重庆市第一中学校2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试卷(word版含答案)

这是一份重庆市第一中学校2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试卷(word版含答案)，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆市第一中学校 2021—2022学年七年级下学期期末考试
数学试卷
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框内涂黑.
1．（3分）下列各数中是无理数的是（　　）
A．0 B．2.0 C． D．﹣
2．（3分）下列体现中国传统文化的图片中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）x取下列各数时，使得有意义的是（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
4．（3分）如图，若a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为（　　）

A．60° B．100° C．120° D．160°
5．（3分）如图，自由转动正八边形转盘，指针停在阴影部分的概率为（　　）

A． B． C． D．
6．（3分）下列事件中，为必然事件的是（　　）
A．三角形任意两边之和大于第三边
B．任意选择一个实数，它的绝对值大于0
C．在有理数中选出一个无理数
D．投掷一枚骰子，出现的点数为奇数
7．（3分）小李从家出发，匀速步行去超市购物，买好东西后，匀速骑共享单车原路回家，则小李离家的距离s（米）与他从家出发的时间t（分钟）之间的关系大致可以用图象表示为（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）估计3﹣1应在哪两个连续自然数之间（　　）
A．0和1 B．1和2 C．2和3 D．3和4
9．（3分）如图，把黑色小圆圈按照如图所示的规律排列，其中第①个图形中有3个黑色小圆圈，第②个图形中有8个黑色小圆圈，第③个图形中有15个黑色小圆圈，…，按照此规律，第⑦个图形中黑色小圆圈的个数为（　　）


A．63 B．64 C．80 D．81
10．（3分）如图，ABC是边长为2的等边三角形，AD是BC边上的中线，有一动点P由点A出发匀速向点B运动，到点B后停止运动，在运动过程中，当△APD为等腰三角形时，AP的长为（　　）

A．或 B．1或 C．或 D．或1
11．（3分）如图，在△ABC中，AB、AC的中垂线DM、EN分别交BC于点M、N，若∠BAC＝79°，则∠MAN的度数为（　　）

A．20° B．21° C．22° D．23°
12．（3分）记a1＝a2﹣2a+1，a2＝a2﹣2a+1，a3＝a2﹣4a+4，a4＝a2，a5＝a2﹣6a+9，a6＝a2，…，按照此规律排列，对于任意正整数n，记bn＝an+1﹣an，得到以下结论：①当a＝1时，b3＝0；②a9＝a2﹣10a+25；②an+bn＝a2；④bn与bn+1互为相反数：⑤b2n﹣1＝2na﹣n2．以上结论正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（本大题10个小题，每小题3分，共30分）请把下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上.
13．（3分）11的平方根是　 　．
14．（3分）目前，中国生产的新冠疫苗已在10个国家注册上市，130多个国家明确提出使用需求，整体年产能超过710000万剂．则710000用科学记数法可表示为 　 　．
15．（3分）在一个不透明的袋子中有红球和白球共20个，它们除颜色外都相同．每次从袋中随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复实验，发现摸出白球的频率稳定在0.3附近．则估计袋子中的白球有 　 　个．
16．（3分）如图，数轴上点C表示的数是0，点B表示的数是3，AB⊥BC于点B，且AB＝2，以点C为圆心，以CA的长为半径作弧，交数轴于点D，则点D表示的数为 　 　．

17．（3分）已知m＝﹣1，则m2+2m+2的值为 　 　．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，若BC＝10，AD＝3，则△BCD的面积为 　 　．

19．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝110°，延长BC至点D使CD＝AB，过点C作CE∥AB且使CE＝BC，连接DE并延长DE交AC于点F，交AB于点H．若∠D＝20°，则∠CFE的度数为 　 　度．

20．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是边AC上一点，将△BCD沿BD翻折，使点C恰好落在AB边上的点E处，线段BD上有一动点P，则△PAE周长的最小值为 　 　．

21．（3分）小明和爸爸相约在一条笔直的跑道上散步，他们同时从A地出发以各自的速度匀速散步到B地并返回A地，小明到达B地后休息了10分钟，立即以另一速度返回，在途中与爸爸相遇，爸爸的速度始终是60米/分钟，且中途未休息，两人之间的距离y（米）与小明出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则小明回到A地时两人之间的距离为 　 　米．

22．（3分）如图，△ABC和△BDE均为等边三角形，AC与BE交于点F，点C、A、D在同一直线上，延长CB至点H，连接DH，使DH＝DB，分别连接HF、CE，若∠DHF＝60°，则下列结论：①AD＝CE；②∠HFD＝80°；③∠HDF＝∠FBC；④DH＝HF+BF；⑤若＝，则＝．正确的有 　 　．（请填写序号）

