重庆市沙坪坝区南开中学2020-2021学年七年级下学期期中数学试卷（word解析版）

重庆市沙坪坝区南开中学2020-2021学年七年级下学期期中数学试卷（解析版）

一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A.B.C.D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卡中对应的表格内.

1．计算（x4）2的结果是（　　）

A．x6 B．﹣x6 C．x8 D．﹣x8

2．下列运算正确的是（　　）

A．2x3﹣x2＝x B．x10÷x5＝x2 C．（2a）2＝2a2 D．a3•a2＝a5

3．若A（m2﹣3n）＝m3﹣3mn，则代数式A的值为（　　）

A．m B．mn C．mn2 D．m2n

4．现有两根长度分别3cm和7cm的木棒，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（　　）

A．4cm B．7cm C．10cm D．13cm

5．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，BD是△ABC的一条角平分线．再添加一个条件仍不能证明△ADB≌△EDB的是（　　）

A．∠DAB＝∠DEB B．AB＝EB C．∠ADB＝∠EDB D．AD＝ED

6．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（　　）

A．12 B．16 C．20 D．16或20

7．已知3m＝12，3n＝4，则3m﹣n的值为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．8

8．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝48°，∠C＝68°，则∠DAE的度数是（　　）

A．10° B．12° C．14° D．16°

9．如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠4＝180°；④∠1＝∠3，其中能判断直线l1与l2平行的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

10．下列说法正确的是（　　）

A．周长相等的两个三角形全等 

B．如果三角形的三个内角满足∠A：∠B：∠C＝1：2：3．则这个三角形是直角三角形 

C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离 

D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等

11．如图，图①中有3个以MN为高的三角形，图②中有10个以MN为高的三角形．图③中有21个以MN为高的三角形，…，以此类推，则图⑥中以MN为高的三角形的个数为（　　）

A．55 B．78 C．96 D．105

12．如图，延长△ABC的边AC到点E，过点E作DE∥BC，BG平分∠ABC，EF平分∠AED交BG的反向延长找于点F．已知3∠A＝4∠F，则∠A的大小为（　　）

A．75° B．74° C．72° D．70°

二、填空（本大题共12个小题。每小题3分，共36分）请将正确答案直接填写在答题卡相应的横线上。

13．在依法合规，科学安全、知情同意、自愿接种的前提下，我国正式启动了新冠疫苗的使用．截至4月10日24时，全国累计报告接种新冠疫苗约为16500万剂次．接种总剂次数全球第二．将数据16500用科学记数法表示为 　   　．

14．如图，AB∥DE，BC∥EF，∠E＝130°，则∠B的度数为 　   　．

15．一个角的补角与这个角的3倍相等，则这个角的度数为 　   　．

16．已知x+y＝3，且xy＝﹣1，则x2+y2＝　   　．

17．若关于x的多项式（x2﹣x）（mx+2）的展开式中不含x2项．则m＝　   　．

18．已知关于x的多项式x2+mx+9是一个完全平方式，则常数m的值为 　   　．

19．如图，BD是△ABC的中线，点E为BD上一点，BE＝2ED，连接AE并延长，交BC于点F，若△ABC的面积是12cm2，则△AED的面积是 　   　cm2．

20．代数式x2﹣4x+6的最小值为 　   　．

21．已知x2+x＝2，则x3+2x2﹣x+1的值为 　   　．

22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°．将三角形沿EF翻折，使点C与边AB上的D点重合．若∠EFD＝2∠AED，则∠AED的度数为 　   　．

23．将一副三角板如图放置，其中∠C＝30°，∠D＝45°，点E在BC边上，M，N分别为AB，DF上的点，G为三角板外一点，连接GM，GN，若∠G＝50°，则∠GMB+∠BED+∠DNG＝　   　．

24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，点E为BC上一点，连接AE，∠BAE＝∠CAD，连接DE．下列结论中正确的是 　   　．（填序号）

①AC⊥DE；

②∠ADE＝∠ACB；

③若CD∥AB，则AE⊥AD；

④DE＝CE+2BE．

三、计算题，（本大题共5个小题，25题4分、26题4分、27题5分、28题5分、29题8分，共26分）解答时给出必要的演算过程。

25．（4分）（﹣1）2020×（）﹣3﹣（4﹣π）0．

26．（4分）（﹣a）3•（2b）2÷（ab）2．

27．（5分）（2x+3）（x﹣2）﹣x（3x﹣1）．

28．（5分）（a+b）2+2（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2．

29．（8分）化简求值：[（3x﹣2y）2﹣3（x﹣2y）（2y+x）﹣6x（x﹣y）]÷（﹣2y），其中x＝﹣2，y＝﹣1．

四、简答题（本大题共6个小题，共52分）解答时给出必要的演算过程。

30．（6分）如图，在四边形ABCD中．点E为AB延长线上一点，点F为CD延长线上一点，连接EF，交BC于点G，交AD于点H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C，求证：∠E＝∠F．

