2023-2024学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（上）期中数学试卷，共38页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）8的倒数是（ ）
A．﹣8B．8C．D．﹣
2．（4分）下列南开中学建筑简图中，是轴对称图形的是（ ）
A．东门
B．艺术馆
C．图书馆
D．传鉴亭
3．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为1：2，BC＝2，则EF的长度为（ ）
A．3B．4C．6D．8
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．x+x2＝x3B．（a+1）a＝a2+1
C．2x+3y＝5xyD．b•b2＝b3
5．（4分）估计的值应在（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
6．（4分）如图，用圆圈按照一定的规律拼图案，其中第①个图案有5个圆圈，第②个图案有8个圆圈，第③个图案有11个圆圈，…，按此规律拼下去，则第⑧个图案中圆圈的个数为（ ）
A．20B．23C．26D．29
7．（4分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（ ）
A．π（x+3）2﹣x2＝72B．
C．π（x+3）2﹣x2＝36D．
8．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（3，0），下列说法：①abc＞0；②4a+b＝0；③c＝3a；④若点，（4，y2）在抛物线上，则y1＜y2.其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD边中点，G为BC边上一点，连接AE，DG，相交于点F．若，则FE的长度是（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）在多项式a﹣b+c﹣d﹣e中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作”．例如，选择b，d进行“加括号操作”，得到a﹣（b+c﹣d）﹣e＝a﹣b﹣c+d﹣e．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作”，按此方法，进行第n（n≥1）轮“加括号操作”．以下说法：
①存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等；
②总存在第k（k≥1）轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为0；
③对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有4种不同结果．
其中正确的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应的横线
11．（4分）计算：||+30＝ ．
12．（4分）若五边形的内角中有一个角为60°，则其余四个内角之和为 ．
13．（4分）有四张完全一样正面分别写有汉字“我”“爱”“南”“开”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回．洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字恰好是“南”和“开”的概率是 ．
14．（4分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，D是BC上一点，连接CE．若，BD＝1，则DE的长度为 ．
15．（4分）如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AD⊥x轴于点D，点C为x轴负半轴上一点且满足OD＝2OC，连接AC交y轴于点B，连接AO，若S△BOA＝2，则k的值为 ．
16．（4分）若关于x的一元一次不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
17．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，点E是CD的中点，连接AE，将△ADE沿AE折叠得△AFE，连接BD，分别交AF于点M，交AE于点N、若AF⊥CD于点G，，则AN的长度为 ．
18．（4分）如果一个各数位上的数字均不为0的四位自然数（c≠d），满足2（a﹣b）＝c+d，则称这个四位数为“倍差等和数”．例如：四位数5171，∵7≠1，2×（5﹣1）＝7+1，∴5171是“倍差等和数”；又如：四位数6321，∵2×（6﹣3）＝2+1，∴6321不是“倍差等和数”．最大的“倍差等和数”为 ；将“倍差等和数”M＝的个位数字去掉后得到一个三位数，该三位数和M的个位数之差能被7整除，令G（M）＝c'﹣a﹣d'+b，若为整数，则满足条件的数M的最小值为 ．
三、解答题：（本大题2个小题，19题8分，20题10分，共18分）解答时每小题必须给出必要的演算过程
19．（8分）计算：
（1）（x+1）（x﹣1）+x（2﹣x）；
（2）．
20．如图，四边形ABCD是平行四边形，BD是对角线．
（1）用尺规完成以下基本作图：在边AD的下方作射线AE，使∠DAE＝∠1，射线AE分别交BD于点O，交BC的延长线于点E，连接DE．（只保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，证明：AB＝DE．（请完成下面的填空）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ①，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADB＝ ②，