三、解答题：（本大题8个小题，其中23题16分，24题8分，其余各10分，共84分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题须给出必要的演算过程或推理步骤.
23．（16分）计算：
（1）（π﹣3）0﹣+（﹣）2；
（2）﹣+；
（3）×÷（﹣）；
（4）（2÷﹣×．
24．（8分）作图题（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
如图，在△ABC中，M为BC边上一点．求作：∠ABC的角平分线交AC于点N，在射线BN上找一点P，使得∠PMC＝∠C．

25．（10分）先化简，再求值：
[x（5y﹣x）+（x+y）（2x﹣3y）﹣（x+y）（x﹣y）]÷2y，其中x2+6x+9+＝0．
26．（10分）2022年5月30日，重庆一中某校区初2024届举行了“永葆童心，拥抱青春”六一庆典活动．其中“欢乐游园会”得到一致好评，为了了解学生最喜欢的游园项目类型（每名学生限选一项），学校随机抽取了该校区七年级部分学生进行调查，并用得到的数据绘制了如图两幅不完整的统计图（如图1，图2），请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）计算这次调查中，学校共调查了 　 　人：扇形统计图中，“百发百中”项目所在扇形的圆心角是 　 　度；
（2）补全条形统计图；
（3）若从被调查学生中随机抽取一人，则抽到最喜欢“套圈”项目的学生的概率是 　 　；
（4）若该校区初一年级有600人，请你估计最喜欢“夹弹珠”项目的学生有多少人？

27．（10分）如图，在ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：∠ABF＝∠ACF；
（2）若∠BAC＝48°，求∠CFE的度数．

28．（10分）小李与小张参加了学校举办的“运动与健康”5000米跑步活动，两人同时从起点出发，以各自的速度匀速跑步，一段时间后，小张感觉身体不适，休息了10分钟，身体恢复后以原来速度的1.2倍匀速跑向终点，小李到达终点后立即以原速度返回去接小张，相遇后两人以小张变速后的速度跑向终点，他们距离起点的距离y（米）与出发时间x（秒）之间的关系如图所示．根据图中信息解答下列问题：
（1）a＝　 　；小张加速前的速度为 　 　米/秒；b＝　 　；
（2）出发多少秒时，两人第一次相遇？
（3）出发多少秒时，两人之间的距离为280米？

29．（10分）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝BC，点F是线段CB上一点，连接AF．
（1）如图1，若AF⊥CB，AB＝10，BF＝8，求线段AC的长；
（2）如图2，E为线段AB上一点，连接CE，使∠ACE＝∠B，且EA＝BF，D为AF的中点，连接CD，求证：∠ACD＝∠BCE．


30．（10分）在ABC中，D为线段AC上一点，DE⊥AB于点E，连接BD．
（1）如图1，若点E是AB的中点，∠ADB＝120°，G是线段DE上一点，连接GA、GC、GB，且GC＝GB，则∠DCG+∠EBG＝　 　；
（2）如图2，连接CE交BD于点F，若DA＝DB，且∠BFE＝∠BCD，求证：DA＝DC+2DF；
（3）如图3，连接CE交BD于点F，若CE＝BD，且CE⊥BD，∠CBD+2∠ABD＝90°，请直接写出的值．



重庆市第一中学校 2021—2022学年七年级下学期期末考试
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框内涂黑.
1．（3分）下列各数中是无理数的是（　　）
A．0 B．2.0 C． D．﹣
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：A、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、2.0是循环小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、是无理数，故本选项符合题意；
D、﹣是分数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.2020020002…（相邻两个2中间依次多1个0），等有这样规律的数．
2．（3分）下列体现中国传统文化的图片中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
3．（3分）x取下列各数时，使得有意义的是（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x﹣5≥0，
解得x≥5，
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
4．（3分）如图，若a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为（　　）

A．60° B．100° C．120° D．160°
【分析】利用平行线的性质，计算得结论．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1+∠2＝180°．
∴∠2＝120．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键．
5．（3分）如图，自由转动正八边形转盘，指针停在阴影部分的概率为（　　）