证明：∵∠1＝∠3（ 　   　），

∠1＝∠2（已知）．

∴∠2＝∠3（等量代换）．

∴AD∥BC（ 　   　）．

∴∠A+∠4＝180°（ 　   　）．

∵∠A＝∠C（已知），

∴∠C+∠4＝180°（等量代换）．

∴　   　∥　   　（同旁内角互补，两直线平行）．

∴∠E＝∠F（ 　   　）．

31．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°．AD为△ABC的角平分线．点E为BC上一点，过点E作射线EF，交AC于点G．

（1）若∠C＝30°，求∠BAD的度数；

（2）若∠FGC+∠BAD＝180°，求证：EF∥AD．

32．（8分）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1）．然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

（1）上述操作能验证的等式是 　   　；

（2）运用（1）中得出的等式．完成下列各题：

①若a﹣b＝4，a2﹣b2＝24，求a+b的值；

②计算：1012﹣2×992+972．

33．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．CE⊥AB于点E，AF平分∠CAB，交CE于点F，过点F作GD∥BC，交AC于点G．交AB于点D．

（1）求证：AC＝AD；

（2）若GC＝4，GD＝8，求△CFG的周长．

34．（10分）阅读以下两则材料，解决后续问题，

材料一：我们可以将任意两位数记为（其中a，b分别表示该数的十位数字和个位数字，且a≠0），显然＝10a+b．

材料二：若两位数和的十位数字之积是个位数字之积的k倍，或者个位数字之积是十位数字之积的k倍（k为整数），则称这样的两个两位数为一对“k值有缘数对“．例如：数字34与23，3×4＝2×2×3，所以，34与23是一对“2值有缘数对”；数字52与42，5×4＝5×2×2，所以，52与42是一对“5值有缘数对”．

请解决如下问题：

（1）请判断42和32是一对“　   　值有缘数对”；

（2）将两位数和各自的十位数字和个位数字交换位置后得到两个完全不同的新数和．若这两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等．和是否为“k值有缘数对”，若是，求出k的值；若不是，说明理由；

（3）若两个两位数与是一对“4值有缘数对”，请求出这个两位数．

35．（10分）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，过点A作AE⊥AB．连接BE，CE，M为平面内一动点．

（1）如图1，点M在BE上，连接CM，CM⊥BE，过点A作AF⊥BE于点F，D为AC中点，连接FD并延长，交CM于点H．

①若AE＝2，AB＝4，则S△AEC＝　   　；

②求证：MF＝MH．

（2）如图2，连接BM，EM，过点B作BM′⊥BM于点B，且满足BM′＝BM，连接AM′，MM′，过点B作BG⊥CE于点G，若S△ABC＝18，EM＝3，BG＝4，请求出线段AM′的取值范围．

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A.B.C.D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卡中对应的表格内.

1．计算（x4）2的结果是（　　）

A．x6 B．﹣x6 C．x8 D．﹣x8

【分析】根据幂的乘方求出答案即可．

【解答】解：（x4）2＝x8，

故选：C．

【点评】本题考查了幂的乘方，注意：（am）n＝amn．

2．下列运算正确的是（　　）

A．2x3﹣x2＝x B．x10÷x5＝x2 C．（2a）2＝2a2 D．a3•a2＝a5

【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可．

【解答】解：A、2x3与﹣x2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；

B、x10÷x5＝x5，故本选项不合题意；

C、（2a）2＝4a2，故本选项不合题意；

D、a3•a2＝a5，故本选项符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．

3．若A（m2﹣3n）＝m3﹣3mn，则代数式A的值为（　　）

A．m B．mn C．mn2 D．m2n

【分析】把m3﹣3mn化成m（m2﹣3n），即可得出A的值．

【解答】解：∵A（m2﹣3n）＝m3﹣3mn＝m（m2﹣3n），

∴A＝m．

故选：A．

【点评】此题考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．

4．现有两根长度分别3cm和7cm的木棒，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（　　）

A．4cm B．7cm C．10cm D．13cm

【分析】由三角形三边关系可得第三边a的范围为4＜a＜10，逐一判断即可．

【解答】解：设此三角形第三条边长为a，由三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知，

第三条边的范围应为4＜a＜10，

故A、C、D选项皆不在上述范围内，

故选：B．

【点评】本题考查了三角形的构成条件，角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，熟记此条件是解题的关键．