∵∠1＝∠DAE，
∴ ③，∠ADB＝∠DAE，
∴OB＝OE， ④，
∵ ⑤，
∴△ABO≌△DEO（SAS），
∴AB＝DE．
四、解答题：（本大题6个小题，每小题10分，共60分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步
21．今年是“一带一路”倡议提出的10周年，为加深群众对该战略精神的认识，帮助大家了解沿线国家风土人情和合作发展成果，小南联合社区党员在甲、乙两小区开展了“一带一路”宣讲活动，并围绕宣讲内容进行了问卷竞答．从甲、乙两小区中各随机抽取20份问卷竞答成绩（成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
抽取的乙小区不含7分及8分的所有竞答成绩：6，6，6，6，6，6，9，10，10．
甲乙小区竞答成绩统计表
根据以上．信息，解答下列问题；
（1）请填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为甲、乙两小区的竞答成绩谁更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若甲小区收回200份竞答问卷，乙小区收回180份竞答问卷，估计这些问卷中两小区竞答成绩为优秀的总份数是多少？
22．小南从北关中学返回天津前，用300元购入青莲紫笔记本和铁艺胸针两种纪念品若干，其中青莲紫笔记本总费用比铁艺胸针总费用的2倍少60元．
（1）求购买青莲紫笔记本和铁艺胸针的总费用各为多少元？
（2）小南发现，两种纪念品的单价和为10元，青莲紫笔记本和铁艺胸针的数量相同，请帮助他算出纪念品的总个数．
23．如图1，在梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝6，BC＝2AD＝8，点E在边AB上且AE＝2．动点P，Q同时从点E出发，点P以每秒1个单位长度沿折线E→A→D方向运动到点D停止，点Q以每秒2个单位长度沿折线E→B→C方向运动到点C停止．设运动时间为t秒，△PQC的面积为y．
（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
（2）如图2，在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出△PQC的面积大于15时的t的取值范围 ．
24．校庆期间，小南同学从天津到北关中学瞻仰张伯苓校长的雕塑，聆听学校的办校故事．他从沙坪坝火车站出站后，导航给出两条线路，如图：①A﹣E﹣D﹣M；②A﹣B﹣C﹣M．经勘测，点E在点A的北偏西45°方向米处，点D在点E的正北方向200米处，点M在点D的正东方向250米处，点B在点E的正东方向，且在点A的北偏东30°方向，点C在点D的正东方向，且在点B的北偏西37°方向．
（1）求EB的长度；（结果保留根号）
（2）由于时间原因，小南决定选择一条较短路线到达张伯苓校长的雕塑前，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？（参考数据≈1.41，1.73，sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，C两点，与x轴交于点A．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线AC下方抛物线上的一动点，过点P作PD∥AC交y轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将该抛物线沿射线AC方向平移2个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，请写出所有满足条件的点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程．
26．在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一点．
（1）如图1，E是AB中点，，CE＝5，，求线段BD的长度；
（2）如图2，CA＝CB，点F在线段AD上，将线段CF绕点C顺时针旋转90°得到线段CG，连接BG，交AC于点H，当∠CAD＝2∠ABG时，试猜想AF与CH的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，点M在CF上，点N在CG上，FM＝CN，连接NM，若，直接写出的最小值．
2023-2024学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）8的倒数是（ ）
A．﹣8B．8C．D．﹣
【分析】利用倒数的定义判断即可．
解：8的倒数是，
故选：C．
【点评】此题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解本题的关键．
2．（4分）下列南开中学建筑简图中，是轴对称图形的是（ ）
A．东门
B．艺术馆
C．图书馆
D．传鉴亭
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
解：A、B、C中的图形不是轴对称图形，故A、B、C不符合题意；
D中的图形是轴对称图形，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
3．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为1：2，BC＝2，则EF的长度为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【分析】先利用位似的性质得到△ABC∽△DEF，相似比为1：2，然后根据相似三角形的性质求解．
解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为1：2，