A． B． C． D．
【分析】确定阴影部分的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率．
【解答】解：如图：转盘被均匀分成8部分，阴影部分占3份，
所以转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是；
故选：C．
【点评】本题考查了几何概率．用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
6．（3分）下列事件中，为必然事件的是（　　）
A．三角形任意两边之和大于第三边
B．任意选择一个实数，它的绝对值大于0
C．在有理数中选出一个无理数
D．投掷一枚骰子，出现的点数为奇数
【分析】根据随机事件，无理数，实数的性质，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、三角形任意两边之和大于第三边，是必然事件，故A符合题意；
B、任意选择一个实数，它的绝对值大于0，是随机事件，故B不符合题意；
C、在有理数中选出一个无理数，是不可能事件，故C不符合题意；
D、投掷一枚骰子，出现的点数为奇数，是随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了随机事件，无理数，实数的性质，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
7．（3分）小李从家出发，匀速步行去超市购物，买好东西后，匀速骑共享单车原路回家，则小李离家的距离s（米）与他从家出发的时间t（分钟）之间的关系大致可以用图象表示为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，把小明的运动过程分为三个阶段，分别分析出s、t之间的变化关系，从而得解．
【解答】解：小明的整个行程共分三个阶段：
①匀速步行从家去超市购物，s随时间t的增大而增大；
②购物逗留期间，s不变；
③骑共享单车返回途中，速度比徒步速度大，比徒步时的直线更陡，离家距离为0；
纵观各选项，只有C选项符合．
故选：C．
【点评】本题主要考查对函数图象的分析能力，首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象是解题的关键．
8．（3分）估计3﹣1应在哪两个连续自然数之间（　　）
A．0和1 B．1和2 C．2和3 D．3和4
【分析】求出3＝，估算出的范围，再求出﹣1的范围，再得出选项即可．
【解答】解：3＝＝，
∵2＜3，
∴减1得：1＜﹣1＜2，
即1＜2，
所以3﹣1在1和2之间，
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小和二次根式的性质，能估算出的范围是解此题的关键．
9．（3分）如图，把黑色小圆圈按照如图所示的规律排列，其中第①个图形中有3个黑色小圆圈，第②个图形中有8个黑色小圆圈，第③个图形中有15个黑色小圆圈，…，按照此规律，第⑦个图形中黑色小圆圈的个数为（　　）


A．63 B．64 C．80 D．81
【分析】仔细观察图形变化，找到图形变化规律，利用规律求解．
【解答】解：第①个图形中一共有1+2＝3个小圆圈，
第②个图形中一共有2+3×2＝8个小圆圈，
第③个图形中一共有3+4×3＝15个小圆圈，
…，
按此规律排列下去，第⑦个图形中小圆圈的个数是7+8×7＝63，
故选：A．
【点评】考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到进一步解题的规律，难度不大．
10．（3分）如图，ABC是边长为2的等边三角形，AD是BC边上的中线，有一动点P由点A出发匀速向点B运动，到点B后停止运动，在运动过程中，当△APD为等腰三角形时，AP的长为（　　）

A．或 B．1或 C．或 D．或1
【分析】可分，两三情况：当AP＝PD时，当AP＝AD时；当AD＝PD时，结合垂直平分线的性质及等边三角形的判定与性质计算求解即可．
【解答】解：当AP＝PD时，P点在AD的垂直平分线上，
∵△ABC为等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠B＝60°，∠BAD＝30°，BD＝BC＝1，
∵AP＝DP，
∴∠ADP＝∠BAD＝30°，
∴∠BPD＝30°+30°＝60°，
∴△BPD为等边三角形，
∴BP＝DP，
∴AP＝BP＝AB＝1；
当AP＝AD时，
∵∠ADB＝90°，AB＝2，
∴AD＝，
∴AP＝．
当AD＝PD时，不合题意，
综上，AP的值为1或．
故选：B．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，分类讨论是解题的关键．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB、AC的中垂线DM、EN分别交BC于点M、N，若∠BAC＝79°，则∠MAN的度数为（　　）