5．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，BD是△ABC的一条角平分线．再添加一个条件仍不能证明△ADB≌△EDB的是（　　）

A．∠DAB＝∠DEB B．AB＝EB C．∠ADB＝∠EDB D．AD＝ED

【分析】根据角平分线的定义得出∠ABD＝∠EBD，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．

【解答】解：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠EBD，

A．∠DAB＝∠∠DEB，∠ABD＝∠EBD，BD＝BD，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ADB≌△EDB，故本选项不符合题意；

B．AB＝EB，∠ABD＝∠EBD，BD＝BD，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ADB≌△EDB，故本选项不符合题意；

C．∠ADB＝∠∠EDB，BD＝BD，∠ABD＝∠EBD，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ADB≌△EDB，故本选项不符合题意；

D．AD＝ED，BD＝BD，∠ABD＝∠EBD，不符合全等三角形的判定定理AAS，不能推出△ADB≌△EDB，故本选项符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和角平分线的定义，注意：全等三角形的判定定理有，SAS，ASA，AAS，SSS．

6．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（　　）

A．12 B．16 C．20 D．16或20

【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．

【解答】解：①当4为腰时，4+4＝8，故此种情况不存在；

②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．

故此三角形的周长＝8+8+4＝20．

故选：C．

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．

7．已知3m＝12，3n＝4，则3m﹣n的值为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．8

【分析】逆向运用同底数幂的除法法则计算即可．

【解答】解：∵3m＝12，3n＝4，

∴3m﹣n＝3m÷3n＝12÷4＝3．

故选：A．

【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．

8．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝48°，∠C＝68°，则∠DAE的度数是（　　）

A．10° B．12° C．14° D．16°

【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠EAC，求出∠DAC，再求出答案即可．

【解答】解：∵∠B＝48°，∠C＝68°，

∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝64°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠EAC＝BAC＝32°，

∵AD是△ABC的BC边上的高，

∴∠ADC＝90°，

∵∠C＝68°，

∴∠DAC＝90°﹣∠C＝22°，

∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝32°﹣22°＝10°，

故选：A．

【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高定义等知识点，能求出∠EAC的度数是解此题的关键．

9．如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠4＝180°；④∠1＝∠3，其中能判断直线l1与l2平行的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据平行线的判定定理，对各小题进行逐一判断即可．

【解答】解：①由∠1＝∠2不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；

②∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故本条件符合题意；

③由∠2+∠4＝180°得到l1∥l2，故本条件合题意；

④∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意．

故选：C．

【点评】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．

10．下列说法正确的是（　　）

A．周长相等的两个三角形全等 

B．如果三角形的三个内角满足∠A：∠B：∠C＝1：2：3．则这个三角形是直角三角形 

C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离 

D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等

【分析】直接利用全等三角形的性质，直角三角形的判定，点到直线的距离的定义以及同位角的性质进行判定．

【解答】解：A、周长相等的两个三角形，不一定全等，说法错误，不符合题意；

B．三角形三个内角的比是1：2：3，则这个三角形的最大内角的度数是×180°＝90°，即这个三角形是直角三角形，说法正确，符合题意；

C．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到该直线的距离，说法错误，不合题意；

D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题．两直线不平行，没有这个性质．不符合题意；

故选：B．

【点评】本题考查的是直角三角形的判定和性质，掌握直角三角形的判定方法、三角形内角和定理是解题的关键．

11．如图，图①中有3个以MN为高的三角形，图②中有10个以MN为高的三角形．图③中有21个以MN为高的三角形，…，以此类推，则图⑥中以MN为高的三角形的个数为（　　）

A．55 B．78 C．96 D．105

【分析】根据前三个图形的三角形的个数总结规律，根据规律计算即可．

【解答】解：图①中以MN为高的三角形的个数是3＝2×12+1，

图②中以MN为高的三角形的个数是10＝2×22+2，

图③中以MN为高的三角形的个数是21＝2×32+3，

……

图⑥中以MN为高的三角形的个数是2×62+6＝78，

故选：B．

【点评】本题考查的是图形的变化规律、三角形的高的概念，正确找出图形的变化规律是解题的关键．

12．如图，延长△ABC的边AC到点E，过点E作DE∥BC，BG平分∠ABC，EF平分∠AED交BG的反向延长找于点F．已知3∠A＝4∠F，则∠A的大小为（　　）