∴△ABC∽△DEF，相似比为1：2，
∴BC：EF＝1：2，
即2：EF＝1：2，
解得EF＝4，
即EF的长度为4．
故选：B．
【点评】本题考查了位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点；位似比等于相似比．
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．x+x2＝x3B．（a+1）a＝a2+1
C．2x+3y＝5xyD．b•b2＝b3
【分析】利用合并同类项的法则，单项式乘多项式，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可．
解：A、x+x2不能计算，故A不符合题意；
B、（a+1）a＝a2+a，故B不符合题意；
C、2x+3y不能计算，故C不符合题意；
D、b•b2＝b3，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查合并同类项，单项式乘多项式，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．（4分）估计的值应在（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
【分析】先将原式进行计算，然后进行估算即可．
解：原式＝2﹣1＝﹣1，
∵9＜12＜16，
∴3＜＜4，
∴2＜﹣1＜3，
即原式的值在2和3之间，
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的运算及无理数的估算，将原式进行正确的计算是解题的关键．
6．（4分）如图，用圆圈按照一定的规律拼图案，其中第①个图案有5个圆圈，第②个图案有8个圆圈，第③个图案有11个圆圈，…，按此规律拼下去，则第⑧个图案中圆圈的个数为（ ）
A．20B．23C．26D．29
【分析】根据前3个图中的个数找到规律，再求解．
解：第①个图案中有2+1×3＝5个圆圈，
第②个图案中有2+2×3＝8个圆圈，
第③个图案中有2+3×3＝11个圆圈，
...，
则第⑧个图案中圆圈的个数为：2+8×3＝26，
故选：C．
【点评】本题考查了规律型﹣图形的变化类，找到变换规律是解题的关键．
7．（4分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（ ）
A．π（x+3）2﹣x2＝72B．
C．π（x+3）2﹣x2＝36D．
【分析】直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案．
解：设正方形的边长是x步，则列出的方程是：π（+3）2﹣x2＝72．
故选：B．
【点评】此题主要考查了垂径定理的应用、正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出圆的面积是解题关键．
8．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（3，0），下列说法：①abc＞0；②4a+b＝0；③c＝3a；④若点，（4，y2）在抛物线上，则y1＜y2.其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，c＞0，即可求解；
②抛物线的对称性为直线x＝2＝﹣，即可求解；
③由抛物线的对称性知，其和x轴的另外一个交点的坐标为：（3，0），即可求解；
④点离对称轴的距离小于（4，y2）离对称轴的距离，故y1＜y2．
解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，c＞0，故abc＜0，故①错误，不符合题意；
②抛物线的对称性为直线x＝2＝﹣，则b＝﹣4a，故②正确，符合题意；
③由抛物线的对称性知，其和x轴的另外一个交点的坐标为：（3，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），
当x＝0时，y＝3a＝c，故③正确，符合题意；
④点离对称轴的距离小于（4，y2）离对称轴的距离，故y1＜y2，符合题意；
故选：C．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了反比例函数的性质，二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下．
9．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD边中点，G为BC边上一点，连接AE，DG，相交于点F．若，则FE的长度是（ ）
A．B．C．D．
【分析】作FH∥BC交CD于H，则＝＝，根据E为CD边中点，得＝，再根据FH∥AD，得＝＝，根据勾股定理得AE＝2，所以FE＝．
解：如图，作FH∥BC交CD于H，
则＝＝，
∵E为CD边中点，
∴＝，
∵FH∥AD，
∴＝＝，
∵AE＝＝2，
∴FE＝．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，正方形的性质，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
10．（4分）在多项式a﹣b+c﹣d﹣e中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作”．例如，选择b，d进行“加括号操作”，得到a﹣（b+c﹣d）﹣e＝a﹣b﹣c+d﹣e．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作”，按此方法，进行第n（n≥1）轮“加括号操作”．以下说法：
①存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等；
②总存在第k（k≥1）轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为0；