A．20° B．21° C．22° D．23°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到MA＝MB，根据等腰三角形的性质得到∠MAB＝∠B，同理得到∠NAC＝∠C，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵∠BAC＝79°，
∴∠B+∠C＝180°﹣79°＝101°，
∵DM是AB的垂直平分线，
∴MA＝MB，
∴∠MAB＝∠B，
同理可得：NA＝NC，
∴∠NAC＝∠C，
∴∠MAB+∠NAC＝101°，
∴∠MAN＝∠MAB+∠NAC﹣∠BAC＝101°﹣79°＝22°，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
12．（3分）记a1＝a2﹣2a+1，a2＝a2﹣2a+1，a3＝a2﹣4a+4，a4＝a2，a5＝a2﹣6a+9，a6＝a2，…，按照此规律排列，对于任意正整数n，记bn＝an+1﹣an，得到以下结论：①当a＝1时，b3＝0；②a9＝a2﹣10a+25；②an+bn＝a2；④bn与bn+1互为相反数：⑤b2n﹣1＝2na﹣n2．以上结论正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】观察给出的式子，找出规律，再利用完全平方公式，互为相反数等知识解答即可．
【解答】解：a1＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，a2＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，a3＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，a4＝a2，a5＝a2﹣6a+9＝（a﹣3）2，a6＝a2，…，
∴当n为奇数时，即当＝1，3，5，7，9，…，为：，
当n为偶数，且n≠2时为：a2，
由bn＝an+1﹣an，
①当a＝1时，b3＝，正确；
②当a＝9时，，
∴a9＝（a﹣5）2＝a2﹣10a+25，正确；
③∵bn＝an+1﹣an，
∴an+bn＝an+1，
当n+1为偶数时，正确；为奇数时，不正确；
④bn+bn+1＝an+1﹣an+an+2﹣an+1＝an+2﹣an，
当n为偶数时，a2﹣a2＝0，正确；当n为奇数时，不正确；
⑤b2n﹣1＝a2n﹣a2n﹣1
＝＝a2﹣（a﹣n）2＝（a+a﹣n）（a﹣a+n）＝（2a﹣n）n＝2na﹣n2，正确，
以上结论正确的个数为3个，
故选：C．
【点评】本题考查了数字的变化规律，根据题目所给出的式子找到n为奇数时，即当＝1，3，5，7，9，…，为：，当n为偶数，且n≠2时为：a2，是解题的关键．
二、填空题：（本大题10个小题，每小题3分，共30分）请把下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上.
13．（3分）11的平方根是　　．
【分析】根据正数有两个平方根可得11的平方根是±．
【解答】解：11的平方根是±．
故答案为：±．
【点评】此题主要考查了平方根，关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．
14．（3分）目前，中国生产的新冠疫苗已在10个国家注册上市，130多个国家明确提出使用需求，整体年产能超过710000万剂．则710000用科学记数法可表示为 　7.1×105　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：710000＝7.1×105．
故答案为：7.1×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
15．（3分）在一个不透明的袋子中有红球和白球共20个，它们除颜色外都相同．每次从袋中随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复实验，发现摸出白球的频率稳定在0.3附近．则估计袋子中的白球有 　6　个．
【分析】根据口袋中两种颜色的球20个，利用白球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．
【解答】解：∵通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.3附近，
∴从袋子中任意摸出1个球，是白球的概率约为0.3，
设袋子中的白球有x个，
根据题意，得：＝0.3，
解得x＝6，
∴估计袋子中的白球有6个，
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出白球在总数中所占比例与试验比例应该相等是解决问题的关键．
16．（3分）如图，数轴上点C表示的数是0，点B表示的数是3，AB⊥BC于点B，且AB＝2，以点C为圆心，以CA的长为半径作弧，交数轴于点D，则点D表示的数为 　　．

【分析】由题得出三角形ABC是直角三角形且两条直角边的长度，根据勾股定理求出AC的长，由题中作图可知CD＝CA，最后由点C的坐标求出点D的坐标．
【解答】解：由题知，BC＝3，AB＝2，且∠ABC＝90°，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，CA＝＝＝，
∵以点C为圆心，以CA的长为半径作弧，交数轴于点D，
∴CD＝CA＝，
∵点C表示的数是0，
∴由图知，点D表示的数为．
故答案为：．
【点评】本题考查了实数与数轴，通过构造直角三角形在数轴上作出点D，即把无理数在数轴上表示出来，其中根据勾股定理得出CD的长度是解答本题的关键．
17．（3分）已知m＝﹣1，则m2+2m+2的值为 　4　．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：∵m＝﹣1，
∴m+1＝，
∴（m+1）2＝3，
∴m2+2m+1＝3，
∴m2+2m+2＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，若BC＝10，AD＝3，则△BCD的面积为 　15　．

【分析】作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质可得DE＝3，再利用三角形的面积解答即可．
【解答】解：作DE⊥BC于E，
∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC，
∴DE＝AD＝3，
∴S△BCD＝＝15．
故答案为：15．

【点评】本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
19．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝110°，延长BC至点D使CD＝AB，过点C作CE∥AB且使CE＝BC，连接DE并延长DE交AC于点F，交AB于点H．若∠D＝20°，则∠CFE的度数为 　30　度．