A．75° B．74° C．72° D．70°

【分析】由三角形的内角和可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，再由DE∥BC，可得∠ACB＝∠AED，由角平分线可得∠ABG＝∠ABC，∠AEF＝∠AED＝∠ACB，由三角形的外角性质可得∠AGB＝∠F+∠AEF，最后在△ABG中，利用三角形的内角和即可求解．

【解答】解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，

∵DE∥BC，

∴∠ACB＝∠AED，

∵BG平分∠ABC，EF平分∠AED，

∴∠ABG＝∠ABC，∠AEF＝∠AED，

∴∠AEF＝∠AED＝∠ACB，

∵∠AGF是△EFG的一个外角，

∴∠AGB＝∠F+∠AEF

＝∠F+∠ACB，

在△ABG中，∠A+∠ABG+∠AGB＝180°，

∴∠A+∠ABC+∠F+∠ACB＝180°，

∠A+∠F+（∠ABC+∠ACB）＝180°，

∠A+∠F+（180°﹣∠A）＝180°，

整理得：∠A+∠F＝90°，

∵3∠A＝4∠F，

∴∠F＝∠A，

∴∠A+∠A＝90°，

解得：∠A＝72°．

故选：C．

【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系，得到相应的等式．

二、填空（本大题共12个小题。每小题3分，共36分）请将正确答案直接填写在答题卡相应的横线上。

13．在依法合规，科学安全、知情同意、自愿接种的前提下，我国正式启动了新冠疫苗的使用．截至4月10日24时，全国累计报告接种新冠疫苗约为16500万剂次．接种总剂次数全球第二．将数据16500用科学记数法表示为 　1.65×104　．

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．

【解答】解：16500＝1.65×104．

故答案为：1.65×104．

【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．

14．如图，AB∥DE，BC∥EF，∠E＝130°，则∠B的度数为 　50°　．

【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求得∠1＝50°，再两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠B．

【解答】解：∵BC∥EF，

∴∠1+∠E＝180°，

∵∠E＝130°，

∴∠1＝50°，

∵AB∥DE，

∴∠B＝∠1＝50°．

故答案为：50°．

【点评】本题考查了平行线的性质，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

15．一个角的补角与这个角的3倍相等，则这个角的度数为 　45°　．

【分析】利用余角和补角的意义：如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角．如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角，由此设这个角的度数是x，由此列方程解答即可．

【解答】解：设这个角的度数是x，

180﹣x＝3（90﹣x），

180﹣x＝270﹣3x，

2x＝90，

x＝45，

答：这个角是45°．

【点评】此题考查了补角的意义，注意利用题目中的数量关系解决问题．

16．已知x+y＝3，且xy＝﹣1，则x2+y2＝　11　．

【分析】根据完全平方公式展开，可得x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，再把x+y、xy的值代入计算即可．