③对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有4种不同结果．
其中正确的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据说法举出例子论证，以证明其正确与否．
解：①题目中说存在着一个式子第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等，
举出正例：选择c、e进行“加括号操作”得到a﹣b+（c﹣d﹣e）＝a﹣b+c﹣d﹣e，与原多项式相等，
故说法正确；
②总存在第k（k≥1）轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为0，
∵无论选择哪两个字母，a的正负是不发生改变的，
∴任何一轮“加括号操作”与原多项式相加是无法消去a的，
∴存在第k（k≥1）轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为0是错误的；
③对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有4种不同结果，
举出反例：选择b、e进行“加括号操作”，得到a﹣（b+c﹣d﹣e）＝a﹣b﹣c+d+e，
选择b、d进行“加括号操作”，得到a﹣（b+c﹣d）﹣e＝a﹣b﹣c+d﹣e，
选择b、c进行“加括号操作”，得到a﹣（b+c）﹣d﹣e＝a﹣b﹣c﹣d﹣e，
选择c、e进行“加括号操作”，得到a﹣b+（c﹣d﹣e）＝a﹣b+c﹣d﹣e，
选择d、e进行“加括号操作”，得到a﹣b+c﹣（d﹣e）＝a﹣b+c﹣d+e，
结果大于四种，故说法错误，
故选B．
【点评】本题考查了推理能力，解题的关键是能根据其说法举出相应的正例跟反例．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应的横线
11．（4分）计算：||+30＝ ．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
解：||+30
＝﹣1+1
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．（4分）若五边形的内角中有一个角为60°，则其余四个内角之和为 480° ．
【分析】根据已知条件，利用多边形的内角和公式列式计算即可．
解：（5﹣2）×180°﹣60°
＝540°﹣60°
＝480°，
故答案为：480°．
【点评】本题考查多边形的内角和，熟练掌握内角和公式是解题的关键．
13．（4分）有四张完全一样正面分别写有汉字“我”“爱”“南”“开”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回．洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字恰好是“南”和“开”的概率是 ．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上的汉字恰好是“南”和“开”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的汉字恰好是“南”和“开”的结果有2种，
∴抽取的两张卡片上的汉字恰好是“南”和“开”的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14．（4分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，D是BC上一点，连接CE．若，BD＝1，则DE的长度为 ．
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出AB＝AC，∠B＝∠ACB＝45°，AD＝AE，BC＝AB＝4，则∠BAD＝∠CAE，利用SAS证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得出∠ACE＝45°，CE＝1，则∠DCE＝90°，根据勾股定理求解即可．
解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝45°，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE＝1，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝2，
∴BC＝AB＝4，
∴CD＝BC﹣BD＝3，
∴DE＝＝＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，熟记全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质是解题的关键．
15．（4分）如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AD⊥x轴于点D，点C为x轴负半轴上一点且满足OD＝2OC，连接AC交y轴于点B，连接AO，若S△BOA＝2，则k的值为 12 ．
【分析】先求得AD＝3OB，即可求得S△AOD＝3S△AOB＝6，然后利用反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
解：∵AD⊥x轴于点D，
∴AD∥y轴，
∴△COB∽△CDA，
∴＝，
∴3OB＝AD，
∴S△AOD＝3S△AOB＝6，
∵S△AOD＝k，
∴k＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，得到关于k的方程是解题的关键．
16．（4分）若关于x的一元一次不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ﹣4 ．
