称点K，连接GK，KP，作P点关于GF的对称点L，连接GL，PL，连接KL交GE于M，交GF于N，连接MP，NP，
∴MP＝KM，PL＝NL，
∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝KM+MN+NL≥KL，
设∠GBC+∠GCB＝α，
∴∠EGF＝α，
∵GE＝GF，
∴∠GEF＝90°﹣，
由（2）知，∠CEF＝∠BAF，∠ABE＝∠ECF，
∵∠BAF＝60°，
∴∠CEF＝60°，
∵∠GBC+∠GCB＝2∠ABE，
∴∠ECF＝，
在△GEC中，α++60°+90°﹣＝180°，
∴α＝30°，
∴∠EGF＝30°，
∴∠KGL＝60°，
∴△GLK是等边三角形，
∴当GP最小时，LK就最小，
∴GP⊥EF，
∴GE＝GF，
∴P点是EF的中点，
∵EF＝AE，
∴＝．


【点评】本题是三角形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，轴对称求最短距离，垂线段最短是解题的关键．