【解答】解：∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，xy＝﹣1，

∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝32﹣2×（﹣1）＝9+2＝11，

故答案是11．

【点评】本题考查了完全平方公式，注意可以根据完全平方公式得出x2+y2与（x+y）2、2xy的等量关系．

17．若关于x的多项式（x2﹣x）（mx+2）的展开式中不含x2项．则m＝　2　．

【分析】把式子展开，找到所有x2项的所有系数，令其为0，可求出m的值．

【解答】解：（x2﹣x）（mx+2）

＝mx3+2x2﹣mx2﹣2x

＝mx3+（2﹣m）x2﹣2x

∵关于x的多项式（x2﹣x）（mx+2）的展开式中不含x2项，

∴2﹣m＝0，

∴m＝2．

故答案为：2．

【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．

18．已知关于x的多项式x2+mx+9是一个完全平方式，则常数m的值为 　±6　．

【分析】根据完全平方式的定义解决此题．

【解答】解：∵x2±6x+9是完全平方式，

∴m＝±6．

故答案为：±6．

【点评】本题主要考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解决本题的关键．

19．如图，BD是△ABC的中线，点E为BD上一点，BE＝2ED，连接AE并延长，交BC于点F，若△ABC的面积是12cm2，则△AED的面积是 　2　cm2．

【分析】由BE＝2ED，可求得S△ABE＝2S△ADE，再由△ABC的面积为12cm²，点BD为中线，从而有S△ABD＝6cm²，即可求解．

【解答】解：设点A到BD的距离为h，

∵BE＝2ED，

∴，

整理得：S△ABE＝2S△ADE，

∵BD是△ABC的中线，S△ABC＝12cm²，

∴S△ABD＝6cm²，

∵S△ABD＝S△ABE+S△ADE，

∴6＝2S△ADE+S△ADE，

解得：S△ADE＝2（cm²）

故答案为：2．

【点评】本题主要考查三角形的面积，三角形的中线，解答的关键是明确三角形的中线把原三角形分成面积相等的两个三角形．

20．代数式x2﹣4x+6的最小值为 　2　．

【分析】对代数式进行局部配方，根据平方的非负性求得代数式的最小值．

【解答】解：x2﹣4x+6

＝x2﹣4x+4+2

＝（x﹣2）2+2，

∵（x﹣2）2≥0，

∴（x﹣2）2+2≥2，

∴当x＝2时，原式有最小值，最小值为2．

故答案为：2．

【点评】本题考查了配方法的应用，对代数式进行局部配方是解题的关键．

21．已知x2+x＝2，则x3+2x2﹣x+1的值为 　3　．

【分析】由已知条件求得x2+x＝2，再将所求代数式转化为含有x2+x的形式再整体代入计算可求解．

【解答】解：∵x2+x＝2，

∴x3+2x2﹣x+1

＝x（x2+x）+x2﹣x+1

＝2x+x2﹣x+1

＝x2+x+1

＝2+1

＝3．

故答案为3．

【点评】本题主要考查代数式求值，利用整体代入法求解是解题的关键．

22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°．将三角形沿EF翻折，使点C与边AB上的D点重合．若∠EFD＝2∠AED，则∠AED的度数为 　40°　．

【分析】设∠EFD＝2∠AED＝2x，由折叠性质可知，∠EDF＝∠C＝90°﹣∠A＝90°﹣60°＝30°，∠DEF＝∠CEF，由三角形内角和定理可得∠DEF+∠CEF+∠AED＝180°，列出方程求出∠AED＝40°．

【解答】解：设∠EFD＝2∠AED＝2x．

由折叠性质可知，∠EDF＝∠C＝90°﹣∠A＝90°﹣60°＝30°，

∠DEF＝∠CEF，

∴∠DEF＝180°﹣∠EDF﹣∠EFD＝180°﹣30°﹣2x＝150°﹣2x，

∴∠CEF＝150°﹣2x，

∵∠DEF+∠CEF+∠AED＝180°，

∴150°﹣2x+150°﹣2x+x＝180°，

解得x＝40°，

即∠AED＝40°．

故答案为：40°．

【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，熟练利用三角形的内角和定理是解题的关键．

23．将一副三角板如图放置，其中∠C＝30°，∠D＝45°，点E在BC边上，M，N分别为AB，DF上的点，G为三角板外一点，连接GM，GN，若∠G＝50°，则∠GMB+∠BED+∠DNG＝　55°　．

【分析】延长FD交MG于P点，延长AB角FP于Q点，根据三角形外角的性质得出∠FPM＝∠DNG+∠G＝∠DNG+50°，∠BQD＝∠GMB+∠FPM＝GMB+∠DNG+50°，根据四边形内角和定理即可得出答案．

【解答】解：∵∠C＝30°，∠D＝45°，

∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣90°﹣30°＝60°，

延长FD交MG于P点，延长AB交FP于Q点，

∴∠QBE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°，

∴∠QDE＝＝180°﹣∠FDE＝180°﹣45°＝135°，

∵∠FPM＝∠DNG+∠G＝∠DNG+50°，

∴∠BQD＝∠GMB+∠FPM＝GMB+∠DNG+50°，

∠BQD+∠QDE+BED+∠QBE＝360°，

∴∠GMB+∠DNG+50°+135°+∠BED+120°＝360°

∴∠GMB+∠BED+∠DNG＝55°，

故答案为：55°．

【点评】本题考查了三角形内角和外角的知识，掌握四边形内角和是360°是解题关键．

24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，点E为BC上一点，连接AE，∠BAE＝∠CAD，连接DE．下列结论中正确的是 　②③④　．（填序号）