【分析】不等式组整理后，根据至少有4个整数解，确定出a的范围，再由分式方程解为非负数，确定出满足题意整数a的值，求出之和即可．
解：不等式组整理得：，
解得：a﹣5＜x≤2，
∵不等式组至少有4个整数解，即﹣1，0，1，2，
∴a﹣5＜﹣1，
解得：a＜4，
分式方程去分母得：2y﹣a＝1﹣y+4，
解得：y＝，
∵分式方程解为非负数，
∴且≠1，
解得：a≥﹣5且a≠﹣2，
∴a的范围是﹣5≤a＜4且a≠﹣2，
则整数解为﹣5，1，之和为﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
17．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，点E是CD的中点，连接AE，将△ADE沿AE折叠得△AFE，连接BD，分别交AF于点M，交AE于点N、若AF⊥CD于点G，，则AN的长度为 3 ．
【分析】先根据折叠的性质以及菱形的性质，得出∠ANM的度数，然后连接AC，FN，构造与已知线段有关的平行线分线段成比例，最后连接FC和FD，通过等腰直角三角形的性质，得出OA和FN的数量关系，从而求出AN的长度．
解：连接AC交BD于O，连接CF，DF，NF，过C作NF垂线，交NF于点H，如图：
由折叠的性质可知：FN＝DN，DE＝EF，∠FAE＝∠DAE，∠DNE＝∠FNE，
由菱形的性质可知：OA＝OC，AC⊥BD，∠ADB＝∠CDB，
在△ADG中，∠AGD＝90°，∠ADG+∠AGD+∠GAD＝180°，
∴∠ADG+∠GAD＝90°，
∴∠NAD+∠ADN＝∠ADG+∠GAD＝45°，
∴∠ANM＝∠NAD+∠ADN＝45°，
∴△AON为等腰直角三角形，
∴AO＝ON，
又∵∠DNE＝∠ANM＝45°，
∴∠DNF＝90°，
∴FN⊥BD，
∴AC∥FN，
又∵OA＝OC＝ON，CH⊥FN，
∴四边形CHNM为正方形，
∴NH＝OC＝ON，
∵EF＝DE，E是CD中点，
∴CF⊥DF，
∵DN＝FN，FN⊥BD，
∴△DFN也是等腰直角三角形，
∴∠DFN＝45°，
∴∠CFH＝45°，
∴CH＝FH，
∴FN＝2ON＝2OA，
∵AO∥FN，
∴＝＝，
∴OM＝MN＝，
∴ON＝，
∴AN＝ON＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了翻折的性质、等腰直角三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，难度中档，绘制合理的辅助线是本题解题的关键．
18．（4分）如果一个各数位上的数字均不为0的四位自然数（c≠d），满足2（a﹣b）＝c+d，则称这个四位数为“倍差等和数”．例如：四位数5171，∵7≠1，2×（5﹣1）＝7+1，∴5171是“倍差等和数”；又如：四位数6321，∵2×（6﹣3）＝2+1，∴6321不是“倍差等和数”．最大的“倍差等和数”为 9731 ；将“倍差等和数”M＝的个位数字去掉后得到一个三位数，该三位数和M的个位数之差能被7整除，令G（M）＝c'﹣a﹣d'+b，若为整数，则满足条件的数M的最小值为 5331 ．
【分析】当“倍差等和数”为最大时，最高数位只能为9，分析讨论即可的结论；若为整数，根据已知条件分析讨论即可．
解：当“倍差等和数”为最大时，
则最高位上a＝9，
设 b＝8则 c+d＝2（ a﹣b ）＝2，
∵c≠d，
∴舍去，
此时设 b＝7．则 c+d＝4，
则c＝3，d＝1时最大，
此时四位数为9731；
（2）∵为整数，
∴G（M）＝1或2或3或4或6或12，
∵2（a﹣b）＝c+d，
∴G（M）＝c2﹣a﹣d2+b＝c2﹣d2﹣（a﹣b）＝（ c+d ）（c﹣d）﹣（a﹣b）＝（2c﹣2d﹣1）（a﹣b），
∵2c﹣2d﹣1为奇数，
∴G （M）是偶数，排除1、3两种可能，
①当G （M）＝2时，a﹣b＝1，2c﹣2d﹣1＝2，
∴c+d＝2（a﹣b）＝2，c﹣d＝1，c＝1，不合题意舍去，
②当G（M）＝4时，若a﹣b＝2，2c﹣2d﹣1＝1，
则 c+d＝4，c﹣d＝1，c＝（不合题意舍去），
③G（M）＝6时，若a﹣b＝1，2c﹣2d﹣1＝3，
则c+d＝2，c﹣d＝2，
：∴c＝2，d＝0，（不合题意舍去），
若a﹣b＝3，2c﹣2d﹣1＝1．
则c+d＝6，c﹣d＝1，
∴c＝，（不合题意舍去），
④当G（M）＝12时，
若a﹣b＝2，2c﹣2d﹣1＝3，
则c+d＝4，c﹣d＝2，c＝3，d＝1，
若a﹣b＝6，2c﹣2d﹣1＝1则c+d＝12，c﹣d＝1，c＝（不合题意舍去），
综上所述c、d 只有一种可能即 c＝3，d＝1，
此时 a﹣b＝2，
设a＝3，b＝1此时 abc﹣d＝313﹣1＝312，不能被7整除舍去，
设a＝4，b＝2此时abc﹣d＝423﹣1＝422不能被7整除舍去，
设a＝5，b＝3，此时abc﹣d＝533﹣1＝532，
∴532÷7＝76，能被7整除，
∴M的最小值为：5331，
故答案为：9731，5331．
【点评】本题考查整式的加减，根据题意找出数量关系，分析讨论确定a、b、c、d的范围是解决问题的关键．
三、解答题：（本大题2个小题，19题8分，20题10分，共18分）解答时每小题必须给出必要的演算过程
19．（8分）计算：
（1）（x+1）（x﹣1）+x（2﹣x）；
（2）．
【分析】（1）先展开，再合并同类项即可；
（2）先通分算括号内的，把除化为乘，再分解因式约分．
解：（1）原式＝x2﹣1+2x﹣x2
＝2x﹣1；
（2）原式＝•
＝•
＝．
【点评】本题考查整式，分式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则和分式的基本性质．
20．如图，四边形ABCD是平行四边形，BD是对角线．