【分析】证明△ABC≌△DCE，可得∠A＝∠D＝20°，然后利用三角形内角和可得∠DEC＝∠ACB＝50°，进而可以解决问题．
【解答】解：∵CE∥AB，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS），
∴∠A＝∠D＝20°，
∵∠B＝110°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B+∠A＝50°，
∴∠DEC＝∠ACB＝50°，
∵CE∥AB，
∴∠BHF＝∠DEC＝50°，
∴∠CFE＝∠AFH＝∠BHF﹣∠A＝50°﹣20°＝30°．
故答案为：30．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABC≌△DCE．
20．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是边AC上一点，将△BCD沿BD翻折，使点C恰好落在AB边上的点E处，线段BD上有一动点P，则△PAE周长的最小值为 　4　．

【分析】由勾股定理可求AB＝5，由折叠的性质可得BE＝BC＝4，∠BCD＝∠BED＝90°，CD＝DE，可求AE＝1，BD是CE的中垂线，则当点P，点C，点A三点共线时，AP+CP的最小值为AC的长，即可求解．
【解答】解：如图，连接CP，CE，

∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵将△BCD沿BD翻折，
∴BE＝BC＝4，∠BCD＝∠BED＝90°，CD＝DE，
∴AE＝1，BD是CE的中垂线，
∴CP＝PE，
∵△PAE周长＝AE+AP+PE＝1+AP+CP，
∴当AP+CP时，△PAE周长有最小值，
则当点P，点C，点A三点共线时，AP+CP的最小值为AC的长，
∴△PAE周长的最小值为3+1＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了翻折变换，勾股定理，线段垂直平分线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
21．（3分）小明和爸爸相约在一条笔直的跑道上散步，他们同时从A地出发以各自的速度匀速散步到B地并返回A地，小明到达B地后休息了10分钟，立即以另一速度返回，在途中与爸爸相遇，爸爸的速度始终是60米/分钟，且中途未休息，两人之间的距离y（米）与小明出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则小明回到A地时两人之间的距离为 　4800　米．

【分析】先根据图象求出A，B两地之间的距离为6000米，再求出小明返回时的速度以及小明从出发到返回所用时间1200分钟，再用2×6000﹣小明爸爸120分钟所走路程即可．
【解答】解：由图象可知，小明在出发60分钟时到达B地，此时小明和爸爸之间的距离为2400米，
∴A，B两地之间的距离为60×60+2400＝6000（米），
设小明返回时的速度为a米/分，
∵小明和爸爸在出发80分钟相遇，
∴60×80+（80﹣60﹣10）a＝6000，
解得：a＝120，
∴小明返回时的速度为120米/分，
此时小明距A地还有4800米，
小明返回A地还需＝40（分钟），
∴小明从出发到返回共用了80+40＝120（分钟），
∴爸爸在120分钟内所走路程为60×120＝7200（米），
∴此时爸爸距A还有6000×2﹣7200＝4800（米），
故答案为：4800．
【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，关键是根据一次函数的性质和图象结合实际问题来解决问题．
22．（3分）如图，△ABC和△BDE均为等边三角形，AC与BE交于点F，点C、A、D在同一直线上，延长CB至点H，连接DH，使DH＝DB，分别连接HF、CE，若∠DHF＝60°，则下列结论：①AD＝CE；②∠HFD＝80°；③∠HDF＝∠FBC；④DH＝HF+BF；⑤若＝，则＝．正确的有 　①③④　．（请填写序号）