①AC⊥DE；

②∠ADE＝∠ACB；

③若CD∥AB，则AE⊥AD；

④DE＝CE+2BE．

【分析】因为∠BAE＝，且∠ABC＝90°，所以需要构造2倍的∠BAC，故延长EB至 G，使BE＝BG，从而得到∠GAE＝∠CAD，进一步证明∠GAC＝∠EDA，且AE＝AG，接着证明△GAC≌△EAD，则∠ADE＝∠ACG，DE＝CG，所以②是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设∠BAE＝x，则∠DAC＝2x，因为CD∥AB，所以∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，接着用x表示出∠EAC，再计算出∠DAE＝90°，故③是正确的，当∠CAE＝∠BAE时，可以推导出AC⊥DE，否则AC不垂直于DE，故①是错误的．

【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，

∵∠ABC＝90°，

∴AB⊥GE，

∴AB垂直平分GE，

∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，

∵∠BAE＝∠GAE，

∴∠GAE＝∠CAD，

∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，

∴∠GAC＝∠EAD，

在△GAC与△EAD中，

，

∴△GAC≌△EAD（SAS），

∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，

∴②是正确的；

∵AG＝AE，

∴∠G＝∠AEG＝∠AED，

∴AE平分∠BED，

当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，

当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，

∴①是不正确的；

设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x，

∴∠ACD＝∠ADC＝＝90°﹣x，

∵AB∥CD，

∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，

∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，

∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，

∴AE⊥AD，

∴③是正确的；

∵△GAC≌△EAD，

∴CG＝DE，

∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，

∴DE＝CE+2BE，

∴④是正确的，

故答案为：②③④．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，通过二倍角这一条件，构造两倍的∠BAE，是本题的突破口，也是常用方法，同时，要注意本题设参数导角，对学生分析数据的能力有一定要求．

三、计算题，（本大题共5个小题，25题4分、26题4分、27题5分、28题5分、29题8分，共26分）解答时给出必要的演算过程。

25．（4分）（﹣1）2020×（）﹣3﹣（4﹣π）0．

【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．

【解答】解：（﹣1）2020×（）﹣3﹣（4﹣π）0

＝1×8﹣1

＝8﹣1

＝7．

【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

26．（4分）（﹣a）3•（2b）2÷（ab）2．

【分析】先根据积的乘方和幂的乘方算乘方，再算乘除即可．

【解答】解：原式＝﹣a3•4b2÷（a2b2）

＝﹣4a3b2÷（a2b2）

＝﹣4a．

【点评】本题考查了整式的混合运算，能灵活运用整式的运算法则进行计算是解此题的关键．

27．（5分）（2x+3）（x﹣2）﹣x（3x﹣1）．

【分析】根据多项式乘多项式和单项式乘多项式的法则进行计算，然后合并同类项即可得出答案．

【解答】解：（2x+3）（x﹣2）﹣x（3x﹣1）

＝2x2﹣4x+3x﹣6﹣3x2+x

＝﹣x2﹣6．

【点评】此题考查了多项式乘多项式和单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．

28．（5分）（a+b）2+2（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2．

【分析】分别根据完全平方公式以及平方差公式展开后，再合并同类项即可．

【解答】解：原式＝a2+2ab+b2+2（a2﹣b2）+a2﹣2ab+b2

＝a2+2ab+b2+2a2﹣2b2+a2﹣2ab+b2

＝4a2．

【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键．

29．（8分）化简求值：[（3x﹣2y）2﹣3（x﹣2y）（2y+x）﹣6x（x﹣y）]÷（﹣2y），其中x＝﹣2，y＝﹣1．

【分析】根据整式的运算法则进行化简，然后将x与y的值代入原式即可求出答案．

【解答】解：原式＝（9x2﹣12xy+4y2﹣3x2+12y2﹣6x2+6xy）÷（﹣2y）

＝（16y2﹣6xy）÷（﹣2y）

＝﹣8y+3x，

当x＝﹣2，y＝﹣1时，

原式＝8﹣6

＝2．

【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．

四、简答题（本大题共6个小题，共52分）解答时给出必要的演算过程。

30．（6分）如图，在四边形ABCD中．点E为AB延长线上一点，点F为CD延长线上一点，连接EF，交BC于点G，交AD于点H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C，求证：∠E＝∠F．