（1）用尺规完成以下基本作图：在边AD的下方作射线AE，使∠DAE＝∠1，射线AE分别交BD于点O，交BC的延长线于点E，连接DE．（只保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，证明：AB＝DE．（请完成下面的填空）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC ①，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADB＝ ∠1 ②，
∵∠1＝∠DAE，
∴ ∠1＝∠AEB ③，∠ADB＝∠DAE，
∴OB＝OE， OA＝OD ④，
∵ ∠AOB＝∠DOE ⑤，
∴△ABO≌△DEO（SAS），
∴AB＝DE．
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作∠DAE＝∠1即可．
（2）根据平行四边形的性质、平行线的性质以及全等三角形的判定可得答案．
【解答】（1）解：如图，射线AE即为所求．
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADB＝∠1，
∵∠1＝∠DAE，
∴∠1＝∠AEB，∠ADB＝∠DAE，
∴OB＝OE，OA＝OD，
∵∠AOB＝∠DOE，
∴△ABO≌△DEO（SAS），
∴AB＝DE．
故答案为：①AD∥BC；②∠1；③∠1＝∠AEB；④OA＝OD；⑤∠AOB＝∠DOE．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
四、解答题：（本大题6个小题，每小题10分，共60分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步
21．今年是“一带一路”倡议提出的10周年，为加深群众对该战略精神的认识，帮助大家了解沿线国家风土人情和合作发展成果，小南联合社区党员在甲、乙两小区开展了“一带一路”宣讲活动，并围绕宣讲内容进行了问卷竞答．从甲、乙两小区中各随机抽取20份问卷竞答成绩（成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
抽取的乙小区不含7分及8分的所有竞答成绩：6，6，6，6，6，6，9，10，10．
甲乙小区竞答成绩统计表
根据以上．信息，解答下列问题；
（1）请填空：a＝ 8 ，b＝ 6 ，m＝ 15 ；
（2）根据以上数据，你认为甲、乙两小区的竞答成绩谁更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若甲小区收回200份竞答问卷，乙小区收回180份竞答问卷，估计这些问卷中两小区竞答成绩为优秀的总份数是多少？
【分析】（1）根据中位数、众数、优秀率的意义求解即可；
（2）从平均数、中位数、众数、优秀率的比较可得答案；
（3）分别计算甲小区和乙小区收回的竞答问卷乘以优秀率即可．
解：（1）甲小区竞答成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为＝8，因此中位数是8，即a＝8，
乙小区竞答成绩出现次数最多的是6分，因此众数是6，即b＝6，
乙小区的优秀率为×100%＝15%，即m＝15；
故答案为：8，6，15；
（2）我认为甲小区的竞答成绩更好，
理由如下：因为甲、乙两小区的竞答成绩中，甲小区的平均数、中位数、众数、优秀率都大于乙小区，因此我认为甲小区的竞答成绩更好；
（3）200×40%+180×15%＝107（份），
答：估计这些问卷中两小区竞答成绩为优秀的总份数是107份．
【点评】本题考查折线统计图、平均数、中位数、众数以及用样本估计总体，理解统计图中数量之间的关系是正确计算的前提，掌握中位数、众数的计算方法是得出正确答案的关键．
22．小南从北关中学返回天津前，用300元购入青莲紫笔记本和铁艺胸针两种纪念品若干，其中青莲紫笔记本总费用比铁艺胸针总费用的2倍少60元．
（1）求购买青莲紫笔记本和铁艺胸针的总费用各为多少元？
（2）小南发现，两种纪念品的单价和为10元，青莲紫笔记本和铁艺胸针的数量相同，请帮助他算出纪念品的总个数．
【分析】（1）设购买铁艺胸针的总费用是x元，则购买青莲紫笔记本的总费用是（2x﹣60）元，根据购买两种纪念品的总费用为300元，可列出关于x的一元一次方程，解之可求出购买铁艺胸针的总费用，再将其代入（2x﹣60）中，即可求出购买青莲紫笔记本的总费用；
（2）设购买y本青莲紫笔记本，则购买y个铁艺胸针，利用单价＝总价÷数量，结合两种纪念品的单价和为10元，可列出关于y的分式方程，解之经检验后，可得出y的值，再将其代入2y中，即可求出结论．
解：（1）设购买铁艺胸针的总费用是x元，则购买青莲紫笔记本的总费用是（2x﹣60）元，
根据题意得：2x﹣60+x＝300，
解得：x＝120，
∴2x﹣60＝2×120﹣60＝180．
答：购买青莲紫笔记本的总费用是180元，购买铁艺胸针的总费用是120元；
（2）设购买y本青莲紫笔记本，则购买y个铁艺胸针，
根据题意得：+＝10，
解得：y＝30，
经检验，y＝30是所列方程的解，且符合题意，
∴2y＝2×30＝60．
答：小南共购买两种纪念品60个．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
23．如图1，在梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝6，BC＝2AD＝8，点E在边AB上且AE＝2．动点P，Q同时从点E出发，点P以每秒1个单位长度沿折线E→A→D方向运动到点D停止，点Q以每秒2个单位长度沿折线E→B→C方向运动到点C停止．设运动时间为t秒，△PQC的面积为y．
（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
（2）如图2，在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出△PQC的面积大于15时的t的取值范围 ＜t＜ ．
【分析】（1）分两种情形：当0＜t≤2时，当2＜t≤6时，分别求解即可；
（2）利用描点法画出函数图象即可；
（3）利用解析式结合图象判断即可