【分析】由“SAS”可证△DBA≌△EBC，可得AD＝CE，∠DAB＝∠BCE＝120°，∠BEC＝∠BDA，故①正确；设∠BDH＝x，由等腰三角形的性质可求∠HDF＝30°+x＝∠FBC，∠HFD＝90°﹣x，故②错误，③正确，由“SAS”可证△DFE≌△DFH，可得HF＝EF，可得HF+BF＝BE＝DH，故④正确；由“SAS”可证△DCH≌△DCE，可得CE＝CH＝5y，分别求出S△BDH＝S△BDC，S△BCE＝S△ADB＝S△BDC，解可求解．
【解答】解：∵△ABC和△BDE均为等边三角形，
∴DB＝BE，AB＝BC，∠DBE＝∠ABC＝60°＝∠BAC，
∴∠DBA＝∠EBC，∠DAB＝120°，
∴△DBA≌△EBC（SAS），
∴AD＝CE，∠DAB＝∠BCE＝120°，∠BEC＝∠BDA，故①正确；
设∠BDH＝x，
∵DH＝DB，
∴∠DHB＝∠DBH＝90°﹣x，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝30°+x，
∴∠ADB＝180°﹣120°﹣（30°+x）＝30°﹣x，
∴∠HDF＝30°+x，
∴∠HDF＝∠FBC，故③正确，
∴∠HFD＝180°﹣∠DHF﹣∠HDF＝90°﹣x，故②错误；
∵∠CDE＝60°﹣∠ADB＝30°+x，
∴∠HDF＝∠CDE，
又∵DH＝DB＝DE，DF＝DF，
∴△DFE≌△DFH（SAS），
∴HF＝EF，
∴HF+BF＝BE＝DH，故④正确；
∵，
∴设CA＝3y，则AD＝5y，
∴AB＝BC＝3x，AD＝CE＝5y，
∵DH＝DE，∠HDC＝∠CDE，DC＝DC，
∴△DCH≌△DCE（SAS），
∴CE＝CH＝5y，
∴BH＝2y，
∴＝，
∴S△BDH＝S△BDC，
∵AD＝5y，AC＝3y，
∴S△BCE＝S△ADB＝S△BDC，
∴＝，故⑤错误
故答案为：①③④．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三、解答题：（本大题8个小题，其中23题16分，24题8分，其余各10分，共84分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题须给出必要的演算过程或推理步骤.
23．（16分）计算：
（1）（π﹣3）0﹣+（﹣）2；
（2）﹣+；
（3）×÷（﹣）；
（4）（2÷﹣×．
【分析】（1）利用利用零指数幂的意义，立方根的意义和有理数的乘方法则运算即可；
（2）先化简成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（3）利用二次根式的性质进行运算，最后化简成最简二次根式即可；
（4）利用二次根式的混合运算法则运算即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣2+
＝﹣；
（2）原式＝4﹣2+4
＝2+2；
（3）原式＝﹣
＝﹣
＝﹣；
（4）原式＝（4+3）÷﹣
＝4+3﹣2
＝4+1．
【点评】本题主要考查了实数的运算，零指数幂的意义，立方根的意义和有理数的乘方法则，二次根式的性质，二次根式的混合运算，正确利用上述法则与性质进行运算是解题的关键．
24．（8分）作图题（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
如图，在△ABC中，M为BC边上一点．求作：∠ABC的角平分线交AC于点N，在射线BN上找一点P，使得∠PMC＝∠C．

【分析】根据要求作出图形即可．
【解答】解：如图，射线BN，点P即为所求．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
25．（10分）先化简，再求值：
[x（5y﹣x）+（x+y）（2x﹣3y）﹣（x+y）（x﹣y）]÷2y，其中x2+6x+9+＝0．
【分析】先将括号内的展开，去括号合并同类项，再算除法，化简后将x、y的值代入．
【解答】解：原式＝（5xy﹣x2+2x2﹣3xy+2xy﹣3y2﹣x2+y2）÷2y
＝（4xy﹣2y2）÷2y
＝2x﹣y，
∵x2+6x+9+＝0，
∴（x+3）2+＝0，
∴x+3＝0，2﹣y＝0，
∴x＝﹣3，y＝2，
∴原式＝2×（﹣3）﹣2
＝﹣6﹣2
＝﹣8．
【点评】本题考查整式化简求值，涉及非负数的性质，解题的关键是掌握整式相关运算的法则，把所求式子化简．
26．（10分）2022年5月30日，重庆一中某校区初2024届举行了“永葆童心，拥抱青春”六一庆典活动．其中“欢乐游园会”得到一致好评，为了了解学生最喜欢的游园项目类型（每名学生限选一项），学校随机抽取了该校区七年级部分学生进行调查，并用得到的数据绘制了如图两幅不完整的统计图（如图1，图2），请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）计算这次调查中，学校共调查了 　200　人：扇形统计图中，“百发百中”项目所在扇形的圆心角是 　36　度；
（2）补全条形统计图；
（3）若从被调查学生中随机抽取一人，则抽到最喜欢“套圈”项目的学生的概率是 　　；
（4）若该校区初一年级有600人，请你估计最喜欢“夹弹珠”项目的学生有多少人？

【分析】（1）用“太空漫步”项目的人数除以百分比即可得出参加比赛的总人数；“百发百中”扇形的圆心角度数＝；
（2）总人数﹣“太空漫步”人数﹣“奶油拍脸”人数﹣“套圈”人数﹣“百发百中”人数＝“夹弹珠”人数，画出条形图即可；
（3）根据概率公式直接计算即可；
（4）600×（“夹弹珠”人数÷总人数）；
【解答】解：（1）20÷12%＝200（人）；
“百发百中”扇形的圆心角度数＝＝36°．
故答案为：200，36°；
（2）“夹弹珠”项目的人数为：200﹣24﹣66﹣20﹣80＝16（人），
补全条形统计图如下：