证明：∵∠1＝∠3（ 　对顶角相等　），

∠1＝∠2（已知）．

∴∠2＝∠3（等量代换）．

∴AD∥BC（ 　同位角相等，两直线平行　）．

∴∠A+∠4＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　）．

∵∠A＝∠C（已知），

∴∠C+∠4＝180°（等量代换）．

∴　CF　∥　EA　（同旁内角互补，两直线平行）．

∴∠E＝∠F（ 　两直线平行，内错角相等　）．

【分析】应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案．

【解答】证明：∵∠1＝∠3（对顶角相等），

∠1＝∠2（已知）．

∴∠2＝∠3（等量代换）．

∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）．

∴∠A+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．

∵∠A＝∠C（已知），

∴∠C+∠4＝180°（等量代换）．

∴CF∥EA（同旁内角互补，两直线平行）．

∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）．

故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；CF，EA；两直线平行，内错角相等．

【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练应用平行线的判定与性质进行求解是解决本题的关键．

31．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°．AD为△ABC的角平分线．点E为BC上一点，过点E作射线EF，交AC于点G．

（1）若∠C＝30°，求∠BAD的度数；

（2）若∠FGC+∠BAD＝180°，求证：EF∥AD．

【分析】（1）由三角形的内角和定理可求得∠CAB＝60°，再由角平分线可得∠BAD的度数；

（2）由角平分线可得∠CAD＝∠BAD，由对顶角相等得∠FGC＝∠AGE，结合已知条件可得∠AGE+∠CAD＝180°，从而可得EF∥AD．

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，

∴∠CAB＝60°，

∵AD为△ABC的角平分线，

∴∠BAD＝∠CAB＝30°；

（2）证明：∵AD为△ABC的角平分线，

∴∠CAD＝∠BAD，

∵∠FGC+∠BAD＝180°，∠FGC＝∠AGE，

∴∠AGE+∠CAD＝180°，

∴EF∥AD．

【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的判定，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．

32．（8分）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1）．然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

（1）上述操作能验证的等式是 　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　；

（2）运用（1）中得出的等式．完成下列各题：

①若a﹣b＝4，a2﹣b2＝24，求a+b的值；

②计算：1012﹣2×992+972．

【分析】（1）分别表示出图1阴影部分的面积和图2阴影部分的面积，由二者相等可得等式；

（2）①将已知条件代入（1）中所得的等式，计算即可；②利用平方差公式将原式的各项进行变形，计算即可．

【解答】解：（1）图1阴影部分的面积为a2﹣b2，图2部分的面积为（a+b）（a﹣b），二者相等，从而能验证的等式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），

故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；

（2）①∵a﹣b＝4，a2﹣b2＝24，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），

∴24＝（a+b）×4，

∴a+b＝6；

②1012﹣2×992+972

＝1012﹣992+972﹣992

＝（101+99）（101﹣99）﹣（99+97）（99﹣97）

＝200×2﹣196×2

＝2×（200﹣196）

＝2×4

＝8．

【点评】此题考查了平方差公式，熟记平方差公式是解题的关键．

33．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．CE⊥AB于点E，AF平分∠CAB，交CE于点F，过点F作GD∥BC，交AC于点G．交AB于点D．

（1）求证：AC＝AD；

（2）若GC＝4，GD＝8，求△CFG的周长．

【分析】（1）根据角平分线得到∠CAF＝∠DAF，则可根据“AAS”判断△ACF≌△ADF，所以CF＝DF；

（2）由△ACF≌△ADF得到CF＝DF，再根据周长的定义解答即可．

【解答】证明：（1）∵AF平分∠CAB，

∴∠CAF＝∠DAF，

∵CE⊥AB，

∴∠CED＝90°，

∵GD∥BC，∠ACB＝90°，

∴∠GFC＝∠EFD，

∴∠ACE＝∠ADG

在△ACF和△ADF中，

∴△ACF≌△ADF （SAS），

∴AC＝AD；

（2）∵△ACF≌△ADF，

∴CF＝DF，

∴△CFG的周长为：CG+GF+CF＝CG+FD+GF＝CG+DG＝4+8＝12

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等．也考查了周长的定义．

34．（10分）阅读以下两则材料，解决后续问题，

材料一：我们可以将任意两位数记为（其中a，b分别表示该数的十位数字和个位数字，且a≠0），显然＝10a+b．

材料二：若两位数和的十位数字之积是个位数字之积的k倍，或者个位数字之积是十位数字之积的k倍（k为整数），则称这样的两个两位数为一对“k值有缘数对“．例如：数字34与23，3×4＝2×2×3，所以，34与23是一对“2值有缘数对”；数字52与42，5×4＝5×2×2，所以，52与42是一对“5值有缘数对”．

请解决如下问题：

（1）请判断42和32是一对“　3　值有缘数对”；

（2）将两位数和各自的十位数字和个位数字交换位置后得到两个完全不同的新数和．若这两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等．和是否为“k值有缘数对”，若是，求出k的值；若不是，说明理由；