解：（1）在梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝6，BC＝2AD＝8，点E在边AB上且AE＝2．
∴BE＝AB﹣AE＝4，AD＝4，
当0＜t≤2时，y＝•PQ•BC＝×（2+1）t×8＝12t，
当2＜t≤6时，如图，
y＝•CQ•AB＝×（4+8﹣2t）×6＝36﹣6t，
综上所述，y＝；
（2）函数图象如图所示，函数y的最大值是24（答案不唯一）．
（3）当0＜t≤2时，y＝12t＝15，解得y＝，
当2＜t≤6时，y＝36﹣6t＝15，解得y＝，
观察图象可得，＜t＜时，y＞15，
故答案为：＜t＜．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了函数的图象，梯形形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的射线思考问题，属于中考常考题型．
24．校庆期间，小南同学从天津到北关中学瞻仰张伯苓校长的雕塑，聆听学校的办校故事．他从沙坪坝火车站出站后，导航给出两条线路，如图：①A﹣E﹣D﹣M；②A﹣B﹣C﹣M．经勘测，点E在点A的北偏西45°方向米处，点D在点E的正北方向200米处，点M在点D的正东方向250米处，点B在点E的正东方向，且在点A的北偏东30°方向，点C在点D的正东方向，且在点B的北偏西37°方向．
（1）求EB的长度；（结果保留根号）
（2）由于时间原因，小南决定选择一条较短路线到达张伯苓校长的雕塑前，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？（参考数据≈1.41，1.73，sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【分析】（1）在等腰Rt△AEG中，AE＝400，则EG＝AG＝400，在Rt△ABG中，AG＝400，则BG＝AG•tan30°＝，即可求解；
（2）则Rt△BCH中，BH＝DE＝200，则CH＝BH•tan37°＝200×0.75＝150，则BC＝＝250，即可求解．
解：（1）过点C作CH⊥BH交于点H，作AG⊥BE于点G，
在等腰Rt△AEG中，AE＝400，则EG＝AG＝400，
在Rt△ABG中，AG＝400，则BG＝AG•tan30°＝，
则BE＝BG+EG＝+400；
（2）则AB＝＝，
则Rt△BCH中，BH＝DE＝200，
则CH＝BH•tan37°＝200×0.75＝150，则BC＝＝250，
MC＝DH﹣DM﹣CH＝400+﹣250﹣150＝；
线路①：AE+DE+DM＝400200+250≈1014（米）；
线路②：AB+BC+CM＝+250+≈942（米）；
故应该选择线路②．
【点评】本题为解直角三角形的应用，难度不大，但是计算量较大．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，C两点，与x轴交于点A．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线AC下方抛物线上的一动点，过点P作PD∥AC交y轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将该抛物线沿射线AC方向平移2个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，请写出所有满足条件的点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程．
【分析】（1）先求出B（2，﹣1），C（0，﹣3），再运用待定系数法求得抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣3；
（2）先求得A（3，0），C（0，﹣3），利用勾股定理可得AC＝6，设P（t，t2﹣t﹣3），过点P作PE⊥y轴于E，再证得△PDE∽△ACO，可求得DE＝t，PD＝t，即D（0，t2﹣t﹣3），进而可得CD+PD＝﹣t2+t+×t＝﹣t2+t，再运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）由将该抛物线沿射线AC方向平移2个单位长度，可得相当于向左平移了个单位，向下平移了1个单位，则新抛物线的对称轴为直线x＝﹣，设点M（﹣，m），点N（s，t），分三种情况：当AP是对角线，AM＝AN时，当AM是对角线，AN＝AP时，当AN是对角线，AM＝AP时，分别列方程组求解即可．
解：（1）∵直线经过，C两点，
∴b＝×2﹣3＝﹣1，
∴B（2，﹣1），C（0，﹣3），
∵抛物线经过B、C两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣3；
（2）在中，令y＝0，得x﹣3＝0，
解得：x＝3，
∴A（3，0），
∴OA＝3，
∵C（0，﹣3），
∴OC＝3，
在Rt△ACO中，AC＝＝＝6，
设P（t，t2﹣t﹣3），过点P作PE⊥y轴于E，如图，
则PE＝t，E（0，t2﹣t﹣3），
∵PD∥AC，
∴∠PDE＝∠ACO，
∵∠PED＝∠AOC＝90°，
∴△PDE∽△ACO，
∴＝＝，即＝＝，
∴DE＝t，PD＝t，
∴D（0，t2﹣t﹣3），
∴CD＝﹣3﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t，
∴CD+PD＝﹣t2+t+×t＝﹣t2+t，
∵﹣＜0，
∴当t＝﹣＝时，（CD+PD）有最大值，最大值为，
此时点P的坐标为（，﹣3）；
（3）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，
∴原抛物线的对称轴为直线x＝，顶点坐标为（，﹣），
∵将该抛物线沿射线AC方向平移2个单位长度，则相当于向左平移了个单位，向下平移了1个单位，
则新抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