（3）被调查的学生有200人，“套圈”项目的学生有60人，
抽到最喜欢“套圈”项目的学生的概率是．
故答案为：；
（3）600×＝48（人），
∴估计全校学生中有48人参加“夹弹珠”项目．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．
27．（10分）如图，在ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：∠ABF＝∠ACF；
（2）若∠BAC＝48°，求∠CFE的度数．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得AD垂直平分BC，可得BF＝CF，根据等边对等角可得∠ABC＝∠ACB，∠CBF＝∠BCF，即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝66°，由直角三角形的性质得∠ABF＝90°﹣∠BAC＝42°，可得∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝24°，则∠CBF＝∠BCF＝24°，根据三角形外角的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴CD＝BD，∠ABC＝∠ACB，
∴BF＝CF，
∴∠CBF＝∠BCF，
∴∠ABC﹣∠CBF＝∠ACB﹣∠BCF，
∴∠ABF＝∠ACF；

（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝48°，
∴∠ABC＝∠ACB＝66°，
∵BE⊥AC，
∴∠ABF＝90°﹣∠BAC＝42°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝24°，
由（1）得：∠CBF＝∠BCF，
∴∠CBF＝∠BCF＝24°，
∴∠CFE＝∠CBF+∠BCF＝48°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
28．（10分）小李与小张参加了学校举办的“运动与健康”5000米跑步活动，两人同时从起点出发，以各自的速度匀速跑步，一段时间后，小张感觉身体不适，休息了10分钟，身体恢复后以原来速度的1.2倍匀速跑向终点，小李到达终点后立即以原速度返回去接小张，相遇后两人以小张变速后的速度跑向终点，他们距离起点的距离y（米）与出发时间x（秒）之间的关系如图所示．根据图中信息解答下列问题：
（1）a＝　280　；小张加速前的速度为 　5　米/秒；b＝　4448　；
（2）出发多少秒时，两人第一次相遇？
（3）出发多少秒时，两人之间的距离为280米？

【分析】（1）根据休息了10分钟得a＝280秒，小张加速前的速度为1400÷280，b＝1400+（1388﹣880）×5×1.2＝4448（米），
（2）求出小李的速度是4米/秒，用路程除以速度可得两人第一次相遇的时间为350秒；
（3）分三种情况：①当小张开始休息时，两人之间的距离为280×（5﹣4）＝280（米），②当小张休息，小李跑到小张前面280米时，（1400+280）÷4＝420（秒），③小李返回接小张，二人相距280米时，1400+5×1.2×（t﹣880）+（4t﹣5000）＝5000﹣280，可得t＝1360．
【解答】解：（1）a＝880﹣10×60＝280（秒），小张加速前的速度为1400÷280＝5（米/秒），b＝1400+（1388﹣880）×5×1.2＝4448（米），
故答案为：280，5，4448；
（2）小李的速度是（5000+5000﹣4448）÷1388＝4（米/秒），
∴出发1400÷4＝350（秒）时，两人第一次相遇；
（3）①当小张开始休息时，两人之间的距离为280×（5﹣4）＝280（米），
∴出发280秒时，两人之间的距离为280米；
②当小张休息，小李跑到小张前面280米时，
（1400+280）÷4＝420（秒），
∴出发420秒时，两人之间的距离为280米；
③小李返回接小张，二人相距280米时，
1400+5×1.2×（t﹣880）+（4t﹣5000）＝5000﹣280，
解得t＝1360，
综上所述，出发280秒或420秒或1360秒时，两人之间的距离为280米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
29．（10分）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝BC，点F是线段CB上一点，连接AF．
（1）如图1，若AF⊥CB，AB＝10，BF＝8，求线段AC的长；
（2）如图2，E为线段AB上一点，连接CE，使∠ACE＝∠B，且EA＝BF，D为AF的中点，连接CD，求证：∠ACD＝∠BCE．


【分析】（1）利用勾股定理分析求解；
（2）延长BC，使CG＝CF，连接AG，通过证明△GAC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质进行推理论证．
【解答】（1）解：∵AF⊥BC，AB＝BC，AB＝10，BF＝8，
∴∠AFC＝∠AFB＝90°，CF＝2，
在Rt△ABF中，AF＝＝6，
在Rt△ACF中，AC＝＝2，
即线段AC的长为2；
（2）证明：∵∠ACE＝∠B，
∴∠ACE+∠BCE＝∠B+∠BCE，
∴∠ACB＝∠AEC，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC，
∴∠AEC＝∠BAC，
∴AC＝EC，
延长BC，使CG＝CF，连接AG，