（3）若两个两位数与是一对“4值有缘数对”，请求出这个两位数．

【分析】（1）利用“k值有缘数对”的定义，计算后判断即可；

（2）利用已知条件得出a，b，c，d的关系式，结合“k值有缘数对”的定义可以得到k的值；

（3）由题意可得x为正整数，3≤x≤9，y为整数，0≤y≤5，由已知可得x，y的关系式，依题意求出符合条件的整数解，结论可求．

【解答】解：（1）∵4×3＝3×2×2，

∴42和32是一对“3值有缘数对”．

故答案为：3．

（2）和是“k值有缘数对”，k＝1．理由：

∵两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等，

∴（10a+b）（10c+d）＝（10b+a）（10d+c）．

∴100ac+10ad+10bc+bd＝100bd+10bc+10ad+ca．

∴100ac+bd＝100bd+ac．

∴99ac＝99bd．

∴ac＝bd．

即ac＝1×bd．

∴和是“k值有缘数对”，k＝1．

（3）∵和表示两位数，

∴x为正整数，3≤x≤9，y为整数，0≤y≤5．

∵和是一对“4值有缘数对”，

∴x（x﹣2）＝4（y+4）y或y（y+4）＝4x（x﹣2）．

由x（x﹣2）＝4（y+4）y可得：

（x﹣1）2﹣4（y+2）2＝﹣15．

∴x＝8，y＝2．

∴＝82．

由y（y+4）＝4x（x﹣2）得：

（y+2）2＝4（x﹣1）2．

∴x＝4，y＝4或x＝3，y＝2．

∴＝44或＝32．

综上，这个两位数为82或44．

【点评】本题主要考查了因式分解的应用，列代数式，有理数的混合运算．本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义和公式并熟练应用是解题的关键．

35．（10分）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，过点A作AE⊥AB．连接BE，CE，M为平面内一动点．

（1）如图1，点M在BE上，连接CM，CM⊥BE，过点A作AF⊥BE于点F，D为AC中点，连接FD并延长，交CM于点H．

①若AE＝2，AB＝4，则S△AEC＝　4　；

②求证：MF＝MH．

（2）如图2，连接BM，EM，过点B作BM′⊥BM于点B，且满足BM′＝BM，连接AM′，MM′，过点B作BG⊥CE于点G，若S△ABC＝18，EM＝3，BG＝4，请求出线段AM′的取值范围．

【分析】（1）①由平行线的性质可得S△AEC＝S△ABE，即可求解；

②由“AAS”可证△ABF≌△BCM，可得AF＝BM，BF＝CM，由“ASA”可证△ADF≌△CDH，可得AF＝HC，DF＝DH，可得结论；

（2）由“SAS”可证△CBM≌△ABM'，可得CM＝AM'，由三角形的三边关系可求解．

【解答】解：（1）①∵AE⊥AB，∠ABC＝90°，

∴AE∥BC，

∴S△AEC＝S△ABE＝×AB×AE＝4，

故答案为4；

②∵∠ABC＝90°＝∠AFB＝∠CMB，

∴∠ABF+∠CBM＝90°＝∠∠ABF+∠BAF，

∴∠BAF＝∠CBM，

又∵∠AFB＝∠BMC＝90°，AB＝BC，

∴△ABF≌△BCM（AAS），

∴AF＝BM，BF＝CM，

∵AF⊥BE，CM⊥BE，

∴AF∥CM，

∴∠FAD＝∠HCD，

∵D为AC中点，

∴AD＝CD，

又∵∠ADF＝∠CDH，

∴△ADF≌△CDH（ASA），

∴AF＝HC，DF＝DH，

∴BF﹣BM＝CM﹣AF＝CM﹣CH，

∴MF＝MH；

（2）如图2，连接CM，

∵BM′⊥BM，

∴∠MBM'＝∠ABC＝90°，

∴∠ABM'＝∠CBM，

又∵AB＝BC，BM＝BM'，

∴△CBM≌△ABM'（SAS），

∴AM'＝CM，

∵AE∥BC，

∴S△ABC＝S△BEC＝18，

∴EC×BG＝18，

∴EC＝＝9，

在△EMC中，EC﹣EM＜CM＜EM+EC，

∴6＜AM'＜12．

∴当点E，点M，点C共线时，CM最大值为12，最小值为6，

∴6≤AM'≤12．

【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．