设点M（﹣，m），点N（s，t），又A（3，0），P（，﹣3），
∴AP2＝（3﹣）2+（0+3）2＝，
当AP是对角线时，由中点坐标公式和AM＝AN得：
，
解得：，
即点N的坐标为（，﹣）；
当AM是对角线时，由中点坐标公式和AN＝AP得：
，
解得：或（不符合题意，舍去），
即点N的坐标为（，3）；
当AN是对角线时，由中点坐标公式和AM＝AP得：
，
此方程组无解；
综上所述，点N的坐标为（，﹣）或（，3）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
26．在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一点．
（1）如图1，E是AB中点，，CE＝5，，求线段BD的长度；
（2）如图2，CA＝CB，点F在线段AD上，将线段CF绕点C顺时针旋转90°得到线段CG，连接BG，交AC于点H，当∠CAD＝2∠ABG时，试猜想AF与CH的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，点M在CF上，点N在CG上，FM＝CN，连接NM，若，直接写出的最小值．
【分析】（1）过点E作EG⊥BC交BC于点G，由题意得到EG＝CG，利用勾股定理得到EG，CG，根据E是AB中点，∠ACB＝90°，得到CE＝BE＝AE＝5，推出△BCE是等腰三角形，即得到BC＝2BG＝2CG＝8，利用勾股定理求出AC，CD，即可求出BD的长；
（2）延长BC，在BC延长线上截取CB′＝CB，取BG的中点Q，连接CQ，B′G，证明△ACF≌△B′CG（SAS），得到∠B′＝∠CAD，AF＝B′G，设∠ABG＝α，则∠CAD＝∠B′＝2α，根据点C，Q分别为BB′，BG的中点推出CQ∥B′G，得到∠BCF＝∠B′＝2α，由三角形外角的性质得到∠CQG＝45°+α，∠BHC＝45°+α，推出△CQH是等腰三角形，故得到CQ＝CH＝B'G，即可得出结论；
（3）连接FG，取FG的中点P，连接CP，PM，PN，将GC绕点G逆时针旋转30°得到GC，过点P作PS⊥GC，交GC于点S，交GC于点T；根据△CFG是等腰直角三角形，得CP⊥FG，利用勾股定理求得FG＝2，则PG＝PF＝FG＝，由题意证明△PGN≌△PCM（SAS），得到∠GPN＝∠CPM，PN＝PM，进而得到∠MPN＝90°，△MPN是等腰直角三角形，推出MN＝2PN，MN+NG＝2PN+NG，此时当点N与点T重合时，NS＝NG，PN+NG有最小值，则MN+NG＝2PS有最小值，最后根据∠MNC＝∠SPG，利用锐角三角函数求解出MN，PN的长即可得出PS的长，即可得出结果．
解：（1）如图1，过点E作EG⊥BC交BC于点G，
∵tan∠BCE＝，EG⊥BC，
∴＝，即EG＝CG，
∵CE＝5，
∴CE2＝CG2+EG2，即CG2＝25，
∴CG＝4，EG＝3，
∵E是AB中点，∠ACB＝90°，
∴CE＝BE＝AE＝5，AB＝2BE＝10，
∴△BCE是等腰三角形，
∴BC＝2BG＝2CG＝8，
∵AC＝，
∴AC＝6，
∴AD＝3，
∴CD＝＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝5；
（2）AF＝2CH，理由如下：
如图2，延长BC，在BC延长线上截取CB′＝CB，取BG的中点Q，连接CQ，B′G，
∵线段CF绕点C顺时针旋转90°得到线段CG，
∴CF＝CG，∠FCG＝90°，
∵∠ACB'＝∠B'CG+∠ACG＝90°，∠FCG＝∠ACF+∠ACG＝90°，
∴∠B'CG＝∠ACF，
∵CB＝CA，CB'＝CB，
∴CA＝CB′，
∴△ACF≌△B'CG（SAS），
∴∠B'＝∠CAD，AF＝B'G，
设∠ABG＝α，则∠CAD＝∠B'＝2α，
∵点C，Q分别为BB'，BG的中点，
∴CQ∥B'G，
∴∠BCF＝∠B'＝2α，
∵∠CQG＝45°+α，∠BHC＝45°+α，
∴△CQH是等腰三角形，
∴CQ＝CH＝B'G，
∵AF＝B'G，
∴CH＝AF，即AF＝2CH；
（3）如图3，连接FG，取FG的中点P，连接CP，PM，PN，将GC绕点G逆时针旋转30°得到GC′，过点P作PS⊥GC，交GC′于点S，交GC于点T；
∵△CFG是等腰直角三角形，点P是FG的中点，
∴CP⊥FG，PC＝PG，∠PGC＝∠PCF＝45°，
∴FG＝＝＝2，
∴PG＝PF＝FG＝，
∵FM＝CN，则CF﹣CM＝CG﹣NG，
∴CM＝NG，
∵PC＝PG，∠PGC＝∠PCF＝45°，
∴△PGN≌△PCM（SAS），
∴∠GPN＝∠CPM，PN＝PM，
∵∠GPC＝90°，
∴∠CPM+∠CPS＝∠CPS+∠GPS＝90°，
∴∠MPN＝90°，
∴△MPN是等腰直角三角形，
∴MN＝2PN，MN+NG＝2PN+NG
此时当点N与点T重合时，NS＝NG，PN+NG有最小值，则MN+NG＝2PS有最小值，
∵∠PCN＝45°，∠PNM＝45°，
在△PCN 中，∠MNC+∠CPN＝180°﹣∠PCN﹣∠PNM＝90°，
∵∠GPS+∠CPN＝90°，
∴∠MNC＝∠SPG，
∵△GPS，△MNC都是直角三角形，
∴sin∠MNC＝sin∠SPG，
∴＝，
设NS＝x，则NG＝CM＝2x，GS＝x，CN＝2﹣2x，
∴＝，
∴MN＝，
∵MN＝2PN，
∴PN＝，
∴PS＝PN+NS＝+x，
∵tan∠MNC＝tan∠SPG，
∴＝，即＝，
解得：x＝，
∴PS＝+＝，
∴MN+NG＝2PS＝．
【点评】本题属于三角形综合问题，主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的性质，解直角三角形，正确构造辅助线，证明三角形全等和构造直角三角形是解题的关键．小区
平均数
中位数
众数
优秀率
甲
7.75
a
9
40%
乙
7.45
7.5
b
m
小区
平均数
中位数
众数
优秀率
甲
7.75
a
9
40%
乙
7.45
7.5
b
m