∵CG＝CF，且点D为AF的中点，
∴CD∥AG，
∴∠ACD＝∠GAC，
∵∠CEA＝∠ACB，
∴∠ACG＝∠BEC，
∵AB＝BC，AE＝BF，
∴AB﹣AE＝BC﹣BF，
∴BE＝CF＝CG，
又∵AC＝CE，
∴△ACG≌△CEB（SAS），
∴∠GAC＝∠BCE，
∴∠ACD＝∠BCE．
【点评】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
30．（10分）在ABC中，D为线段AC上一点，DE⊥AB于点E，连接BD．
（1）如图1，若点E是AB的中点，∠ADB＝120°，G是线段DE上一点，连接GA、GC、GB，且GC＝GB，则∠DCG+∠EBG＝　30°　；
（2）如图2，连接CE交BD于点F，若DA＝DB，且∠BFE＝∠BCD，求证：DA＝DC+2DF；
（3）如图3，连接CE交BD于点F，若CE＝BD，且CE⊥BD，∠CBD+2∠ABD＝90°，请直接写出的值．


【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得AD＝DB，AG＝GB，由等腰三角形的性质可求解；
（2）先证CB＝CE，可得CN是BE的中垂线，可得EH＝BH，由“ASA”可证△DCF≌△HEF，可得DF＝FH，即可求解；
（3）由全等三角形的性质可证MC＝MD＝DE＝EN＝NB＝a，由勾股定理分别求出CD，BF的长，即可求解．
【解答】（1）解：∵点E是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是AB的中垂线，
∴AD＝DB，AG＝GB，
∵∠ADB＝120°，AD＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA＝30°，
∵GC＝GB，
∴AG＝GB＝GC，
∴∠GAC＝∠GCD，∠DBE＝∠GAB，
∴∠DCG+∠EBG＝∠GAC+∠GAB＝∠DAB＝30°，
故答案为：30°；
（2）如图，过点C作CN⊥AB于N，交BD于H，连接EH，

∵DA＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA，
∵∠BFE＝∠BCD＝∠CFD，∠CBD+∠DCB+∠CDF＝180°，∠CDF+∠CFD+∠DCF＝180°，
∴∠DCF＝∠DBC，
∴∠DCF+∠DAB＝∠DBC+∠DBA，
∴∠CEB＝∠CBE，
∴CB＝CE，
又∵CN⊥AB，
∴EN＝NB，
∴CN是BE的中垂线，
∴EH＝BH，
∴∠HEB＝∠HBE，
∴∠HEB＝∠A，
∴EH∥AC，
∵DE⊥AB，CN⊥AB，
∴DE∥CN，
∴四边形CDEH是平行四边形，
∴CD＝EH＝BH，
∵CD∥EH，
∴∠CDF＝∠EHD，∠DCF＝∠FEH，
∴△DCF≌△HEF（ASA），
∴DF＝FH，
∴AD＝DB＝DF+FH+BH＝2DF+DC；
（3）解：如图，过点C作CN⊥AB于N，CM⊥DE，交ED的延长线于M，

∵CN⊥AB，CM⊥DE，DE⊥AB，
∴四边形CMEN是矩形，
∴CN＝EM，CM＝EN，
∵DE⊥AB，CE⊥BD，
∴∠DEF+∠FEB＝90°＝∠FEB+∠DBE，
∴∠DEF＝∠DBE，
又∵CE＝BD，∠M＝∠DEB＝90°，
∴△DEB≌△CME（AAS），
∴CM＝DE，BE＝EM，
∵∠CBD+2∠ABD＝90°，
∴∠CBN+∠ABD＝90°，
∵∠CBN+∠BCN＝90°，
∴∠BCN＝∠ABD，
∵CN∥ME，
∴∠DEC＝∠ECN，
∴∠DEC＝∠ECN＝∠ABD＝∠BCN，
又∵∠CNB＝∠CNE＝90°，CN＝CN，
∴△CNB≌△CNE（ASA），
∴EN＝NB，
∴BE＝2EN＝ME，
∴MD＝MC，
设MC＝MD＝DE＝EN＝NB＝a，
∴CD＝＝a，
∵DE＝a，BE＝2a，
∴DB＝＝a，
∵S△BED＝×DE×BE＝×DB×EF，
∴EF＝a，
∴BF＝＝a，
∴＝＝．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．